2018-2019学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一下学期期末数学（文）试题（解析版） 14页

‎2018-2019学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一下学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出N={-1,0,1,2,3},再求得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得N={x|-1≤x≤3，={-1,0,1,2,3},‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2．设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（　　）‎ A．直线l不平行于直线m B．直线l与直线m异面 C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直 ‎【答案】C ‎【解析】由题设条件，得到直线与直线异面或平行，进而得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，因为直线与平面平行，直线在平面上，‎ 所以直线与直线异面或平行，即直线与直线没有公共点，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中直线与直线只见那的位置关系的判定及应用，以及直线与平面平行的应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．‎ ‎3．如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先根据三视图画出几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：根据几何体得三视图转换为几何体为：‎ 故：V．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．‎ ‎4．不等式的解集是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由不等式可得或者，由此解得x的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：由不等式可得或者 不等式得解集为 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想.‎ ‎5．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）‎ A．75° B．60° C．45° D．30°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图：是底面中心，是侧棱与底面所成的角；在直角中，故选C ‎6．若，则下列不等式成立的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用的单调性直接判断即可。‎ ‎【详解】‎ 因为在上递增，‎ 又，所以成立。‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了幂函数的单调性，属于基础题。‎ ‎7．已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据母线长和母线与轴的夹角求得底面半径和圆锥的高，代入体积公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，底面半径；圆锥的高 圆锥体积 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查锥体体积的求解问题，属于基础题.‎ ‎8．在正方体中， 与所成的角为（　　）‎ A．30° B．90° C．60° D．120°‎ ‎【答案】C ‎【解析】把异面直线与所成的角，转化为相交直线与所成的角，利用为正三角形，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 连结，则，‎ 所以相交直线与所成的角，即为异面直线与所成的角，‎ 连结，则是正三角形，所以，‎ 即异面直线与所成的角，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中异面直线及其所成角的求法，其中根据异面直线的定义，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9．已知，，则的最大值为（　　）‎ A．9 B．3 C．1 D．27‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知，可利用柯西不等式，构造柯西不等式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由已知，可知，，‎ 利用柯西不等式，‎ 可构造得，‎ 即，所以的最大值为3，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎10．如图，已知正三棱柱的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（　　）cm．‎ A．12 B．13 C．14 D．15‎ ‎【答案】B ‎【解析】将三棱柱的侧面展开，得到棱柱的侧面展开图，利用矩形的对角线长，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 将正三棱柱沿侧棱展开两次，得到棱柱的侧面展开图，如图所示，‎ 在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，‎ 即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值，‎ 由已知求得的长等于，宽等于，‎ 由勾股定理得，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了棱柱的结构特征，以及棱柱的侧面展开图的应用，着重考查了空间想象能力，以及转化思想的应用，属于基础题．‎ ‎11．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ）‎ A．1∶ B．1∶9 C．1∶ D．1∶‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：因为在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，那么分为的两个锥体的体积比为1：，因此锥体被截面所分成的两部分的体积之比为．1∶‎ ‎12．已知是球的球面上的四个点，平面，，，则该球的半径为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由题意，补全图形，得到一个长方体，则即为球的直径，根据题中条件，求出，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 如图，补全图形得到一个长方体，则即为球的直径.‎ 又平面，，,‎ 所以，‎ 因此直径，‎ 即半径为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记几何体的结构特征即可，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎13．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____（填“＞”、“＜”或“＝”）．‎ ‎【答案】<‎ ‎【解析】直接利用作差比较法解答.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,‎ 所以 所以.‎ 故答案为：＜‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查作差比较法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．若一个球的体积是，则它的表面积是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设铁球的半径为,则，解得；则该铁球的表面积为.‎ ‎【考点】球的表面积与体积公式.‎ ‎15．已知函数，则的取值范围是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分类讨论，去掉绝对值，利用函数的单调性，求得函数各段上的取值，进而得到函数的取值范围，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，当时，函数，此时函数为单调递减函数，‎ 所以最大值为，此时函数的取值 ‎ 当时，函数，此时函数为单调递减函数，‎ 所以最大值为，最小值，所以函数的取值为 ‎ 当时，函数，此时函数为单调递增函数，‎ 所以最大值为，此时函数的取值，‎ 综上可知，函数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的值域问题，其中解答中合理分类讨论去掉绝对值，利用函数的单调性求得各段上的值域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．‎ 在上面结论中，正确结论的编号是________．(写出所有正确结论的编号)‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】用正方体ABCD-A1B1C1D1实例说明A1D1与BC1在平面ABCD上的投影互相平行，AB1与BC1在平面ABCD上的投影互相垂直，BC1与DD1在平面ABCD上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．‎ 三、解答题 ‎17．设一元二次不等式的解集为．‎ ‎（Ⅰ）当时，求；‎ ‎（Ⅱ）当时,求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）将代入得到关于的不等式，结合一元二次方程解一元二次不等式可求得集合；（Ⅱ）解集为即不等式恒成立，求解时结合与之对应的二次函数考虑可得到需满足的条件解不等式求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，原不等式为：‎ 解方程得 ‎．‎ ‎（Ⅱ）由，即不等式的解集为R，则 ‎.‎ ‎18．如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD，．‎ ‎ (I)求证：平面ABCD；‎ ‎(II)求证：平面ACF⊥平面BDF．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】(1)添加辅助线，通过证明线线平行来证明线面平行.‎ ‎(2) 通过证明线面垂直面，来证明面面.‎ ‎（Ⅰ）证明：如图，过点作于，连接，∴．‎ ‎∵平面⊥平面，平面，‎ 平面平面 ，‎ ‎∴⊥平面，‎ 又∵⊥平面，，‎ ‎∴，.‎ ‎∴四边形为平行四边形．‎ ‎∴. ‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面． ‎ ‎（Ⅱ）证明：面，，又四边形是菱形，‎ ‎，又，面，‎ 又面，从而面面． ‎ 点晴：本题考查的是空间线面的平行和垂直关系.第一问要考查的是线面平行，通过先证明，得四边形为平行四边形．证得，可得平面，这里对于线面平行的条件平面，平面要写全;第二问中通过先证明面，再结合面，从而面面．‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）当，时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，，的最小值为2，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用零点讨论法解绝对值不等式；（2）利用绝对值三角不等式得到a+b=2,再利用基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当，时，，‎ 得或或，解得：，‎ ‎∴不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，时取等号.‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查绝对值三角不等式和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20．如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，为线段上一点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）当平面时，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】（1）利用线面垂直判定定理得平面，可得；根据等腰三角形三线合一得，利用线面垂直判定定理和面面垂直判定定理可证得结论；（2）利用线面平行的性质定理可得，可知为中点，利用体积桥可知，利用三棱锥体积公式可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：， 平面 又平面 ‎ ‎，为线段的中点 ‎ 平面 平面 平面平面 ‎（2）平面，平面平面 为中点 为中点 三棱锥的体积为 ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的判定定理、线面平行的性质定理、棱锥体积公式、体积桥方法的应用，属于常考题型.‎ ‎21．选修4—5:不等式选讲 已知，．‎ ‎（1）求的最小值 ‎（2）证明：．‎ ‎【答案】（1）3； （2）证明见解析．‎ ‎【解析】【试题分析】(1)利用柯西不等式求得最小值为.(2)将不等式的右边变为,用基本不等式可求得右边的最小值为,由此证得不等式成立.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）因为，，‎ 所以,即，‎ 当且仅当时等号成立，此时取得最小值3．‎ ‎（2） ‎ ‎．‎ ‎22．如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，分别为⊙O、⊙O1‎ 的直径，且平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若圆柱的体积，‎ ‎①求三棱锥A1﹣APB的体积．‎ ‎②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成角的余弦值为？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析 ‎【解析】（1）根据，得出平面，故而；（2）①根据圆柱的体积计算，根据计算，，代入体积公式计算棱锥的体积；②先证明就是异面直线与所成的角，然后根据可得，故为的中点．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵P在⊙O上，AB是⊙O的直径，‎ 平面 又，‎ 平面，又平面，故．‎ ‎（2）①由题意，解得，‎ 由，得，，‎ ‎∴三棱锥的体积．‎ ‎②在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与 所成角的余弦值为．‎ 证明：∵O、M分别为的中点，则，‎ 就是异面直线OM与所成的角，‎ 又，‎ 在中，．‎ ‎∴在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算以及异面直线所成的角，属于中档题．‎