高中数学北师大版新教材必修一同步课件：7-2-1　古典概型及应用§2  古 典 概 型 43页

§2 　古 典 概 型 第 1 课时　古典概型及应用 必备知识 · 自主学习 1. 随机事件的概率 对于一个随机事件 A, 我们通常用一个数 P(A)(0≤P(A)≤1) 来表示该事件发生的 _______ 的大小 , 这个数就称为随机事件 A 的概率 . 概率度量了随机事件发生的 _____________, 是对随机事件统计规律性的 _____ 刻画 . 导思 1. 什么是古典概型 ? 2. 如何计算古典概型的概率 ? 可能性 可能性的大小 数量 2. 古典概型 (1) 古典概型的定义 : 一般地 , 若试验 E 具有如下特征 : ① 有限性 : 试验 E 的样本空间 Ω 的样本点总数 _____, 即样本空间 Ω 为 _________ _____; ② 等可能性 : 每次试验中 , 样本空间 Ω 的各个样本点出现的可能性 _____. 则称这样的试验模型为古典概率模型 , 简称古典概型 . 有限 有限样本 空间 相等 (2) 古典概型的概率计算公式 : 如果样本空间 Ω 包含的样本点总数为 n, 随机事件 A 包含的样本点个数为 m, 那么事件 A 发生的概率为 P(A)=__________________ =___. 【 思考 】 (1) “ 在区间 [0,10] 上任取一个数 , 这个数恰为 5 的概率是多少 ?” 这个概率模型属于古典概型吗 ? 提示 : 不属于古典概型 . 因为在区间 [0,10] 上任取一个数 , 其试验结果有无限个 , 故其样本点有无限个 , 所以不是古典概型 . (2) 若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个 , 则该试验符合古典概型吗 ? 提示 : 不一定符合 . 还必须满足每个样本点出现的可能性相等才符合古典概型 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1) 任何一个事件都是一个样本点 . ( 　　 ) (2) 古典概型中每一个样本点出现的可能性相等 . ( 　　 ) (3) 古典概型中的任何两个样本点都是互斥的 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 一个事件可能是一个样本点 , 也可能包含若干个样本点 . (2)√. (3)√. 古典概型中任何两个样本点都不能同时发生 , 所以是互斥的 . 2. 下列试验是古典概型的是 ( 　　 ) A. 口袋中有 2 个白球和 3 个黑球 , 从中任取一球 , 样本点为 { 取中白球 } 和 { 取中黑球 } B. 在区间 [-1,5] 上任取一个实数 x, 使 x 2 -3x+2>0 C. 抛一枚质地均匀的硬币 , 观察其出现正面或反面 D. 某人射击中靶或不中靶 【 解析 】 选 C. 根据古典概型的两个特征进行判断 .A 中两个样本点不是等可能的 ,B 中样本点的个数是无限的 ,D 中“中靶”与“不中靶”不是等可能的 ,C 符合古典概型的两个特征 . 关键能力 · 合作学习 类型一　古典概型的判定 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1. 下列问题中是古典概型的是 ( 　　 ) A. 种下一粒杨树种子 , 求其能长成大树的概率 B. 掷一颗质地不均匀的骰子 , 求掷出 1 点的概率 C. 在区间 [1,4] 上任取一数 , 求这个数大于 1.5 的概率 D. 同时掷两颗质地均匀的骰子 , 求向上的点数之和是 5 的概率 【 解析 】 选 D.A,B 两项中的样本点的出现不是等可能的 ;C 项中样本点的个数是无限多个 ;D 项中样本点的出现是等可能的 , 且是有限个 . 2. 向一个圆面内随机地投一个点 , 如果该点落在圆内任意一点都是等可能的 , 你认为这是古典概型吗 ? 为什么 ? 【 解析 】 试验的所有可能结果是圆面内的所有点 . 试验的所有可能结果数是无限的 . 因此 , 尽管每一个试验结果出现的可能性相同 , 这个试验不是古典概型 . 3. 如图所示 , 射击运动员向一靶心进行射击 , 这一试验的结果只有有限个 : 命中 10 环 , 命中 9 环 ,…, 命中 1 环和命中 0 环 ( 即不命中 ). 你认为这是古典概型吗 ? 为什么 ? 【 解析 】 试验的所有可能结果只有 11 个 , 但是命中 10 环 , 命中 9 环 ,…, 命中 1 环和命中 0 环 ( 即不命中 ) 的出现不是等可能的 , 这个试验不是古典概型 . 【 解题策略 】 判断一个试验是古典概型的依据 判断随机试验是否为古典概型 , 关键是抓住古典概型的两个特征 —— 有限性和等可能性 , 二者缺一不可 . 类型二　古典概型概率的计算 ( 数学建模 , 数学运算 ) 【 典例 】 现有 6 道题 , 其中 4 道甲类题 ,2 道乙类题 , 张同学从中任取 2 道题解答 . 试求 : (1) 所取的 2 道题都是甲类题的概率 ; (2) 所取的 2 道题不是同一类题的概率 . 四步 内容 理解 题意 条件 :6 道题 , 其中 4 道甲类题 ,2 道乙类题 , 张同学从中任取 2 道题解答 . 结论 :(1) 所取的 2 道题都是甲类题的概率 ; (2) 所取的 2 道题不是同一类题的概率 . 思路 探求 写出试验的样本空间和所求概率的事件所包含的样本点 , 利用古典概型的概率计算公式求解 . 四步 内容 书写 表达 (1) 将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道乙类题依次编号为 5,6. 任取 2 道题 , 这个试验的样本空间为 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}, 共 15 个样本 点 , 且每个样本点出现的可能性是相等的 . 用 A 表示“所取的 2 道 题都是甲类题”这一事件 , 则 A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3), (2,4),(3,4)}, 共含有 6 个样本点 , 所以 P(A)= (2) 由 (1) 知试验的样本空间共有 15 个样本点 , 用 B 表示“所取的 2 道 题不是同一类题”这一事件 , 则 B={ (1,5),(1,6),(2,5),(2,6), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6)}, 共包含 8 个样本点 , 所以 P(B)= 四步 内容 题后 反思 古典概型的概率计算公式为 P(A)= , 所以解题的关键是 计算样本点的总数 n 和确定所求事件 A 包含的样本点的个数 m, 这些都要以正确写出试验的样本空间为前提 . 【 解题策略 】 求解古典概型概率“四步”法 【 跟踪训练 】 1.(2020· 全国卷 Ⅰ) 设 O 为正方形 ABCD 的中心 , 在 O,A,B,C,D 中任取 3 点 , 则取到的 3 点共线的概率为 ( 　　 ) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 【 解析 】 选 A. 如图 , 从 O,A,B,C,D 5 个点中任取 3 个点有 {O,A,B},{O,A,C}, {O,A,D},{O,B,C},{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D}, {A,C,D},{B,C,D} 共 10 种不同取法 ,3 点共线只有 {O,A,C} 与 {O,B,D} 共 2 种情况 , 由古典概型的概率计算公式知 , 取到 3 点共线的概率为 2.(2020· 江苏高考 ) 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次 , 观察向上的点 数 , 则点数和为 5 的概率是 　　　 .  【 解析 】 总事件数为 6×6=36, 满足条件的事件有 (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) 共 4 种 , 则点数和为 5 的概率为 答案 : 【 补偿训练 】 　　掷一颗骰子 , 观察掷出的点数 , 求掷得奇数点的概率 . 【 解析 】 这个试验的样本空间为 Ω={1,2,3,4,5,6}. 样本点总数 n=6, 事件 A= “ 掷得奇数点” ={1,3,5}, 其包含的样本点个数 m=3, 所以 P(A)= =0.5. 类型三　较复杂的古典概型的概率计算 ( 数学建模 , 数学运算 ) 【 典例 】 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动 . 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次 , 每次转动后 , 待转盘停止转动时 , 记录指针所指区域中的数 . 设两次记录的数分别为 x,y. 奖励规则如下 :① 若 xy≤3, 则奖励玩具一个 ;② 若 xy≥8, 则奖励水杯一个 ;③ 其余情况奖励饮料一瓶 . 假设转盘质地均匀 , 四个区域划分均匀 . 小亮准备参加此项活动 . (1) 求小亮获得玩具的概率 ; (2) 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小 , 并说明理由 . 【 思路导引 】 【 解析 】 用数对 (x,y) 表示参加活动先后记录的数 , 则样本空间 Ω 与点集 S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4} 一一对应 . 因为 S 中元素的个数是 4×4=16, 所以样本点总数 n=16. (1) 记 “ xy≤3 ” 为事件 A, 则事件 A 包含的样本点共 5 个 , 即 A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}. 所以 P(A)= , 即小亮获得玩具的概率为 . (2) 记 “ xy≥8 ” 为事件 B, “ 3