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- 2021-06-16 发布
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绝对值不等式
[必备知识]
考点1 绝对值不等式的解法
1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．
2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式
(1)绝对值不等式|x|>a与|x|0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．
考点2 绝对值不等式的应用
1．定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
2．如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
3．由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
(1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
(2)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
(3)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．|ax＋b|≤c(c≥0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.( )
2．若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )
3．|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( )
4．不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.( )
二、小题快练
1．[课本改编]不等式3≤|5－2x|<9的解集为( )
A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]
2．[2017·南宁模拟]若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
考向 绝对值不等式的解法
例1 [2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
【变式训练1】 [2017·贵阳模拟]已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围．
考向 绝对值不等式的证明
例2 (1)[2016·江苏高考]设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|0，a，b为非零实数，且满足4a2－2ab＋4b2＝c，当|2a＋b|最大值时，－＋的最小值为________；取得最小值时a，b，c的值分别为________．
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