河南省南阳市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题 22页

‎2019年春期高中二年级期终质量评估数学试题（文）‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.复数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把复数的分子分母同时乘以1-i, ，‎ ‎．故选A.‎ 考点：复数的除法运算．‎ ‎【详解】‎ ‎2.在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：‎ 那么d A. a B. b C. c D. d ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎3.相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.‎ ‎【详解】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以.选D.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.‎ ‎4.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数、、中至多有一个是偶数”的正确假设为（ ）‎ A. 自然数、、中至少有一个是偶数 B. 自然数、、中至少有两个是偶数 C. 自然数、、都是奇数 D. 自然数、、都是偶数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对结论进行否定可得出正确选项.‎ ‎【详解】“自然数、、中至多有一个是偶数”其意思为“三个自然数、、中全是奇数或一个偶数两个奇数”，其否定为“三个自然数、、中两个偶数一个奇数或全是偶数”，‎ 即“自然数、、中至少有两个是偶数”，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查反证法的基本概念的理解，考查命题的否定，同时要熟悉“至多个”与“至少个”互为否定，考查对概念的理解，属于中等题.‎ ‎5.在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法和复数的乘方运算将复数表示为一般形式，可得出其共轭复数，从而得出复数对应的点所在的象限.‎ ‎【详解】，.‎ 因此，复数的共轭复数对应的点位于第四象限，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法与乘方运算，考查共轭复数以及复数的对应的点，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4 ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=（ ）‎ A. 28 B. 76 C. 123 D. 199‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 详解】由题观察可发现，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即 故选C. ‎ 考点：观察和归纳推理能力.‎ ‎7.若点的直角坐标为，则它的极坐标可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点的极坐标为，计算出和的值，结合点所在的象限求出的值，可得出点的极坐标.‎ ‎【详解】设点的极坐标为，则，.‎ 由于点位于第四象限，所以，，因此，点的极坐标可以是，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎8.下列说法：①对于独立性检验，的值越大，说明两事件相关程度越大；②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程 ‎，则，的值分别是和；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，，，则；④通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势，其中正确的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识进行判断.‎ ‎【详解】对于命题①，根据独立性检验的性质知，两个分类变量越大，说明两个分类变量相关程度越大，命题①正确；‎ 对于命题②，由，两边取自然对数，可得，‎ 令，得，，所以，则，命题②正确；‎ 对于命题③，回归直线方程中，，命题③正确；‎ 对于命题④，通过回归直线及回归系数，可估计和预测变量的取值和变化趋势，命题④错误.故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了回归直线方程、非线性回归方程变换以及独立性检验相关知识，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎9.已知具有线性相关关系的变量、，设其样本点为，回归直线方程为，若，（为原点），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出样本中心点的坐标，将该点坐标代入回归直线方程可求出实数的值.‎ ‎【详解】由题意可得，，将点的坐标代入回归直线方程得，‎ 解得，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用回归直线方程求参数的值，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎10.在直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.设射线与曲线、直线分别交于、两点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先由曲线的直角坐标方程得到其极坐标方程为，设、两点坐标为，，将射线的极坐标方程为分别代入曲线和直线的极坐标方程，得到关于的三角函数，利用三角函数性质可得结果.‎ 详解：∵曲线的方程为，即，‎ ‎∴曲线的极坐标方程为 设、两点坐标为，，‎ 联立，得，同理得，‎ 根据极坐标的几何意义可得 ‎，即可得其最大值为，故选C.‎ 点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．‎ ‎11.执行如图的程序框图，如果输入，那么输出的（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由题意结合流程图运行程序即可确定程序的输出结果.‎ 详解：结合所给的流程图运行程序如下：‎ 首先初始化数据：，‎ 第一次循环：，,，此时不满足；‎ 第二次循环：，,，此时不满足；‎ 第三次循环：，,，此时不满足；‎ 一直循环下去，‎ 第十次循环：，,，此时满足，跳出循环.‎ 则输出的.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎12.某中学为提升学生的数学学习能力，进行了主题分别为“运算”、“推理”、“想象”、“建模”四场竞赛.规定：每场竞赛前三名得分分别为、、（，且、、），选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，在四场竞赛中，已知甲最终得分为分，乙最终得分为分，丙最终得分为分，且乙在“运算”这场竞赛中获得了第一名，那么“运算”这场竞赛的第三名是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 甲和丙都有可能 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 总分为，得出，只有两种可能或，再分类讨论，能得出结果.‎ ‎【详解】总分为，可得，‎ 只有两种可能或.‎ 若、、的值分别为、、，若乙在“运算”中得到第一名，得分，即使他在剩下的三场比赛中全得到第三名，得分总数为，不合乎题意.‎ ‎、、的值分别为、、，乙的得分组成只能是“运算”、“推理”、“想象”、“建模”分别得分、、、分，即乙在“运算”中得到第一名，其余三项均为第三名.‎ 由于甲得分为分，其得分组成只能是“运算”、“推理”、“想象”、“建模”分别得分、、、分，在“运算”比赛中，甲、乙、丙三人得分分别是、、分.‎ 因此，获得“运算”这场竞赛的第三名只能是丙，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查“运算”这场竞赛的第三名获奖学生的判断，考查简单的合情推理等基本性质，考查运算求解能力与推理能力，属于难题.‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.一次数学考试后，甲，乙，丙，丁四位同学一起去问数学考试成绩，数学老师对他们说：甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等；乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间；丙同学考试分数不是最高的；丁同学考试分数不是最低的.由此可以判断分数最高的同学是__________．‎ ‎【答案】丁 ‎【解析】‎ 分析：由甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等，将四人分数从大到小排列可得甲，乙在两端或丙，丁在两端，再结合乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间可得丙丁在两端，最后根据丙同学考试分数不是最高的可得最高分的同学为丁.‎ 详解：将四人分数从大到小排列，‎ ‎∵甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等，‎ ‎∴甲，乙在两端或丙，丁在两端，即甲乙最大或最小、丙丁最大或最小 又∵乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间，∴丙丁最大或最小 又∵丙同学考试分数不是最高的，丁同学考试分数不是最低的 ‎∴分数最高的同学是丁，故答案为丁.‎ 点睛：本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，解答此题的关键是逐条进行分析，排除，是基础题.‎ ‎14.设，且，，则的值是__________．‎ ‎【答案】4＋3i ‎【解析】‎ 分析：由题意可得，再结合，即可得到答案 详解：，，‎ 又，‎ 点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。‎ ‎15.直线被圆（为参数）截得的弦长为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的参数方程得出圆的圆心坐标和半径，计算出圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算出直线截圆所得的弦长.‎ ‎【详解】由参数方程可知，圆圆心坐标为，半径长为，‎ 圆心到直线的距离为，‎ 因此，直线截圆所得弦长为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的计算，考查了点到直线的距离公式以及勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16.如图1，线段的长度为，在线段上取两个点，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：‎ 记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：‎ ‎①数列是等比赞列；‎ ‎②数列是递增数列； ‎ ‎③存在最小的正数，使得对任意的正整数，都有；‎ ‎④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有.‎ 其中真命题的序号是__________． (请写出所有真命题的序号）.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ 分析：求出数列是的前四项，可得到①错，②对；利用等比数列求和公式求出，利用不等式恒成立可判断③错，④对.‎ 详解：由图可知，‎ ‎，‎ 不是等比数列，①错误；‎ 是递增数列，②正确；‎ ‎，‎ 对于③，，要使恒成立，‎ 只需，无最小值，③错误；‎ 对于④，，要使恒成立，‎ 只需，即的最大值为，④正确，‎ 真命题是②④，故答案为②④.‎ 点睛：本题考查等比数列的求和公式，不等式恒成立问题以及归纳推理的应用，属于难题.‎ 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知复数，且为纯虚数．‎ ‎（1）求复数；‎ ‎（2）若，求复数的模．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先计算得到，再根据纯虚数的概念得到b的值和复数z.(2)直接把复数z代入计算求 ‎【详解】‎ ‎∵是纯虚数 ‎∴，且 ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】(1)本题主要考查纯虚数的概念和复数的运算，考查复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了.‎ ‎18.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），过点的直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）设曲线与直线分别交于，两点，若，，成等比数列，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)，曲线表示焦点在上的椭圆.(Ⅱ)2.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）利用平方关系消去参数，结合的范围即可得曲线表示焦点在上的椭圆；（Ⅱ）将将直线的参数方程代入椭圆方程，‎ 详解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，‎ ‎ ，‎ 曲线表示焦点在上的椭圆.‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程（为参数）代入椭圆方程，设对应的参数分别为、，根据直线中参数的几何意义，由题意得，再结合韦达定理即可得结果.‎ 整理得，‎ 即，‎ ‎，‎ 设对应的参数分别为、，‎ 那么，‎ 由的几何意义知，，，‎ 于是，，， ‎ 若,，成等比数列，则有，‎ 即，解得，‎ 所以的值为. ‎ 点睛：‎ 本题考查了参数方程转化为普通方程（关键是平方消参）、一元二次方程的根与系数的关系、直线与椭圆相交问题、参数方程的应用、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎19.‎ 等差数列的前项和为．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项与前项和；‎ ‎（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（Ⅰ）由已知得，，‎ 故．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得．‎ 假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．‎ 即．‎ ‎，‎ ‎．‎ 与矛盾．‎ 所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．‎ ‎20.一则“清华大学要求从 2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.‎ 某中学拟在高一-下学期开设游泳选修课，为了了解高--学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表:‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎40‎ 女生 ‎30‎ 合计 已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.‎ ‎(1).请将上述列联表补充完整，并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢游泳与性别有关.‎ ‎(2)已知在被调查的学生中有6名来自高一(1) 班，其中4名喜欢游泳，现从这6名学生中随机抽取2人，求恰有1人喜欢游泳的概率.‎ 附： ‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）可以（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据题意计算喜欢游泳的学生人数，求出女生、男生多少人，完善列联表，再计算观测值，对照临界值表即可得出结论；‎ ‎（2）设“恰有一人喜欢游泳”为事件A，设4名喜欢游泳的学生为，不喜欢游泳的学生为，通过列举法即可得到答案.‎ 详解：（1）解：根据条件可知喜欢游泳的人数为人 ‎ 完成列联表： ‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎ 40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女生 ‎20‎ ‎ 30‎ ‎50‎ 合计 ‎ 60‎ ‎ 40‎ ‎100‎ 根据表中数据，计算 可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢游泳与性别有关.‎ ‎（2）解：设“恰有一人喜欢游泳”为事件A，设4名喜欢游泳的学生为，‎ 不喜欢游泳的学生为，基本事件总数有15种： ‎ ‎ ‎ 其中恰有一人喜欢游泳的基本事件有8种：‎ ‎ ‎ 所以 点睛：本题考查了独立性检验与运算求解能力，同时考查通过列举法求概率的应用，属于中档题.‎ ‎21.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程和曲线的直角坐标方程； ‎ ‎（2）设点在曲线上，点在曲线上，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）的参数方程为 (为参数)，的直角坐标方程为 ‎；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标、参数方程与直角坐标方程的转化关系可得曲线的参数方程为（为参数），的直角坐标方程为.‎ ‎(Ⅱ)曲线是以 为圆心，为半径的圆.设出点的的坐标，结合题意得到三角函数式：.结合二次型复合函数的性质可得.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数），‎ 的直角坐标方程为，即.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线是以 为圆心，为半径的圆.‎ 设，‎ 则 ‎ ‎.‎ 当时，取得最大值.‎ 又因为，当且仅当三点共线，且在线段上时，等号成立.‎ 所以.‎ ‎22.二手车经销商小王对其所经营型号二手汽车的使用年数与销售价格 ‎（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：‎ 使用年数 售价 下面是关于的折线图：‎ ‎（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（2）求关于的回归方程并预测某辆型号二手车当使用年数为年时售价约为多少？（、小数点后保留两位有效数字）‎ ‎（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？‎ 参考数据：‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎，，.‎ 参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎，.‎ ‎，、为样本平均值.‎ ‎【答案】（1）；（2）万元；（3）年.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中所给公式，计算出关于的相关系数，利用相关系数的绝对值来说明关于线性相关性的强弱；‎ ‎（2）利用最小二乘法公式计算出关于的回归方程，再由可得出关于的回归方程为，再将代入回归方程得出的值，可得出结果；‎ ‎（3）令，得出，解出的取值范围，可得出二手车时车辆的使用年数不得超过的年数.‎ ‎【详解】（1）由题意，计算，‎ ‎，‎ 且，，，‎ 所以，‎ 所以与的相关系数大约为，说明与的线性相关程度很高；‎ ‎（2）利用最小二乘估计公式计算 ‎，‎ 所以，‎ 所以关于的线性回归方程是，‎ 又，所以关于的回归方程是.‎ 令，解得，即预测某辆型号二手车当使用年数为年时售价约万元；‎ ‎（3）当时，，‎ 所以，解得，因此预测在收购该型号二手车时车辆使用年数不得超过年．‎ ‎【点睛】本题考查相关系数的计算、非线性回归方程的求解以及回归方程的应用，解题时要理解最小二乘法公式及其应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎ ‎