安徽省淮南市寿县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试卷 10页

数学试题（理）‎ 第I卷（选择题60分）‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) ‎ ‎1.已知为正数，则“”是“ ”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎2.已知命题 “函数在区间上是增函数”；命题 “存在，使成立”，若为真命题，则的取值范围为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知四棱锥中， ， ， ，则点到底面的距离为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到原点的长，则的最小值为 ‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎5.设F1，F2分别是椭圆E： （a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=，则椭圆E的离心率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过的直线与相交于， 两点，且的中点为，则该双曲线的渐近线方程为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知函数f（x）对定义域内R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时，其导数f'（x）满足xf'（x）＞‎2f'（x），若2＜a＜4，则 A. B. C. D.‎ ‎8.已知抛物线： 的焦点为，准线为， 是上一点， 是直线与的一个交点，若，则 ‎ A. B. C. 3 D. 2‎ ‎9.已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象是 A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎10.已知两点均在焦点为的抛物线上，若，线段的中点到直线的距离为1，则的值为 ‎ A. 1 B. 1或‎3 C. 2 D. 2或6‎ ‎12.已知函数f（x）=xlnx﹣aex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是 A. B.（0，e） C. D.（﹣∞，e）‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎14.抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为,则此抛物线的方程为________ .‎ ‎15.已知函数f(x)＝ x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间 上是增函数，则实数a的取值范围为    ．‎ ‎16.下列说法中所有正确命题的序号是__________．‎ ‎①“”是“”成立的充分非必要条件；‎ ‎②、，则“”是“”的必要非充分条件；‎ ‎③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；‎ ‎④设等比数列的前项和为，则“”是“”成立的充要条件.‎ 三、解答题(共6小题,共70分) ‎ ‎17.（10分）设命题，命题：关于不等式的解集为.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题或是真命题， 且是假命题，求实数的取值范围.‎ ‎18.（12分）已知动点与平面上两定点， 连线的斜率的积为定值．‎ ‎（1）试求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线： 与曲线交于， 两点，当时，求直线的方程．‎ ‎19. （12分）已知分别是双曲线E： 的左、右焦点，P是双曲线上一点， 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当时， 的面积为，求此双曲线的方程。‎ ‎20. （12分）已知函数f（x）=ex（sinx﹣ax2+‎2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数． （1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性； （2）当 ≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．‎ ‎21. （12分）已知抛物线焦点为，点A，B，C为该抛物线上不同的三点，且满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若直线交轴于点，求实数的取值范围．‎ ‎22. （12分）已知函数 ，实数a＞0． （Ⅰ）若a=2时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．‎ 参考答案 ‎1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 6.A 7.B 8.A 9.C 10.B 11.A 12.A ‎13.3 14. 15. 16.②③④‎ ‎17.（1）当为真时， ；（2）的取值范围是。‎ 解析：（1）当为真时，‎ ‎∵不等式的解集为，‎ ‎∴当时， 恒成立.‎ ‎∴，∴‎ ‎∴当为真时， ‎ ‎（2）当为真时，‎ ‎∵，∴当为真时， ；‎ 当为真时， ，‎ 由题设，命题或是真命题， 且是假命题，‎ 真假可得， ‎ 假真可得或 综上可得或 则的取值范围是.‎ ‎18.（1）（）；（2）或 ‎【解析】 (1)设点P的坐标，然后根据 ‎,坐标化化简后可得动点P的轨迹方程，要注意点P不在x轴上.‎ ‎（2）在（1）的基础上，直线方程与椭圆方程联立，消y后根据韦达定理，及弦长公式建立关于k的方程，求出k值，从而直线方程确定 ‎19.（1）（2）‎ 解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是.‎ ‎（2）因为，由余弦定理得，即。又由双曲线的定义得，平方得，相减得。‎ 根据三角形的面积公式得，得。再由上小题结论得，故所求双曲线方程是.‎ ‎20.（1）解：当a=0时，f（x）=ex（sinx﹣e）， ‎ 则f′（x）=ex（sinx﹣e）+excosx=ex（sinx﹣e+cosx），‎ ‎∵sinx+cosx= sin（x+ ）≤ ＜e，‎ ‎∴sinx+cosx﹣e＜0 ‎ 故f′（x）＜0 ‎ 则f（x）在R上单调递减 （2）解：当x≥0时，y=ex≥1， ‎ 要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．‎ 则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．‎ 设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，‎ 看作以a为变量的一次函数，‎ 要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，‎ 则 ，即 ，‎ ‎∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，‎ 对于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，‎ 则h′（x）=cosx﹣2x，‎ 设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．‎ ‎∴t= ，sint＜sin ，‎ ‎∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，‎ 则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（ ）2+2﹣e ‎=sint﹣ +2﹣e= sin2t+sint+ ﹣e=（ +1）2+ ﹣e≤（ ）2+ ﹣e= ﹣e＜0，‎ 故④式成立，‎ 综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0‎ ‎21.（1）（2）‎ 解析：设 由抛物线得焦点坐标为，‎ 所以， ， ,‎ 所以由得 ， ‎ ‎（1）抛物线的准线方程为， ‎ 由抛物线定义得： ， ， ，‎ 所以 .‎ ‎（2）显然直线斜率存在，设为，则直线方程为，‎ 联立消去得，‎ 所以，即．...................... ...................①‎ 且，所以， ‎ 代入式子得又点也在抛物线上，‎ 所以，即．....................................②‎ 由①，②及可解得即，‎ 又当时，直线过点，此时三点共线，由得 与共线，即点也在直线上，此时点必与之一重合，‎ 不满足点为该抛物线上不同的三点，所以，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎22.解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln（1+x）﹣ ，f′（x）= ﹣ = ．（x＞﹣1）． ∴函数f（x）的单增区间为（0，+∞）；单减区间为（﹣1，0）． （Ⅱ）函数 ，实数a＞0．f（0）=0．（x＞0）． f′（x）= ﹣ ‎ ‎ = ． 令g（x）=（1+x）a﹣（1+x）+ax，g（0）=0． a≤0时，可得：g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，满足条件． g′（x）=a（1+x）a﹣1+a，令x=0，则g′（0）=‎2a﹣1． 当0＜a 时，g′（x）≤0，函数g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，满足条件． a 时，存在x0＞0，使得g′（x0）=0，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，x0）上单调递增，g（x）＞g（0）． 从而f（x）在（0，x0）上单调递增，f（x）＞f（0）=0，不满足条件，舍去． 综上可得：a ． 即a的最大值为： ‎