2018届二轮复习（理）专题二　三角函数与平面向量第2讲学案（全国通用） 17页

第 2 讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基 本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两 角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等 变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要 考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 真 题 感 悟 1.(2016·全国Ⅲ卷)若 tan α＝3 4 ，则 cos2α＋2sin 2α＝( ) A.64 25 B.48 25 C.1 D.16 25 解析 tan α＝3 4 ，则 cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋2sin 2α cos2α＋sin2α ＝1＋4tan α 1＋tan2α ＝64 25. 答案 A 2.(2016·山东卷)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 b＝c， a2＝2b2(1－sin A)，则 A＝( ) A.3 4 π B.π 3 C.π 4 D.π 6 解析 因为 b＝c，a2＝2b2(1－sin A)， 所以 cos A＝b2＋c2－a2 2bc ＝2b2－2b2（1－sin A） 2b2 ，则 cos A＝sin A. 在△ABC 中，A＝π 4 . 答案 C 3.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝ 2，则 C＝( ) A.π 12 B.π 6 C.π 4 D.π 3 解析 由题意得 sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0， ∴sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 则 sin C(sin A＋cos A)＝ 2sin Csin A＋π 4 ＝0， 因为 sin C≠0，所以 sin A＋π 4 ＝0， 又因为 A∈(0，π)，所以 A＋π 4 ＝π，所以 A＝3π 4 . 由正弦定理 a sin A ＝ c sin C ，得 2 sin 3π 4 ＝ 2 sin C ， 则 sin C＝1 2 ，得 C＝π 6 . 答案 B 4.(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点 D 为 AB 延长线上一点，BD ＝2，连接 CD，则△BDC 的面积是________，cos∠BDC＝________. 解析 依题意作出图形，如图所示， 则 sin∠DBC＝sin∠ABC. 由题意知 AB＝AC＝4，BC＝BD＝2， 则 sin∠ABC＝ 15 4 ，cos∠ABC＝1 4. 所以 S△BDC＝1 2BC·BD·sin∠DBC＝1 2 ×2×2× 15 4 ＝ 15 2 . 因为 cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－1 4 ＝BD2＋BC2－CD2 2BD·BC ＝8－CD2 8 ，所以 CD＝ 10. 由余弦定理，得 cos∠BDC＝ 4＋10－4 2×2× 10 ＝ 10 4 . 答案 15 2 10 4 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sin α cos α ＝tan α. (2)诱导公式：对于“kπ 2 ±α，k∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的 关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β 1∓tan αtan β. (4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1 －2sin2α. (5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 tan φ＝b a. 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理 在△ABC 中， a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)； 变形：a＝2Rsin A，sin A＝ a 2R ， a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 等. (2)余弦定理 在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝b2＋c2－a2 2bc . (3)三角形面积公式 S△ABC＝1 2absin C＝1 2bcsin A＝1 2acsin B. 热点一 三角恒等变换及应用 【例 1】 (1)(2015·重庆卷)若 tan α＝2tan π 5 ，则 cos α－3π 10 sin α－π 5 ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C，B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，点 B 的坐标为 12 13 ，－ 5 13 ，∠AOC＝α.若|BC|＝1， 则 3cos2α 2 －sinα 2 ·cosα 2 － 3 2 的值为________. 解析 (1) cos α－3π 10 sin α－π 5 ＝ sin π 2 ＋α－3π 10 sin α－π 5 ＝ sin α＋π 5 sin α－π 5 ＝ sin αcosπ 5 ＋cos αsinπ 5 sin αcosπ 5 －cos αsinπ 5 ＝ tan α tanπ 5 ＋1 tan α tanπ 5 －1 ＝2＋1 2－1 ＝3. (2)由题意得|OC|＝|OB|＝|BC|＝1，从而△OBC 为等边三角形，所以 sin∠AOB＝ sin π 3 －α ＝ 5 13 ， 又因为 3cos2α 2 －sinα 2 cosα 2 － 3 2 ＝ 3·1＋cos α 2 －sin α 2 － 3 2 ＝－1 2sin α＋ 3 2 cos α ＝sin π 3 －α ＝ 5 13. 答案 (1)C (2) 5 13 探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点 (1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值， 然后结合角的取值范围，求出角的大小. 【训练 1】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 Ox 为始 边，它们的终边关于 y 轴对称.若 sin α＝1 3 ，则 cos(α－β)＝________. (2)(2017·石家庄质检)若 cos(2α－β)＝－11 14 ，sin(α－2β)＝4 3 7 ，0<β<π 4 <α<π 2 ， 则α＋β的值为________. 解析 (1)α与β的终边关于 y 轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋ 2kπ，k∈Z. ∴cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2kπ) ＝－cos 2α＝－(1－2sin2α) ＝－ 1－2×1 9 ＝－7 9. (2)因为 cos(2α－β)＝－11 14 且π 4 <2α－β<π， 所以 sin(2α－β)＝5 3 14 . 因为 sin(α－2β)＝4 3 7 且－π 4 <α－2β<π 2 ， 所以 cos(α－2β)＝1 7. 所以 cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－11 14 ×1 7 ＋5 3 14 ×4 3 7 ＝1 2. 因为π 4 <α＋β<3π 4 ，所以α＋β＝π 3 . 答案 (1)－7 9 (2)π 3 热点二 正弦定理与余弦定理 命题角度 1 利用正(余)弦定理进行边角计算 【例 2－1】 (2017·武汉二模)在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， 且 2cos Acos C(tan Atan C－1)＝1. (1)求 B 的大小； (2)若 a＋c＝3 3 2 ，b＝ 3，求△ABC 的面积. 解 (1)由 2cos Acos C(tan Atan C－1)＝1， 得 2(sin Asin C－cos Acos C)＝1，即 cos(A＋C)＝－1 2 ， ∴cos B＝－cos(A＋C)＝1 2 ， 又 0b， a＝5，c＝6，sin B＝3 5. (1)求 b 和 sin A 的值； (2)求 sin 2A＋π 4 的值. 解 (1)在△ABC 中，因为 a>b， 故由 sin B＝3 5 ，可得 cos B＝4 5. 由已知及余弦定理，有 b2＝a2＋c2－2accos B＝13， 所以 b＝ 13. 由正弦定理 a sin A ＝ b sin B ，得 sin A＝asin B b ＝3 13 13 . 所以，b 的值为 13，sin A 的值为3 13 13 . (2)由(1)及 a