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- 2021-06-16 发布
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1.3.2“
杨辉三角”与二项式系数的性质
一般地,对于
n N*
有
二项定理
:
一、新课引入
二项展开式中的二项式系数指的是那些?共有多少个?
下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们先通过
杨辉三角
观察
n
为特殊值时,二项式系数有什么特点?
1
.
“
杨辉三角
”
的来历及规律
杨辉三角
展开式中的二项式系数,如下表所示:
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
…… …… ……
二项式系数的性质
展开式的二项式系数依次是:
从函数角度看, 可看成是以
r
为自变量的函数
,
其定义域是:
当 时,其图象是右图中的
7
个孤立点.
二项式系数的性质
2
.二项式系数的性质
(
1
)对称性
与首末两端
“
等距离
”
的两个二项式系数相等.
这一性质可直接由公式
得到.
图象的对称轴
:
二项式系数的性质
(
2
)增减性与最大值
由于
:
所以 相对于 的增减情况由 决定.
二项式系数的性质
(
2
)增减性与最大值
由
:
二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。
可知,当 时,
二项式系数的性质
(
2
)增减性与最大值
因此,
当
n
为偶数时
,中间一项的二项式
系数
取得最大值;
当
n
为奇数时
,中间两项的二项式系数 、
相等,且同时取得最大值。
(
3
)各二项式系数的和
二项式系数的性质
在二项式定理中,令 ,则:
这就是说, 的展开式的各二项式系数的和等于
:
同时由于 ,上式还可以写成:
这是组合总数公式.
一般地, 展开式的二项式系数
有如下性质:
(
1
)
(
2
)
(
3
)当 时,
(
4
)
当 时,
课堂练习:
1
)已知 ,那么
=
;
2
) 的展开式中,二项式系数的最大值是
;
3
)若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大,则
n=
;
例
1
证明在 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
4
项的二项式系数是倒数第
2
项的二项式系数的
7
倍,求展开式中
x
的一次项.
例
2
已知 的展开式中,第
例
3
:
的展开式中第
6
项与第
7
项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。
变式引申:
1
、 的展开式中,系数绝对值最大的项是( )
A.
第
4
项
B.
第
4
、
5
项
C.
第
5
项
D.
第
3
、
4
项
2
、若 展开式中的第
6
项的系数最大,则不含
x
的项等于
( )
A.210 B.120 C.461 D.416
例
4
、
若 展开式中前三项系数成等差
数列,求
(
1
)展开式中含
x
的一次幂的项;
(
2
)
展开式中所有
x
的有理项;
(
3
)展开式中系数最大的项。
1
、已知 的展开式中
x
3
的系数
为 ,则常数
a
的值是
_______
2
、在
(1-x
3
)(1+x)
10
的展开式中
x
5
的系数是( )
A.-297 B.-252 C. 297 D. 207
3
、
(x+y+z)
9
中含
x
4
y
2
z
3
的项的系数是
__________
课堂练习
4.
已知
(1+
)
n
展开式中含
x-2
的项的系数为
12
,求
n.
5.
已知(
10+x
lgx
)
5
的展开式中第
4
项为
10
6
,求
x
的值
.
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,同时要注意
“
系数
”
与
“
二项式系数
”
的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中间项,而系数最大的不一定是中间项,尤其要理解和掌握
“
取特值
”
法,它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
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