四川省遂宁市射洪县射洪中学等2020届高三上学期第四次大联考数学（理）试题 22页

2020 届高三毕业班第四次大联考数学试题 一、选择题 1.已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算集合 ，再计算 得到答案. 【详解】 ， 故 . 故选 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题型. 2. 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 化简复数 z，根据实部与虚部即可判断对应的点所在象限. 详解】 1 i，在复平面内的对应点位 （1， 1）， 故选 D． 【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，化简复数 为 1 i，是解题的关键． 3.下列命题是真命题的是（ ）. A. 命题 B. 命题“若 成等比数列，则 ”的逆命题为真命题 C. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”； 【 { } { }| 3 2, , | 2 4A x x n n Z B x x= = + ∈ = − < < A B = ∅ { }1,2− { }1− { }2 A A B { } { }| 3 2, = ..., 4, 1,2,5,...A x x n n Z= = + ∈ − − { }| 2 4B x x= − < < { }1,2A B = − B i 2 1 iz = + ( ) ( )( ) 2 12 2 2 1 1 1 2 i iz i i i − −= = = =+ + − - - - 2 2 0 0: ,1 1, : ,1 1p x R x p x R x∀ ∈ − ≤ ¬ ∃ ∈ − ≥则 , ,a b c 2b ac= ( 1) 1 0xx e− + = 0x = 0x ≠ ( 1) 1 0xx e− + ≠ D. “命题 为真”是“命题 为真”的充分不必要条件； 【答案】C 【解析】 【分析】 分别判断已知四个命题的真假，可得答案． 【详解】A. 命题 ，则 ，所以 A 错误； B. 命题“若 成等比数列，则 ”的逆命题为“若 ，则 成等比数列” 是错误的，所以 B 错误； C.命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”是 正确的，所以 C 正确； D. “命题 为真”是“命题 为真”的必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以 D 错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，涉及含有量词的命题的否定，必要不充分条件的判 断，复合命题真假的判断，以及四种命题的真假判断，涉及的知识点较多，难度不大，属于 基础题． 4.二项式 的展开式中第 项是常数项，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二项展开式的通项公式，得第 7 项 x 的指数，利用指数为零，求出 n 的值． 【详解】二项式 的展开式中第 项为 ， 由于第 7 项为常数项，则 n﹣9＝0，解得 n＝9 故选 B． p q∨ p q∧ 2: ,1 1p x R x∀ ∈ − ≤ 2 0 0: ,1 1p x R x¬ ∃ ∈ − > , ,a b c 2b ac= 2b ac= , ,a b c ( 1) 1 0xx e− + = 0x = 0x ≠ ( 1) 1 0xx e− + ≠ p q∨ p q∧ 2 n xx x  −    7 n 8 9 10 11 2 n xx x  −    7 ( ) 6 66 6 6 6 6 6 9 6+1 3 1= 2 2 2n n n n n n n n xT C x C x C xx x − − − − − − = =    【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的理解与应用，属于基础题． 5.已知曲线 且 过定点 ，若 且 ，则 的最小值为（ ）. A. B. 9 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数型函数所过的定点，确定 ，再根据条件 ，利用基本不等式求 的最小值. 【详解】 定点为 , ， 当且仅当 时等号成立， 即 时取得最小值 . 故选 A 【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本 计算能力，属于基础题型. 6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了 利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入 的值分别为 .则输出 的值为（ ） 1 1( 0xy a a−= + > 1)a ≠ ( ),k b m n b+ = 0, 0m n> > 4 1 m n + 9 2 5 2 1, 2k b= = 2m n+ = 4 1 m n +  (1,2) 1, 2k b∴ = = 2m n∴ + = 4 1 1 4 1( )( )2 m nm n m n + = + +∴ 1 4 9(5+ )2 2 m n n m = +  4m n n m = 4 2,3 3m n= = 9 2 ,n x 3,3 v A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 执行程序框图： 输入 ，是 ，是， ; ，是， ; ，是， ; ，否，输出 . 故选 D. 7.函数 图象的大致形状是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 15 16 47 48 3 3 1, 2, 0n x v i i= = = = ≥， ， 0i ≥ 1 3 2 5, 1v i= × + = = 0i ≥ 5 3 1 16, 0v i= × + = = 0i ≥ 16 3 0 48, 1v i= × + = = − 0i ≥ 48v = 2( ) 1 sin1 xf x xe  = − +  【解析】 【分析】 化简函数，确定函数奇偶性，讨论函数在 内正负情况，即可排除所有错误选项. 【详解】 则 ，是偶函数，排除 B、D. 当 时， 即 ，排除 A. 故选:C. 【点睛】解复杂函数的图像问题，一般采取排除法.利用单调性，奇偶性，极值，以及函数值 的正负进行判断. 8.已知某几何体 三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 根据三视图作出原几何体（四棱锥 ）的直观图如下： 的 (0, )2 π 2 1( ) ( 1)sin sin1 1 x x x ef x x xe e −= − =+ + 1 1 1( ) sin( ) ( sin ) sin ( )1 1 1 x x x x x x e e ef x x x x f xe e e − − − − −− = − = ⋅ − = =+ + + (0, )2x π∈ 1,sin 0xe x> > ( ) 0f x < 5 6 7 2 2 P ABCD− 可计算 ，故该几何体的最大边长为 . 点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐， 宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是 几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直 观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察 正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调 整. 9.已知函数 ，若在 上随机取一个实数 ，则 的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式 得到 x＞0，再利用几何概型概率公式求解. 【详解】由题得 所以 x≥0， 由几何概型的概率公式得 的概率为 . 故选 B 【点睛】本题主要考查对数不等式的解法和几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知 识的理解掌握水平. 10.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为 ,则 的范围 是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 2, 6PB PD BC PC= = = = 6 ( ) ( )2log 2f x x= + [ ]1,5− 0x ( )0 1f x ≥ 3 5 5 6 5 7 6 7 ( )2log 2 1,x + ≥ ( )2 2log 2 1 log 2,x + ≥ = ( )0 1f x ≥ 5 (0) 5 5 ( 1) 6 − =− − m m ( )2,+∞ [ )2,+∞ ( )3,+∞ [ )3,+∞ 设三个角分别为 ， ， ，由正弦定理可得 ，利用两角和差 的正弦公式化为 ，利用单调性求出它的值域． 【详解】钝角三角形三内角 、 、 的度数成等差数列，则 ， ， 可设三个角分别为 ， ， ． 故 ． 又 ， ． 令 ，且 ， 则 因为函数 在 ， 上是增函数， ， 故选 ． 【点睛】本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式，利用单调性求函数的值域，得到 ，是解题的关键和难点． 11.椭圆 C： （a＞b＞0）的左右焦点为 F1，F2，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 A，B 两点，F1A 与 y 轴相交于点 D，若 BD⊥F1A，则椭圆 C 的离心率等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 3 A π − 3 π 3 A π + sin( )3 sin( )3 Acm a A π π + = = − 3 tan 3 tan A A + − A B C 3B π= 2 3A C π+ = 3 A π − 3 π 3 A π + ( )6 3A π π< < 3 1sin( ) cos sin 3 tan3 2 2 3 1 3 tansin( ) cos sin3 2 2 A A Ac Am a AA A A π π + + += = = = −− − 6 3A π π< < ∴ 3 tan 33 A< < tant A= 3 33 t< < 3 ( 3 ) 2 3 2 31 3 3 3 t tm t t t + − − += = = − + − − − 2 31 3 m t = − + − 3( 3 3) 2m∴ > A sin( )3 sin( )3 A m A π π + = − 2 2 2 2 1x y a b + = 1 3 3 1 2 3 3 由题意可得 ， 的坐标，且知点 为 的中点，再由 ，利用斜率之积等于 列式求解． 【详解】由题意可得， ， ， 则点 为 的中点， ， 由 ，得 ， 即 ，整理得 ， ， ∴ 解得 ． 故选 ． 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题． 12.已知函数 ，函数 g（x）＝x2，若函数 y＝f（x）﹣g（x） 有 4 个零点，则实数 的取值范围为（　　） A. （5，+∞） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 因为 是分段函数，新函数 的零点问题也需要分段研究，每一段上的零点 个数加成总和即为函数的零点个数. 【详解】分段讨论：当 时， 与 有两个交点 ，两个零点. 要使 有 4 个零点, A B D 1F A 1BD F A⊥ 1− 2 ( , )bA c a 2 ( , )bB c a − D 1F A 2 (0, )2 bD a ∴ 1BD F A⊥ 1 1BD F Ak k = − 2 2 2 2 12 b b b a a a c c − − = − 23 2b ac= ∴ 2 23( ) 2a c ac− = 23 +2 3 0e e − = 3 3e = D 2 , 0 ( ) 1 15 , 02 4 x x f x a x x  > =  + −  a 155, 2      195, 2      195, 2      ( )f x ( ) ( )y f x g x= − 0x > ( ) 2xf x = 2( )g x x= (2,4),(4,16) ( ) ( )y f x g x= − 则当 时 与 有两个交点即可（如图）. 过点 作 的切线，设切点为 , 则 ，即切线方程为 , 把点 代入切线方程，得 或 , 又 ，则 ， 又 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 故选 B. 【点睛】分段函数一定要分段研究，不同的取值范围对应不同的解析式．在二次函数与一次 函数相交的问题中，巧妙利用图像法可有效解决问题. 二、填空题 13.曲线 y＝x2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 首先求 处的导数，再根据切线公式 求切线方程. 0x ≤ 1 15( ) 2 4f x a x= + − 2( )g x x= 1 15( , )2 4 − − 2( ) ( 0)g x x x= < 2( , )( 0)m m m < =2k m切 2 2 ( )y m m x m− = − 1 15( , )2 4 − − 5 2m = − 3 2m = 0m < 5 2m = − =2 = 5k m −切 1 150 02 4a⋅ + − < 15 2a < a 15(5, )2 3 2 0x y− − = 1x = ( )( )0 0 0y y f x x x′− = − 【 详 解 】 解 析 ： ， 在 点 （ 1 ， 1 ） 处 的 切 线 斜 率 为 ， 所 以 切 线 方 程 为 . 【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型. 14.已知抛物线 的准线与圆 相切，则 的值为__________． 【答案】2 【解析】 抛物线的准线为 ，与圆相切，则 ， ． 15.已知三棱锥 满足平面 平面 ， ， ， ， 则该三棱锥的外接球的表面积为________________. 【答案】 【解析】 【分析】 先确定球心就是 的外心，再利用正弦定理得到 ，计算表面积得到答案. 【详解】因为 ，所以 的外心为斜边 的中点， 因为平面 平面 ，所以三棱锥 的外接球球心在平面 上， 即球心就是 的外心，根据正弦定理 ，解得 ， 所以外接球的表面积为 . 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心为 的外心是解题的关键. 16. 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 ，且 ，有下列结论： ① ； ② ； ③ ， 时， 的面积为 ； ④当 时， 为钝角三角形. 其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号） 12y x x ′ = + 3 3 2 0x y− − = ( )2 2 0y px p= > ( )2 23 16x y− + = p 2 px = − 3 42 p+ = 2p = P ABC− PAB ⊥ ABC AC BC⊥ 4AB = 030APB∠ = 64π PAB∆ 4R = AC BC⊥ ABC∆ AB PAB ⊥ ABC P ABC− PAB PAB∆ 2sin AB RAPB =∠ 4R = 64π PAB∆ ABC∆ A B C a b c sin :sin :sin ln 2:ln 4:lnA B C t= 2CA CB mc=⋅  2 8t< < 2 29 m− < < 4t = ln 2a = ABC∆ 215 ln 2 8 52 8t< < ABC∆ 【答案】①②④ 【解析】 【详解】 ，∴ ， 故可设 ， ， ， . ，∴ ， 则 ，当 时， ，故 为钝角三角形. 面 ， 又 ，∴ . ，∴ ，即 ，∴ .当 ， 时， 的面积为 ，故四个结论中，只有③不正 确.填①②④． 【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见 题形，要注意三角形内角和为 来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于 第三边来构造不等关系是常用处理技巧． 三、解答题 17.已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， . （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】 （1）由已知求得等比数列的公比，进一步求出首项，则等比数列的通项公式可求，再求得等 sin :sin :sin ln 2:ln 4:lnA B C t= : : ln 2:ln 4:lna b c t= ln 2a k= ln 4 2 ln 2b k k= = lnc k t= 0k > b a c b a − < < + ln 2 3 ln 2k c k< < 2 8t< < 52 8t< < 2 2 2 0a b c+ − < ABC∆ 2 2 2 2 2 2 2 2 25 ln 2cos 2 2 2 a b c a b c k cCA CB ab C ab ab + − + − −⋅ = = ⋅ = =  2CA CB mc=⋅  2 2 2 2 2 2 2 2 5 ln 2 5 ln 2 12 2 2 k c CA CB km c c c − ⋅= = = −   ln 2 3 ln 2k c k< < 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 5 18 ln 2 2 2 ln 2 k k k k c k < < 2 2 2 5 5 ln 2 5 18 2 2 k c < < 2 29 m− < < 4t = ln 2a = ABC∆ 215 ln 2 4 180 { }na { }nb 2 2b = 3 4b = 1 1a b= 6 5a b= { }na n n nc a b= + { }nc n nS 3 2na n= − 23 2 12 nn n− + − 差数列的首项与公差，可得等差数列的通项公式；（2）直接利用数列的分组求和求解． 【详解】（1） ， ∴ 即 ， ， ∴ ∴ （2） ∴ 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前 项和的求法，考查了分组求和的应用， 是基础的计算题． 18. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 （1）求角 ； （2）若 是边 的中点， .求 的长； 【答案】（1） ； （2） 或 7； 【解析】 【分析】 （1）首先根据正弦定理边角互化，得到 ，由 ， 3 2 4 22 bq b = = = 1 1b = 12n nb −= 1 1 1a b= = 6 5 16a b= = 6 1 36 1 a ad −= =− 3 2na n= − 13 2 2n nc n −= − + (1 3 2) 1 2 2 1 2 n n n nS + − −= + − 23 2 12 nn n−= + − n ABC∆ A B C a b c 2 cos 2c A b a= − C D BC 5, 21AC AD= = AB 3C π= 19 2sin cos 2sin sinC A B A= − ( )sin sinB A C= + 代入化简，最后得到 求角 ；（2）首先在 中，根据余弦定理求 ，然后 在 中再利用余弦定理求边 . 【详解】（1） ， 由正弦定理得 ， ， ， ， ， ， （2）在 中，由余弦定理得 ， 或 ， 当 时， 中，由余弦定理得 ， 当 时， 或 . 1cos 2C = C ACD∆ CD ABC∆ AB 2 cos 2c A b a= − ∴ 2sin cos 2sin sinC A B A= − 2sin cos 2sin sinC A A C A= +（ ）-∴ 2sin cos 2sin cos 2cos sin sinC A A C A C A= + −∴ 2sin cos in , sin 0A C s A A= ≠∴ 1cos 2C∴ = ( ) , 3C C ππ∈ = 0， ∴ ACD∆ 2 2 2 2 cosAD AC CD AC CD C= + − ⋅ ⋅ 221 25 5CD CD= + −∴ 2 5 4 0CD CD− + = 1CD =∴ 4CD = 1CD = 2BC = ABC∆ 2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC C= + − ⋅ ⋅ 125 4 2 5 2 2 19= + − × × × = 19AB =∴ 4CD = 8BC = 2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC C= + − ⋅ ⋅ 125 64 2 5 8 492 = + − × × × = 7AB =∴ 19AB =∴ 7AB = 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题型，一般在含有边和角的等式中，可根 据正弦定理的边角互化公式转化为三角函数恒等变形问题. 19.如图，在多面体 中， 平面 ，平面 平面 ， 是边 长为 2 的等边三角形， ， ． （1）证明：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 (1)通过面面垂直的判定转化为线面垂直，进而转化为线线垂直从而证明; (2)建立空间直角坐标系，利用法向量计算即可. 【详解】证明：（1）取 中点 ，连结 ， ∵ ，∴ ， ， ∵ 平面 ，平面 平面 ， 平面 平面 ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴ ， 又 ， ∴四边形 是平行四边形，∴ ， ∵ 是等边三角形，∴ ， ∵ 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ 平面 ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴平面 平面 ． ABCDE AE ⊥ ABC BCD ⊥ ABC ABC∆ 5BD CD= = 2AE = EBD ⊥ BCD BED ABC 5 5 BC O ,AO DO 5BD CD= = DO BC⊥ 2 2 2DO CD OC= − = DO ⊂ BCD DBC  ABC BC= BCD ⊥ ABC DO ⊥ ABC AE ⊥ ABC AE DO∕ ∕ 2DO AE= = AODE ED AO∕ ∕ ABC∆ AO BC⊥ AO ⊂ ABC BCD  ABC BC= BCD ⊥ ABC AO ⊥ BCD ED ⊥ BCD ED ⊂ EBD EBD ⊥ BCD 解：（2）由（1）得 平面 ，∴ ， 又 ， 分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 平面 的一个法向量为 ， 设平面 的一个法向量为 ， ， 则 ，取 ，得 ， 设平面 与平面 所成锐二面角的平面角为 ， 则 ． ∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ． 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力及计算能力,难度不大.建立合适的空间直角坐标 系是解决本题的关键. 20.某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生 30 人，测试立定跳远的成 绩用茎叶图表示如图（单位： ）：男生成绩在 175 以上（包括 175 ）定义为“合 格”，成绩在 175 以下（不包括 175 ）定义为“不合格”．女生成绩在 165 以上（包 括 165 ）定义为“合格”，成绩在 165 以下（不包括 165 ）定义为“不合格”． AO ⊥ BCD AO DO⊥ ,DO BC AO BC⊥ ⊥ , ,OB AO OD , ,x y z ( ) ( )0, 3,0 , 1,0,0 , 0,0,2( ) (, 0, )3,2A B D E− − ABC ( )0,0,1n = BED ( ), ,n x y z= ( 1,0,2) , ( 1, 3,2)BD BE= − = − −  2 0 3 2 0 n BD x z n BE x y z  ⋅ = − + = ⋅ = − − + =   2x = ( )2,0,1n = BED ABC θ | | 1 5cos 5| | | | 5 m n m n θ ⋅= = = ⋅     BED ABC 5 5 cm cm cm cm cm cm cm cm cm (1)求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数； (2)在五年一班的男生中任意选取 3 人，求至少有 2 人的成绩是合格的概率； (3)若从五年一班成绩“合格”的学生中选取 2 人参加复试，用 表示其中男生的人数，写出 的分布列，并求 的数学期望． 【答案】(1)166.5cm (2) (3)见解析 【解析】 【分析】 (1)按照中位数的定义，可以根据茎叶图得到五年一班的女生立定跳远成绩的中位数； (2) 男生中任意选取 3 人，至少有 2 人的成绩是合格，包括两个事件：一个为事件 ：“仅 有两人的成绩合格”，另一个为事件 ：“有三人的成绩合格”，所以至少有两人的成绩是合 格的概率： ，分别求出 ，最后求出 ； (3) 因为合格的人共有 18 人，其中有女生有 10 人合格，男生有 8 人合格，依题意， 的取 值为 0，1，2，分别求出 的值，最后列出 的分布列和计 算出 的数学期望. 【详解】解：(1)由茎叶图得五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为 (2)设“仅有两人的成绩合格”为事件 ，“有三人的成绩合格”为事件 ， 至少有两人的成绩是合格的概率： ， 又男生共 12 人，其中有 8 人合格，从而 ， ，所以 ． (3)因为合格的人共有 18 人，其中有女生有 10 人合格，男生有 8 人合格， 依题意， 的取值为 0，1，2， X X X 42 55P = A B ( ) ( )P P A P B+＝ ( ) ( )P A P B、 P X ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X= = =、 、 X X 165 168 166.5cm2 + = A B ( ) ( )P P A P B+＝ 1 2 4 8 3 12 ( )P A C ⋅=  3 8 3 12 ( )P B C C = 42 55P = X 则 ， 因此，X 的分布列如下： 0 1 2 （人）． 或是，因为 服从超几何分布，所以 （人）． 【点睛】本题考查了根据茎叶图求数据的中位数、概率、随机变量分布列、计算数学期望， 考查了数学运算能力. 21.已知函数 ， （1）讨论 在 上的单调性. （2）当 时，若 在 上的最大值为 ，讨论：函数 在 内的零 点个数. 【答案】（1）当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调 递减；（2） 个零点 【解析】 【分析】 （1）求得 ，根据 范围可知 ，进而通过对 的 0 2 8 10 2 18 5( 0) 17 C CP X C = = = 1 1 8 10 2 18 2 0 8 10 2 18 80( 1) 153 28( 2) 153 C CP X C C CP X C = = = = = = ， ， X P 5 17 80 153 28 153 5 80 28 136 8( ) 0 1 217 153 153 153 9E X∴ = × + × + × = = X 8 8( ) 2 18 9E X = × = ( )1( ) sin 02f x ax x a a R a= − ∈ ≠， ( )f x [0, ]2 π 0a > ( )f x 0, 2 π     1π − ( )f x (0, )π 0a > ( )f x 0, 2 π     0a < ( )f x 0, 2 π     2 ( ) ( )sin cosf x a x x x′ = + x sin cos 0x x x+ > a 正负的讨论得到函数单调性； （2）由（1）可得函数在 上的单调性，进而利用最大值构造方程求得 ，得到函数 解析式；利用单调性和零点存在定理可确定 在 上有 个零点；令 ，求导后，可确定 在 上存在零点，从而得到 的单调 性，通过单调性和零点存在定理可确定零点个数. 【详解】（1） 当 时， 当 ， 时， ；当 ， 时， 当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减 （2）由（1）知，当 时， 在 上单调递增 ，解得： 在 上单调递增， ， 在 内有且仅有 个零点 令 ， 当 时， ， ， 0, 2 π     2a = ( )f x 0, 2 π     1 ( ) sin cosg x x x x= + ( )g x′ ,2 p pé ö÷ê ÷÷ê øë ( )f x ( ) ( )sin cos sin cosf x a x ax x a x x x′ = + = + 0, 2x π ∈   sin cos 0x x x+ > ∴ 0a > 0, 2x π ∈   ( ) 0f x′ > 0a < 0, 2x π ∈   ( ) 0f x′ < ∴ 0a > ( )f x 0, 2 π     0a < ( )f x 0, 2 π     0a > ( )f x 0, 2 π     ( )max 1 1sin 12 2 2 2 2f x f a a a π π π π π− ∴ = = − = = −   2a = ( ) 2 sin 1f x x x∴ = − ( ) ( )2 sin cosf x x x x′∴ = + ( )f x 0, 2 π     ( )0 0 1 1 0f = − = − < 1 02f π π  = − >   ( )f x∴ 0, 2 π     1 ( ) sin cosg x x x x= + ,2x π π ∈   ( ) cos cos sin 2cos sing x x x x x x x x′ = + − = − ,2x π π ∈   cos 0x ≤ sin 0x > 0x > ( ) 0g x′∴ < 在 内单调递减 又 ， ，使得 当 时， ，即 ；当 时， ，即 在 上单调递增，在 上单调递减 在 上无零点且 又 在 上有且仅有 个零点 综上所述： 在 上共有 个零点 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到含参数函数单调性的讨论、函数在区间 内零点个数的讨论；讨论函数零点个数通常采用零点存在定理来确定零点所在区间，需注意 的是，若用零点存在定理说明零点个数，一定要结合单调性来确定零点的个数. 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （其中 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求 和 的直角坐标方程； （2）设点 ，直线 交曲线 于 两点，求 的值. 【答案】（1） : , : （2） 【解析】 【分析】 ( )g x∴ ,2 p pé ö÷ê ÷÷ê øë sin cos 1 02 2 2 2g π π π π  = + = >   ( ) sin cos 0g π π π π π= + = − < 0 ,2x π π ∴∃ ∈   ( )0 0g x = ∴ 0,2x x π ∈   ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > ( )0 ,x x π∈ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < ( )f x∴ 0,2 x π    ( )0 ,x π 1 02f π π  = − >   ( )f x∴ 0,2 x π    ( )0 0f x > ( ) 2 sin 1 1 0f π π π= − = − < ( )f x∴ ( )0 ,x π 1 ( )f x ( )0,π 2 xOy 1C 3 3 62 3 x t y t  = −  = + t O x 2C 2cos 3sinρ θ θ= 1C 2C ( )0,2P 1C 2C ,M N 2 2PM PN+ 1C 2 2 0x y+ − = 2C 2 3x y= 90 （1）消去 得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案. （2）将直线的参数方程代入 ，化简得到 ，利用韦达定理计算得到 答案. 【详解】（1）直线 的参数方程为 （其中 为参数），消去 可得 ； 由 ，得 ，则曲线 的直角坐标方程为 . （2）将直线 的参数方程 代入 ，得 ， 设 对应的参数分别为 ，则 ， . 【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得 到答案，是解题的关键. 23.已知函数 ， ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集包含 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用零点分段法化简 为分段函数的形式，由此解不等式 ，求得不等式 的解集. （2）根据（1） 结论可知当 时， ，将不等式 的解集包含的 t 2 3x y= 2 3 6 18 0t t− − = 1C 3 3 62 3 tx y t  = −  = + t t 2 2 0x y+ − = 2cos 3sinρ θ θ= 2 2cos 3 sinρ θ ρ θ= 2C 2 3x y= 1C 3 3 62 3 x t y t  = −  = + 2 3x y= 2 3 6 18 0t t− − = ,M N 1 2,t t 1 2 1 2 3 6 18 t t t t  + = = − ( )2 2 2 1 2 1 22 90PM PN t t t t+ = + − = 2( ) 8= − + +f x x ax ( ) | 1| | 1|g x x x= + + − 0a = ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x≥ [ ]1,1− a [ ]2 2− , [ ]5,5− ( )g x ( ) ( )f x g x≥ [ ]1,1x∈ − ( ) 2g x = ( ) ( )f x g x≥ [ ]1,1− 的问题，转化为 在 上恒成立来解决，利用二次函数的性质列不等式组， 解不等式组求得 的取值范围. 【详解】（1） ，当 时， ． ， 或 或 ， 或 或 ， ， ∴不等式 解集为 ； （2）由（1）知，当 时， ． ∵不等式 的解集包含 ， 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， ∴ ， ， ∴ 的取值范围为 ． 【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题 求解策略， 属于中档题. 的 的 2 6 0− − ≤x ax [ ]1,1− a 2 , 1 ( ) 1 1 2, 1 1 2 , 1 x x g x x x x x x > = + + − = − ≤ ≤ − < − 0a = 2( ) 8= − +f x x ( ) ( ) f x g x≥ 2 8 2 1 x x x − + ≥  > 2 8 2 1 1 x x − + ≥ − ≤ ≤ 2 8 2 1 x x x − + ≥ −  < − 1 2x∴ < ≤ 1 1x− ≤ ≤ 2 1x− ≤ < − 2 2x∴− ≤ ≤ [ ]2 2− , 1 1x− ≤ ≤ ( ) 2g x = ( ) ( )f x g x≥ [ ]1,1− 2 8 2x ax∴− + + ≥ [ ]1,1− 2 6 0− − ≤x ax [ ]1,1− 2 2 ( 1) 6 0 1 6 0 a a  − + − <  − − ≤ 5 5a∴− ≤ ≤ a [ ]5,5−