高一数学同步辅导教材(第1讲) 7页

高一数学同步辅导教材（第 1 讲） 一、本讲教学进度 1.1—1.2 (P1--10) 二、本讲教学内容 1．集合 2．子集 3．全集和补集 三、重点、难点选讲 1．集合 （1）集合概念. 和几何中的点、线、面一样，集合是数学中最原始的概念之一，不能用其他基本概念来定义，它们 也叫做不定义的概念或原始概念.课本通过几个具体例子对集合进行描述性的说明，这也表明集合概念和 其他数学概念一样，是从现实世界中由具体事物抽象出来的，而不是数学家凭空臆造出来的. （2）集合中元素的特性. 确定性，对于一个给定的集合，集合中的元素必须是确定的，也就说，对于任何一个作为具体研究 对象的元素，都能确定这个元素是这个集合的元素或不是这个集合的元素，两种情况必有且只有一种为 真.因此，诸如“高一（1）班个子高的同学”，“比较大的角”，就不能构成集合，因为“个子高”和“比 较大”没有一个确定的标准. 互异性，对于给定集合中的任意两个元素，它们必定不相同，即集合中的元素是没有重复现象的， 因此，一个元素在同一集合中只能出现一次.这个特性在解某些问题时非常重要. 无序性，由于集体是指一组对象的全体，而不论这些对象的先后顺序，因此在表示集合时，元素排 列的先后顺序不影响集合的表示. （3）集合的表示法 表示一个集合常用下列两种方法： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号内表示集合的方法叫列举法.当元素个数较 多，或集合有无限多个元素，在用列举法表集合时，可以采用省略号，但应很容易按常规看出该集合中 元素的规律.如：“小于 100 的正奇数”集合可以表示为{1，3，5，7，9，…，99}；“负整数”集合可以 表示为{-1，-2，-3，-4，…}. 描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法 叫描述法.描述法中，竖线前面是这个集合的“代表元素”的一般形式，竖线后面是这个集合元素的公共 属性.如：{x|x+3=3x-1}表示元素 x 是方程 x+3=3x-1 的解，即 x=2，亦即{x|x+3=3x-1}={x|x=2}={2}。所有 整数组成的集合可以写成{整数}，而{所有整数}的写法就不要当了. 用 描 述 法 表 示 集 合 时 要 注 意 些 “ 代 表 元 素 ” 是 什 么 . 如：{ Rxxyy  ,1| 2 } 和 { Rxxyyx  ,1|),( 2 }表示两个不同的集合，前一个集合就是{ 1| yy }，后一个集合是抛物线 12  xy 上所有点组成的集合. （4）符号“”与“” 表示“属于”的符号“ ”和表示“不属于”的符号“ ”（或 ）仅表示元素与集合之间的关系， 而不是两个集合之间的关系. 由集合中元素的确定性，对于任意元素 a 和集合 M，在“ Ma ”和“ Ma ”这两种关系中， 必有且仅有一种关系成立. （5）集合按其中元素的多少，对只有有限个元素的集合叫有限集，含有无限多个元素的集合叫无限集. 对于只有一个元素的集合有时也叫做单元集. 不含任何元素的集合叫做空集.用“  ”表示，如：{ Rxxx  ,01| 2 }是空集.但{ }不是空集， 它是以集合为元素的集合（这个元素是“ ”）， {0}也不是空集，它有一个元素“0”. （6）常用的数集符号 以数为元素的集合叫数集.按约定，常用的数集符号有：N—自然数集（非负整数集）；Z—整数集；   NN 或 —正整数集；Q—有理数集；R—实数集. 例 1 判断下列各条件所指对象能否构成集合：（1）2000 年 11 月 1 日零时在江苏省内的所有中国 人；（2）某校高一（3）班所有视力好的同学；（3）60 的质因数；（4）某校高一年级字写得漂亮的同学. 解（1）、（3）两个条件所指的对象具有确定性，因此（1）、（ 3）两个条件所指的对象可以构成集合. （2）、（ 4）两个条件所指的对象无明确的标准，因此（2）、（4）两个条件所指的对象不能构成集 合. 例2 用另一种表示法写出下列各集合： （1）{3 的正整数倍的数}； （2）{1，6，11，16，21，26，…}. 解 （1）可用列举法表示为{3，6，9，12，15，…}； （2）可用描述法表示为{被 5 除余 1 时的正整数}，或表示为{ .,15| Nnnxx  } 例3 已知集合{2， 1x , 552 2  xx }，求实数 x 应满足的条件. 解 由集合中元素的互异性，有 ,21x ,3x ,3x ,2552 2  xx 即 ,0352 2  xx 得 ,2 3,1  xx 且 .1552 2  xxx ,0332  xx .Rx ∴应满足 3x ，且 1x ，且 2 3x . 2、子集    （1）子集的定义 对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，即若 x A ,就必有 x B ,则称集合 A 是集合 B 的子集. 应注意，“集合 B 中的部分元素组成的集合 A 叫集合 B 的子集”的说法是错误的，因为这和 “空集是任何集合的子集”的规定矛盾，也和“任何一个集合是它本身的子集”的结论矛盾. （2）符号“ ”、“  ”、“ ”、“ ”、“  ”、“  ”. 这几个符号仅适用于两个集合之间的关系，而前面的符号“”、“  ”是用于 元素与集合之间的关系.规定“空集是任何集合的子集”后，任何一个集合是它本身 的子集，即 AA  .并且可知“空集是任何非空．．集合的真．子集”，但不能说“空集是任 何集合的真子集”，因为空集不是空集的真子集. 由子集和真子集的定义，容易证明集合的包含关系有传递性，即：若 BA  ， CB  ，则 CA  ；若 A B，B C，则 A C. （3）集合的相等 若集合 A 和 B，既满足 BA  ，又满足 BA  ，则这两个集合相等，即 A=B. 因此要证明 A=B，只要证明 ，同时有 就可以了. （4）韦恩图 如果两个集合 A 和 B 有关系 A B，可以用右图表示，这个图常称为韦恩图， 其中两条封闭曲线内部分别表示集合 A 和 B.韦恩图可以形象地帮助我们考虑集合中 的一些问题. BA （5）集合的子集个数 一个有 n 个元素（  Nn ）的有限集 A，它的子集有 n2 个，其中包含空集 和它本身 A.因此，集合 A 有 12 n 个非空子集（不含 ，含 A），有 个真子集（不含 A，含 ）， 有 22 n 个非空真子集（不含 ，A）. 例 4、判断下列集合之间的关系： （1）A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}； （2）A={ 02| 2  xxx },B={ 21|  xx },C={ xxx 44| 2  }; （3）A={ 10101|  xx },B={ Rttxx  ,1| 2 },C={ 312| xx }; （4） }.,2 1 4|{},,4 1 2|{ ZkkxxBZkkxxA  解（1）A  B C. （2） }2{},21{  CA ， ， C  A B. （3） }1|{},1|{  xxCxxB A B C. （4） .4 2 2 1 4,4 12 4 1 2  kkkk 当 zk  时，2k+1 是奇数，k+2 是整数， A B. 例 5 已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合 A. 解 由已知，集合中必须含有元素 a,b. 集合 A 可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}. 评析 本题集合 A 的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 7123  个 . 例 6 （1）已知集合 A={x|ax+1=0},B={x| 0652  xx }，求满足条件 A B 的实数 a 组成的集 合 M； （2）已知集合 A={2，4，x}, B={2， 222  xx }，且 A B，求实数 x 的值； （3）已知 A={1，x，2x}，{1，y，y2}，若 ,, BABA  且 求实数 x 和 y 的值. 解 （1）B={2，3} 由 A B，A= ，或 A={2}，或 A={3}. 若 A= ，a=0；若 A={2}, 2 1a ；若 A={3},a= 3 1 }.3 1,2 1,0{ M （2）A B, ,4222  xx ① 或 .222 xxx  ② 由①， .31,0222  xxx 由②， .2,1,0232  xxxx 或 当 x=2 时，与集合中元素的互异性矛盾. .1,31  xx 或 （3）由 ,, BABA  且 知 A=B.      ,2 ,)( 2yx yxI 或（Ⅱ）      .2 ,2 yx yx 由（Ⅰ）得      ,0 ,0 y x 或      .2 ,2 y x 由（Ⅱ）得 或        .2 1 ,4 1 y x 当 x=0,y=0,与集合中元素的互异性矛盾. .2 1,4 1,2,2  yxyx 或 3. 全集与补集 （1） 全集是一个相对的概念，它含有与研究的问题有关的各个集合的全部元素，通常用 “U”表示全集. 在研究不同问题时，全集也不一定相同，如在实数范围内讨论问题时，实数集 R 就是全集 U；在 有理数范围内讨论问题时，有理数集 Q 就是全集 U. （2） 补集也是一个相对的概念，若集合 A 是集合 S 的子集，则 S 中所有不属于 A 的元素 组成的集合称为 S 中子集 A 的补集（余集），记作 sA，即 sA={x| AxSx  且, }. 当 S 不同时， 集合 A 的补集也不同. 如：A={1，2，3，4，5}，若 S={1，2，3，…，9} 则 sA={6，7，8，9}； 若 S={1，2，3，4，5，6}，则 sA={6}. 由补集的定义，知 s ( sA )=A. 例 7 已知 U=R，S={x| 010112  xx },A={x| 32  x },求 UA， sA . 解 S={ 101|  xx }.  UA={x| 3,2  xx 或 }. sA={x| 103,21  xx 或 }. 评析 求这一类补集时，常需要借助于数轴，并且特别需要注意等号是否成立. 例 8 已知全集 U={1，3， 62 x }，A={1，x}，求 UA. 解 由全集的概念，A U ， Ux ,3x 或 .06,6 22  xxxx .3,2  xx 或 当 x=3 时， ,362 x 与集合中元素的互异性矛盾. .2x }.2,3,1{},2,1{  UA UA={3}. 例 9 已知集合 A={ 31  x }， UA={ 73|  xx }， UB={ 21  x }，求集合 B. 解 由集合 A，集合 uA 及补集的概念，全集 U={ 71|  xx }.  集合 B 和 uB 互为全集 U 中的补集，  集合 B= u（ uB）={ 72|  xx }. 例 10 设全集 U={1，3，5，7}，集合 A={ 08| 2  pxxx }， uA={ 07| 2  qxxx }， 求实数 p、q 的值. 解 设 A={x1，x2}, uA={x3，x4}， 则 x1，x2，x3，x4 U . 由韦达定理， ,71743  xx ,87143  xxq .155321  xxp 跟 踪 练 习 一、选择题 1、下列五个写法：① 0 ； ②   {0}； ③{1，2，3}={3，2，1} ④ };2|{2  xx ⑤ {-2}  { 044| 2  xxx }，其中不正确的是（ ） A、①，②，④ B、①，②，⑤ C、①，④，⑤ D、②，④，⑤ 2、已知集合 M={1}，N={1，2，3，4，5}，集合 P 满足 M P N，则这样的集合 P 有（ ） A、4 个 B、8 个 C、14 个 D、15 个 3、设 P={平行四边形}，Q={菱形}，R={矩形}，S={正方形}，则下列式子中不正确的是（ ） A、P  Q S B、Q R S C、P R S D、Q S  4、下列各对集合中，表示相等的集合的是（ ） A、 }.,1|{},,|{ 2 2 RxxyyRkkxx  B、 },12|{},{ Nnnxx 正奇数 C、 },23|{},,13|{ znnxxznnxx  D、{（-1，2）},{-1，2} 5、设 S=Z，A={ zxxx  ,0| }，B={ Zxxx  ,0| }，则（ ） A、 sA sB B、 sA sB C、 sA = sB D、 sA  sB 6、已知全集 U={ 11|  xx }，A={ 01| 2 xx }，B={ 01| 2 xx }，C={ 11|  xx }，则 A、C A B、C= uB C、A uB D、B= uA 二、填空题 7、“被 3 除余 2 的自然数”可以用描述法表示为_______________________________. 8、已知集合 A={x|x=2n-1,nz},B={ znnxx  ,14| },则集合 A 与集合 B 的关系为 A__B. 9、若 S={x|x=  Nnn ,2 1 },A={x|x=  Nnn ,4 1 },则 SA=_________________________. 10、若集合 A={x|1