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- 2021-06-16 发布
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山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试试题
高二理科数学(选修2—1)
注意事项:
1.本试题分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.
2.答卷前考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
4.考试结束后,将答题卡交回.
5.考试时间90分钟,满分100分.
第Ⅰ卷(30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设命题,使得,则为( )
A.,使得 B.,使得
C.,使得 D.,使得
2.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,点P是抛物线C上一点,若|PF|=5,则点P的横坐标是( )
A.-4 B. 1 C.4 D.-4或4
3.已知向量a=(0,3,3)和b=(-1,1,0)分别是直线l和m的方向向量,则直线l与m所成的角为( )
A. B. C. D.
4.“m>0”是“方程表示双曲线”的( )
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.如图,在四面体OABC中,D是BC的中点,G是AD的中点 ,则等于( )
A. B.
C. D.
6.与命题“若实数x≠y,则cosx≠cosy”等价的命题是( ) (第5
题图)
A.若实数x=y,则cosx=cosy B.若cosx=cosy ,则实数x=y
C.若cosx≠cosy ,则实数x≠y D.若实数x≥y,则cosx≥cosy
7. 若直线l:x-y-1=0与椭圆C:交于A、B两点,则|AB|=( )
A. B. C. D.
8.若命题都有是假命题,则实数m的取值范围是( )
A. (-,3] B. [-1,+) C.[-1, 3] D.[3,+)
9.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的
纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,
灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是( )
A.2.5 cm B.3.5 cm C.4.5cm D.5.5 cm (第9题图)
10.已知双曲线的渐近线与抛物线E:的准线分别交于A、B两点,若抛物线的焦点为F,且FAFB,则双曲线C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
第Ⅱ卷(70分)
二、填空题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分)
11.已知直线l的一个方向向量为a=(4,2,-2),平面α的一个法向量为n=(-1,1,t),若l∥α,则实数t的值是 .
12. 已知椭圆E的中心在原点、对称轴为两坐标轴,且一个焦点为F(0,1),离心率为,则该椭圆的方程是 .
13.在“数学发展史”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测:
甲说:我的成绩比乙高;
乙说:丙的成绩比我和甲的都高;
丙说:我的成绩比乙高.
成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人中预测正确的是 .
14.已知空间四点A(2,-1,1)、B(1,2,3)、C(0,2, 1)、D(1,0,λ)在同一平面内,
则实数λ=________.
15.已知焦点为F的抛物线C:的准线是直线l,若点A(0,-3),点P为抛物线C上一点,且PMl于M,则|PM|+|PA|的最小值为 .
16.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1和平面ACD1所成角的正弦值为 .
17.设 是双曲线C:的两个焦点,P为双曲线C上一点,若ΔPF1F2是直角三角形,则ΔPF1F2的面积为 .
18.已知命题p:方程表示的图形是双曲线的一支和一条直线;
命题q:已知椭圆E:,过点的直线与椭圆E相交于A、B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为.
则下列四个命题①中,是真命题的是 (只写出序号).
三、解答题(本大题共5个小题,共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(本小题8分)
已知双曲线C与椭圆E:有公共的焦点,且离心率为,求双曲线C的方程及其渐近线方程.
20. (本小题8分)
设集合S=,T=,且命题p:x∈S,q:x∈T,若命题q是p的必要且不充分条件,求实数a的取值范围.
21.(本小题10分)
已知向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1).
(1)若a∥c,求|c|;
(2)若b⊥c,求(a-c)∙(2b+c)的值.
22.(本小题10分)
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,ABAD,AD∥BC,
侧棱SA平面ABCD,且SA=AB=BC=2AD=2.
(1)求证:平面SBC平面SAB;
(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值. (第22题图)
23.(本小题10分)
已知圆M:和点N(,0),Q为圆上的动点,线段NQ的垂直平分线交MQ于点P,记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设过点A(0,2)的直线l与E相交于B、C两点,当△OBC的面积最大时,求直线l的方程.
山西省阳泉市2019—2020学年度第一学期期末考试
高二理科数学(选修2—1)参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
B
C
B
D
C
A
D
二、填空题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分)
11.-1;12.;13. 甲;14. ;
15.;16.17. 4或 ; 18.①②④.
三、解答题(本大题共5个小题,共46分.)
19. (本小题8分)
解:∵椭圆E:的焦点为(-5,0)和(5,0),
∴c=5, …………………………………………2分
∵双曲线C的离心率为,
∴a=4,b=3, ……………………………………6分
∵双曲线C的焦点在x轴上,
∴双曲线C的方程为,渐近线方程为.…………………8分
20. (本小题8分)
解:∵q:x∈T==,
∴q:x∈∁RT={x|-1≤x≤2},
∵命题q是p的必要且不充分条件,
∴S是∁RT的真子集, ………………………………4分
∵S=
∴∴-1≤a≤1,检验知a=-1和1时满足题意,
∴实数a的取值范围是[-1,1]. ………………………………8分
21.(本小题10分)
解:(1) ∵ a∥c,
∴,
∴x=1, ………………………………2分
∴c=(1,2,-1),
|c|=. ………………………………5分
(2)∵b⊥c,
∴-x+2×0-1×2=0,
∴x=-2,………………………………7分
∴c=(-2,2,-1),
∴a-c=(4,2,-1),2b+c=(-4,2,3),
∴(a-c)∙(2b+c)=-15.………………………………10分
22.(本小题10分)
(1)证明:∵SA平面ABCD,BC平面ABCD,
∴SABC,
∵ABAD,AD∥BC,
∴BCAB,
∵SA∩AB=A,
∴BC平面SAB,………………………………3分
∵BC平面SBC,
∴平面SBC平面SAB.………………………………5分
(2)解:分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图空间直角坐标系,则
由SA=AB=BC=2AD=2可知,
A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),
由(1)知BC平面SAB,
∴ 为平面SAB的一个法向量,且=(2,0,0);
设=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量,则
, ,
∴. =0,.=0,
∵=(1,2,0),=(1,0,-2),
∴
令z=1,则x=2,y=-1,∴=(2,-1,1), ………………………………8分
设平面SCD与平面SAB所成的二面角为θ,则
∴|cosθ|=|cos<,>|=,
∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为.………………………………10分
23.(本小题10分)
解:(1)由题意可知,M(-,0),|MQ|=4,|MN|=2,
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=|MQ|=4>|MN|,
∴曲线E是以M、N为焦点的椭圆,且2a=4,c=,
∴a=2,b=1, ………………………………2分
∴曲线E的方程为. ………………………………4分
(2)由题意可知,直线l存在斜率,不妨设为k,则l:y=kx+2,且设B(x1,y1)、C(x2,y2),于是
,
∴,
∴Δ=
∴4k2-3>0,∴∪,
且,, ………………………………6分
∴|BC|==,
∵点O到直线l的距离为d=,且4k2-3>0,
∴SΔOBC=×=≤1,……8分
当且仅当时,即k=时,SΔOBC最大为1,
此时,直线l的方程为y=x+2. ………………………………10分