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- 2021-06-16 发布
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绝密★启用前 【考试时间:2020年4月24日下午15∶00~17∶00】
湖南湖北四校2020届高三学情调研联考
文科数学试题卷
本试卷共5页,满分150分,考试用时120分钟.
考生注意:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
祝考试顺利
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.,互为共轭复数,且则( )
A.2 B.1 C. D.4
3.如图所示,三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一个内角为,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )
A.20 B.27 C.54 D.64
4.如图,在中,点在线段上,且,若,则( )
A. B. C. D.2
5.已知定义在上的函数(为实数)为偶函数,记,,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.如图所示是某多面体的三视图,左上为正视图,右上为侧视图,左下为俯视图,且图中小方格单位长度为1,则该多面体的侧面最大面积为( )
A. B. C. D.2
7.已知双曲线的左,右焦点分别为,,又点.若双曲线左支上的任意一点均满足,则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.为计算,设计了下面的程序框图,则在空白框中应填入( )
A. B. C. D.
9.已知的内角所对的边分别为,且,则的最大值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数在区间上是增函数,且在区间上恰好取得一次最大值1,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.过双曲线右焦点的直线交两渐近线于、两点,若,为坐标原点,且内切圆半径为,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
12.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上,,是边长为2的正三角形,分别是的中点,,则球的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.命题“,”的否定是 .
14.观察分析下表中的数据:
多面体
面积()
顶点数()
棱数()
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中所满足的等式是 .
15.设函数,函数,若对于任意的,总存在,使得,则实数的取值范围是 .
16.某小商品生产厂家计划每天生产型、型、型三种小商品共100个,生产一个型小商品需5分钟,生产一个型小商品需7分钟,生产一个型小商品需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个型小商品可获利润8元,生产一个型小商品可获利润9元,生产一个型小商品可获利润6元.该厂家合理分配生产任务使每天的利润最大,则最大日利润是 元.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:60分.
17.已知数列满足:,,.
(1)证明:是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)设,求实数为何值时恒成立.
18.如图,是边长为2的菱形,,平面,平面,.
(1)求证:;
(2)求几何体的体积.
19.在“挑战不可能”的电视节目上,甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动,规则是由密码专家给出题目,然后由3个人依次出场解密,每人限定时间是1分钟内,否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确,则认为该团队挑战成功,否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况,抽取了甲100次的测试记录,绘制了如下的频率分布直方图.
(1)若甲解密成功所需时间的中位数为47,求、的值,并求出甲在1分钟内解密成功的频率;
(2)在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力,甲,乙,丙解密成功的概率分别为,其中表示第个出场选手解密成功的概率,并且定义为甲抽样中解密成功的频率代替,各人是否解密成功相互独立.
①求该团队挑战成功的概率;
②该团队以从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密,求团队挑战成功所需派出的人数的可能值及其概率.
20.如图,设抛物线的准线与轴交于椭圆
的右焦点为的左焦点.椭圆的离心率为,抛物线与椭圆交于轴上方一点,连接并延长其交于点,为上一动点,且在之间移动.
(1)当取最小值时,求和的方程;
(2)若的边长恰好是三个连续的自然数,当面积取最大值时,求面积最大值以及此时直线的方程.
21.已知函数,其中为常数.
(1)若直线是曲线的一条切线,求实数的值;
(2)当时,若函数在上有两个零点.求实数的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为,(为参数),曲线.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)若直线与,轴的交点分别为,点在上,求的取值范围;
(2)若直线与交于两点,点的直角坐标为,求的值.
23.[选修4–5:不等式选讲]
已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,都有恒成立,求的取值范围.
绝密★启用前【考试时间:2020年4月24日下午15∶00~17∶00】
湖南湖北四校2020届高三学情调研联考
文科数学试题卷参考答案及解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
A
D
C
B
B
C
B
A
D
1.B 【解析】由题意得,,,,故选B.
2.C 【解析】设,,代入得,所以,,解得,,所以.
3.B 解析:设大正方体的边长为,则小正方体的边长为,设落在小正方形内的米粒数大约为,则,解得:.
4.A 【解析】,
所以,,从而求得.
5.D 解析:函数是偶函数,在上恒成立,,当
时,易得为增函数,,,,,,
6.C 由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥,
故,,,,,
,,,
该多面体的侧面最大面积为.故选C.
7.B 解析:双曲线左支上的任意一点均满足,
即,
又
或
,或
8.B 详解:由得程序框图先对奇数项累加,偶数项累加,最后再相减.因此在空白框中应填入,选B.
9.C 【解析】由正弦定理,得,
,
,
整理,得,同除以,得 ,由此可得、是三角形内角,且与同号,、都是锐角,即,,
,
当且仅当,即 时,的最大值为.
10.B 解析:,.
令可得,在区间上恰好取得一次最大值,解得.
令,解得:,在区间上是增函数,
,解得.综上,.故选:B.
11.A 解析:因为,所以双曲线的渐近线如图所示,
设内切圆圆心为,则在平分线上,
过点分别作于,于,由得四边形为正方形,由焦点到渐近线的距离为得,又,所以,
,所以,所以,得.故选A.
12.D 解析:方法一:本题也可用解三角形方法,达到求出棱长的目的.适合空间想象能力略差学生.
设,分别为中点,
,且,为边长为2的等边三角形,
又,
中余弦定理,作于,,
为中点,,,
,,,,又,两两垂直,,,,故选D.
方法二:,为边长为2的等边三角形,为正三棱锥,
,又,分别为、中点,
,,又,,平面,平面,,,为正方体一部分,
,即 ,,故选D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.,
14.
解析:凸多面体的面数为.顶点数为和棱数为,
①正方体:,,,得;
②三棱柱:,,,得;
③三棱锥:,,,得.
根据以上几个例子,猜想:凸多面体的面数.和棱数满足如下关系:
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等,发现上述公式都成立.
因此归纳出一般结论:
故答案为:
15.解析:,,对于任意的,当时,,当时,,即在上为减函数,在上为增函数.为在上的极小值点,也是最小值点且最小值为,
对于任意的,,而总存在,使得,
.,①时,,不合题意,
②时,,此时,不合题意,③时,,
,,.
16.850【解析】依题意,每天生产的玩具型商品个、商品个、商品的个数等于:,所以每天的利润.
约束条件为:,整理得.目标函数为.如图所示,做出可行域.
初始直线,平移初始直线经过点时,有最大值.由得.最优解为,此时(元).即最大日利润是850元.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.(1),,.数列是以为首项,为公差的等差数列.
∴ , ∴.
(2).
.由条件可知恒成立即可满足条件,设,当时,恒成立,当时,由二次函数的性质知不可能成立.当
时,对称轴,在为单调递减函数.
,,时恒成立.综上知:时,恒成立.
18.【解析】(1)连接,平面,平面,,,,,四点共面,,设,为菱形,.,平面,平面,.
(2),,为直角梯形,在菱形中,,,,,梯形的面积,平面,.
19.解析:(1)甲解密成功所需时间的中位数为47,
,
解得;
,
解得;
甲在1分钟内解密成功的频率是
(2)①由题意及(1)可知第一个出场选手解密成功的概率为;
第二个出场选手解密成功的概率为,
第三个出场选手解密成功的概率为,
所以该团队挑战成功的概率为
(或令“该团队挑战成功”的事件为,“挑战不成功”的事件为,
,
该团队挑战成功的概率为
②由①可知按从小到大的顺序的概率分别,,,
根据题意知的取值为1,2,3;
则,,
.
20.(1)因为,则,所以取最小值时,
此时抛物线,此时,所以椭圆的方程为;
(2)因为,则,设椭圆的标准方程为,
由得,所以或(舍去),代入抛物线方程得,即,
于是,,,又的边长恰好是三个连续的自然数,所以.此时抛物线方程为,,则直线的方程为.联立,得或(舍去),于是.所以,
设到直线的距离为,则,当
时, ,所以的面积最大值为.此时.
21.(1)函数的定义域为,,曲线在点处的切线方程为.由题意得解得,.所以的值为1.
(2)当时,,则,由,得,由,得,则有最小值为,即,所以,,由已知可得函数的图象与直线有两个交点,
设,则,
令,,
由,可知,所以在上为减函数,
由,得时,,当时,,
即当时,,当时,,
则函数在上为增函数,在上为减函数,
所以,函数在处取得极大值,
又,,
所以,当函数在上有两个零点时,的取值范围是,
即.
22.(1)由题意可知:直线的普通方程为,,的方程可化为,设点P的坐标为,,
(2)曲线的直角坐标方程为:直线的标准参数方程为(为参数),代入得:设两点对应的参数分别为
故异号
23.答案:(1)当时,
当解得当恒成立.
当解得,此不等式的解集为.
(2),
当时,
当时,,当单调递减,
的最小值为
设
当,当且仅当时,取等号
即时,取得最大值.
要使恒成立,只需,即.