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- 2021-06-16 发布
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2018-2019 学年内蒙古赤峰市高一上学期期末数学(文)试题
一、单选题
1.下面有四个命题:其中正确命题的个数为( )
(1)集合 N 中最小的数是 1;
(2)若﹣a 不属于 N,则 a 属于 N;
(3)若 a∈N,b∈N,则 a+b 的最小值为 2;
(4)x2+1=2x 的解可表示为{﹣1,1}.
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
【答案】A
【解析】(1)0 是自然数;(2)可以举一个反例验证;(3)取 ;(4)考虑
集合元素的特性.
【详解】
解:集合 中最小的数是 0,所以(1)不正确;
,但 ,所以(2)不正确;
若 ,则 ,若 ,则 ,则 ,当且仅当 时取等号,则
的最小值为 0,所以(3)不正确;
的解表示为 ,所以(4)不正确.
所以正确的命题为 0 个.
故选:A.
【点睛】
本题考查了命题真假的判断与运用,以及元素与集合之间的关系,解答的关键是掌握自
然数集的概念,及集合中元素的三个特性,即确定性、互异性和无序性.
2.下列各组函数中,表示同一函数的是( )
A. , B. ,
C.y=1, D. ,
【答案】A
【解析】判断时每组函数的定义域和对应关系是否相同.
【详解】
A 中的函数 与 是同一函数;
0a b= =
N
1
2 N− ∉ 1
2 N∉
a N∈ 0a Nb∈ 0b 0a b+ 0a b= =
+a b
2 1 2x x+ = {1}
y x= 3 3y x= 1 1y x x= − × + 2 1y x= −
xy x
= y x= ( )2
y x=
3 3y x x= = ( )x R∈ y x= ( )x R∈
B 中 , 定义域不相
同,不是同一函数;
C 中 y=1 , 定义域不相同,不是同一函数;
D 中 , 两个函数的定义域不相同, 对应法则也
不相同,不是同一函数;
故选:A.
【点睛】
本题考查相等函数的定义,相等函数的是“定义域、对应关系、值域”三要素完全相同的
函数.
3.函数 的定义域是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意易得: ,解得:
故定义域为:
故选:C
4.已知 ,则 的值为( )
A. B.2 C. D.-1
【答案】B
【解析】试题分析: .故选 B
【考点】分段函数.
5.若函数 的定义域为 ,值域为 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
21 1 1y x x x= − × + = − ( )1x ≥ 2 1y x= − ( )1 1x x≥ ≤ −或
( )x R∈ ( )1 0xy xx
= = ≠
y x= ( )x R∈ ( ) ( )2
0y x x x= = ≥
4
5
xy x
−= −
{ | 5}x x ≠ ± { | 4}x x ≥
{ | 4 5 5}x x x≤ 或 { | 4 5}x x< <
4 0
5 0
x
x
− ≥
− ≠
4 5 5x x或≤
{ | 4 5 5}x x x或≤
( ) ( )
1 , 1 01
,0 1
xf xf x
x x
− < < +=
≤ <
1
2f −
1
2
1
2
−
1 1 1 1( ) 21 1 12 ( 1) ( )2 2 2
f
f f
− = = = =
− +
2 3 4y x x= − − [0, ]m 25[ , 4]4
− − m
(0,4] 3[ ,4]2
3[ ,3]2
3[ , )2
+∞
【解析】根据二次函数图象可得 的取值范围.
【详解】
因为当 时 ,当 时 或 ,因此 的取值
范围是 .
【点睛】
本题考查二次函数图象与性质,考查综合分析求解能力,属中档题.
6.已知角 的终边经过点 ,则角 的最小正值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析:根据三角函数的定义,知道 而且点
位于第四象限,所以最小正角为 .
【考点】本小题考查了三角函数的定义的应用.
点评:计算出 还要注意到点 位于第四象限.
7.已知 ,且 为第二象限角,那么 的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ 且 是第二象限的角,
∴ ,∴ ,故选 C.
m
3
2x = 25
4y = − 0y = 24 3 4, 0x x x− = − − = 3x = m
3[ ,3]2
α ( )3, 1− α
2
3
π 11
6
π 5
6
π 3
4
π
1 1sin ,23 1
α −= = −
+
( )3, 1−
11
6
π
1sin ,2
α = − ( )3, 1−
8.给出下列各函数值:① ;② ;③ ; ④
. 其中符号为负的是( )
A.① B.② C.③ D.④
【答案】C
【解析】利用诱导公式分别对四个特设条件进行化简整理,进而根据三角函数的性质判
断正负.
【详解】
sin(﹣1000°)=sin(﹣2×360°﹣280°)=﹣sin280°=cos10°>0,
cos(﹣2200°)=cos(﹣6×360°﹣40°)=cos40°>0,
tan(﹣10)=﹣tan(3π+0.58)=﹣tan(0.58)<0
=﹣ = >0
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了运用诱导公式化简求值.解题时应正确把握好函数值正负号的判定.
9.设点 A(2,0),B(4,2),若点 P 在直线 AB 上,且 ,则点 P 的坐标
为( )
A.(3,1) B.(1,﹣1)
C.(3,-1)或(-1,1) D.(3,1)或(1,﹣1)
【答案】C
【解析】根据已知求出向量 的坐标,进而根据 ,可求出向量 的
坐标,进而求出点 的坐标.
【详解】
解: , ,∴ ,
点 在直线 上,且 ,∴ ,或 ,
故 ,或 ,故 点坐标为 或 ,
故选:C.
【点睛】
0sin( 1000 )− 0cos( 2200 )− tan( 10)−
7sin cos10
17tan 9
π π
π
7
10
17
9
sin cos
tan
π π
π
7
10
9
sin
tan
π
π−
7
10
9
sin
tan
π
π
2AB AP=
AB | | 2 | |AB AP= AP
P
(2,0)A (4,2)B (2,2)AB =
P AB | | 2 | |AB AP= 2AB AP= 2AB AP= −
(1,1)AP = ( 1, 1)AP = − − P (3,1) (1, 1)−
本题考查的知识点是平面向量坐标表示,熟练掌握向量坐标等于终点坐标与起点坐标的
差是解答的关键.
10.已知 , 均为单位向量,它们的夹角为 ,那么 ( )
A. B. C. D.4
【答案】C
【解析】试题分析: ,
,所以 .
【考点】向量的模的计算,向量数量积,模与向量关系.
11.若 ,则函数 的两个
零点分别位于区间( )
A. 和 内 B. 和 内
C. 和 内 D. 和 内
【答案】A
【解析】试题分析: ,所以 有
零点,排除 B,D 选项.当 时, 恒成立,没有零点,排除 C,故选 A.另
外 ,也可知 内有零点.
【考点】零点与二分法.
【思路点晴】如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线,且有
· ,那么,函数 在区间 内有零点,即存在 使得
,这个 也就是方程 的根.注意以下几点:①满足条件的零点可能不
唯一;②不满足条件时,也可能有零点.③由函数 在闭区间 上有零点不
一定能推出 · ,如图所示.所以 · 是 在闭区间
上有零点的充分不必要条件.
12.已知方程 9x﹣2•3x+3k﹣1=0 有两个实根,则实数 k 的取值范围为( )
A.[ ,1] B.( , ] C.[ ,+∞) D.[1,+∞)
a b 060 3a b+ =
10
( )2 2 23 3 6 9a b a b a a b b+ = + = + ⋅ +
a b c< < ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f x x a x b x b x c x c x a= − − + − − + − −
( , )a b ( , )b c ( , )a−∞ ( , )a b
( , )b c ( , )c +∞ ( , )a−∞ ( , )c +∞
( ) ( )( ) ( ) ( )( )0, 0f b b c b a f c c a c b= − − = − − ( , )b c
x c> ( ) 0f x >
( ) ( )( ) 0f a a b a c= − − > ( , )a b
( , )a b ( , )c a b∈
[ ],a b
[ ],a b
2
3
1
3
2
3
2
3
【答案】B
【解析】将指数方程的解的问题,转化为二次方程的区间根的问题,即方程
有两个实根可转化为 有两个正根,结合韦达定理有
,求解即可.
【详解】
解:设 ,则 ,则原方程有两个实根可转化为 有两个正根,
则有 ,解得: ,
故选:B.
【点睛】
本题考查了指数方程的解的问题,转化为二次方程的区间根的问题求解即可,属简单
题.
二、填空题
13.若 且 ,则 .
【答案】-2,2,0
【解析】【详解】
由 ,得 ,
则 或 ,
∴x=﹣2,x=2,x=0,x=1(违反互异性,舍去),
故答案为﹣2,2,0.
点评: 本题主要考查集合的子集运算,及集合元素的互异性.
14.已知 ,则 在 上的投影为 .
【答案】
【解析】试题分析:根据向量投影的概念, 在 上的投影
.
【考点】向量的投影
9 2 3 3 1 0x x k− + − =
2 2 3 1 0t t k− + − =
4 4(3 1) 0
3 1 0
k
k
− −
− >
3xt = 0t > 2 2 3 1 0t t k− + − =
4 4(3 1) 0
3 1 0
k
k
∆ = − −
− >
1 2
3 3k<
{ } { }21,4, , 1,A x B x= = A B B= x =
A B B= B A∴ ⊆
2 4x = 2x x=
( ) ( )2,3 , 4,7a b= − a b
65
5
a b
( )
( )22
2 4 3 7 65
54 7
a b
b
× − + ×⋅= = =
+ −
15.一次函数 是减函数,且满足 ,则 .
【答案】-2x+1
【解析】由一次函数 f(x)是减函数,可设 f(x)=kx+b(k<0).
则 f[f(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b,
∵f[f(x)]=4x-1,
∴f(x)=-2x+1.
16.直线 与曲线 有四个交点,则 的取值范围是 .
【答案】(1,
【解析】【详解】
本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想. 如
图,在同一直角坐标系内画出直线 与曲线 ,由图可知,a 的取值必
须满足 解得 .
三、解答题
17.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0,0≤φ≤π)的图象如
图所示.
( )f x [ ]( ) 4 1f f x x= − ( )f x =
1y = a
5)4
1y =
1
{ ,4 1 14
a
a
>
− <
51 4a< <
(1)求函数 f(x)的解析式;
(2)求 f( )的值.
【答案】(1) ; (2) .
【解析】(1)根据图象的最高点坐标,最高点横坐标与零点距离等求出 , , ,
即可得解;
(2)利用(1)的解析式代入求值即可得解.
【详解】
解:(1)由图象可知 ,并且 ,所以 ,
又 ,即 ,
可得 , ,可得 , ,
又因为: ,所以可得 ,所以 ;
(2)由(1)得到
.
【点睛】
本题考查了三角函数的图象以及性质;关键是熟练掌握正弦函数的图象和性质,属于基
础题.
18.已知 ,求:
(1) 的最小正周期及对称轴方程;
(2) 的单调递增区间;
(3)若方程 在 上有解,求实数 m 的取值范围.
【答案】(1)最小正周期 ,对称轴方程为 , ;(2) ,
, ;(3) .
【解析】(1)由条件利用正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性,得出结论;
5
3
π−
( ) 2sin(2 )6f x x
π= + 5( ) 13f
π− =
A ϕ ω
2A = 4 11( )3 12 6T
π π π= − = 2ω =
( ) 2sin( ) 26 3f
π π ϕ= + = sin( ) 13
π ϕ+ =
23 2k
π πϕ π+ = + k Z∈ 2 6k
πϕ π= + k Z∈
0 ϕ π 6
π=ϕ ( ) 2sin(2 )6f x x
π= +
5( )3f
π− = 102sin( )3 6
π π− + 10 122sin( )3 3 6
π π π= − + + 52sin 6
π=
2sin 16
π= =
2( ) sin(2 ) 22 4f x x
π= − + +
( )f x
( )f x
( ) 1 0f x m− + = [0, ]2x
π∈
T π=
2 8
kx
π π= + k Z∈ [ 8k
ππ +
5 ]8k
ππ + k Z∈ 2 7[3 , ]2 2m∈ −
(2)求出 的减区间,即为 的单调递增区间,再利用正弦函数的
单调性得出结论;
(3)由题意可得函数 的图象和直线 在 , 上有交点,根据正弦
函数的定义域和值域求出 的值域,可得 的范围.
【详解】
解:(1)由于 ,它的最小正周期 ,
令 ,求得 , ,
故函数 的对称轴方程为 , ;
(2)令 ,求得 ,
∴函数 的增区间为 , , ;
(3)若方程 在 , 上有解,
则函数 的图象和直线 在 , 上有交点.
∵ ,∴ ,则 , ,
故 ,∴ .
【点睛】
本题主要考查正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性、单调性,正弦函数的
定义域和值域,属于中档题.
19.已知 ΔABC 三个顶点坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).
(1)若 ,求 c 的值;
(2)若 C=5,求 sin∠A 的值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1)用坐标表示点,代入 求解;(2)已知三角形的三边,则
先求出 ,再求出 .
试题解析:解(1)
由 可得 ,解得
sin(2 )4y x
π= + ( )f x
( )f x 1y m= − [0x∈ ]2
π
( )f x m
2( ) sin(2 ) 22 4f x x
π= − + + 2
2T
π π= =
2 4 2x k
π ππ+ = +
2 8
kx
π π= + k Z∈
( )f x
2 8
kx
π π= + k Z∈
32 2 22 4 2k x k
π π ππ π+ + +
5
8 8k x k
π ππ π+ +
( )f x [ 8k
ππ + 5 ]8k
ππ + k Z∈
( ) 1 0f x m− + = [0x∈ ]2
π
( )f x 1y m= − [0x∈ ]2
π
[0, ]2x
π∈ 52 [ , ]4 4 4x
π π π+ ∈ 2sin(2 ) [ ,1]4 2x
π+ ∈ − 2 5( ) [2 , ]2 2f x ∈ −
2 51 [2 , ]2 2m − ∈ − 2 7[3 , ]2 2m∈ −
0AB AC⋅ =
25
3c = 2 5sin 5A =
0AB AC⋅ =
cos A sin A
( 3, 4), ( 3, 4)AB AC c= − − = − −
0AB AC⋅ = 3( 3) 16 0c− − + = 25
3c =
(2)当 时,可得 , ΔABC 为等腰三角形
过 作 交 于 ,可求得
故
(其它方法如①利用数量积 求出 进而求 ;)
【考点】1、解三角形;2、向量垂直.
20.已知| |=1, , .
(1)求向量 与 的夹角 θ;
(2)求| |.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)根据平面向量的数量积运算与夹角公式,计算即可;
(2)根据平面向量的模长公式,计算即可.
【详解】
解:(1) ,∴ ,即 ,
, , ;
,
又 , , ;
(2) ,
.
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积的运算与夹角、模长的计算问题,是基础题.
21.已知 ,函数 .
(1)当 时,解不等式 ;
(2)若关于 的方程 的解集中恰有一个元素,求
的取值范围;
5c = 5, 2 5, 5AB AC BC= = =
B BD AC⊥ AC D 2 5BD =
2 5sin 5
BDA AB
= =
AB AC⋅ cos A sin A
a 1
2a b =
( ) ( ) 1
2a b a b− + =
a b
a b+
4
πθ = 10| | 2a b+ =
1( ) ( ) 2a b a b− + =
2 2 1
2a b− = 2 2 1| | | | 2a b− =
| | 1a = 2 1| | 2b∴ = 2| | 2b∴ =
1
22cos 2| | | | 21 2
a b
a b
θ∴ = = =
× ×
[0θ ∈ ]π
4
πθ∴ =
2 2 2| | 2a b a a b b+ = + +
1 11 2 2 2
= + × + 5
2
=
5 10| | 2 2a b∴ + = =
a R∈ ( ) 2
1logf x ax
= +
5a = ( ) 0f x >
x ( ) ( )2log 4 2 5 0f x a x a − − + − =
a
(3)设 ,若对任意 ,函数 在区间 上的最大值与最小值
的差不超过 1,求 的取值范围.
【答案】(1) .(2) .(3) .
【解析】【详解】试题分析:(1)当 时,解对数不等式即可;(2)根据对数的
运算法则进行化简,转化为一元二次方程,讨论 的取值范围进行求解即可;(3)根
据条件得到 ,恒成立,利用换元法进行转化,结合对勾函数的单调
性进行求解即可.
试题解析:(1)由 ,得 ,解得 .
(2)由 f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0 得 log2( a)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]
=0.
即 log2( a)=log2[(a﹣4)x+2a﹣5],
即 a=(a﹣4)x+2a﹣5>0,①
则(a﹣4)x2+(a﹣5)x﹣1=0,
即(x+1)[(a﹣4)x﹣1]=0,②,
当 a=4 时,方程②的解为 x=﹣1,代入①,成立
当 a=3 时,方程②的解为 x=﹣1,代入①,成立
当 a≠4 且 a≠3 时,方程②的解为 x=﹣1 或 x ,
若 x=﹣1 是方程①的解,则 a=a﹣1>0,即 a>1,
若 x 是方程①的解,则 a=2a﹣4>0,即 a>2,
则要使方程①有且仅有一个解,则 1<a≤2.
综上,若方程 f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0 的解集中恰好有一个元素,
则 a 的取值范围是 1<a≤2,或 a=3 或 a=4.
(3)函数 f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,
由题意得 f(t)﹣f(t+1)≤1,
即 log2( a)﹣log2( a)≤1,
0a > 1 ,12t ∈
( )f x [ ], 1t t +
a
( )1, 0,4x ∈ −∞ − ∪ +∞
( ] { }1,2 3,4
2 ,3
+∞
5a =
a
1 1f t f t− + ≤( ) ( )
2
1log 5 0x
> +
1 5 1x
+ > ( )1, 0,4x ∈ −∞ − ∪ +∞
1
x
+
1
x
+
1
x
+
1
4a
= −
1
x
+
1
4a
= −
1
x
+
1
t
+ 1
1t
++
即 a≤2( a),即 a
设 1﹣t=r,则 0≤r ,
,
当 r=0 时, 0,
当 0<r 时, ,
∵y=r 在(0, )上递减,
∴r ,
∴ ,
∴实数 a 的取值范围是 a .
【一题多解】
(3)还可采用:当 时, ,
,
所以 在 上单调递减.
则函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 , .
即 ,对任意 成立.
因为 ,所以函数 在区间 上单调递增,
时, 有最小值 ,由 ,得 .
故 的取值范围为 .
1
t
+ 1
1t
++ ( )
1 2 1
1 1
t
t t t t
−≥ − =+ +
1
2
≤
( ) ( )( ) 2
1
1 1 2 3 2
t r r
t t r r r r
− = =+ − − − +
2 3 2
r
r r
=− +
1
2
≤ 2
1
23 2 3
r
r r r r
=− + + −
2
r
+ 2
2 1 942 2r
+ ≥ + =
2
1 1 2
2 93 2 33 32
r
r r r r
= ≤ =− + + − −
2
3
≥
1 20 x x< <
1 2
1 1a ax x
+ +>
2 2
1 2
1 1log loga ax x
>
+ +
( )f x ( )0, ∞+
( )f x [ ], 1t t + ( )f t ( )1f t +
( ) ( ) 2 2
1 11 log log 11f t f t a at t
− + = + − + ≤ +
( )2 1 1 0at a t+ + − ≥ 1 ,12t ∈
0a> ( )2 1 1y at a t= + + − 1 ,12
1
2t = y 3 1
4 2a − 3 1 04 2a − ≥ 2
3a ≥
a 2 ,3
+∞
22.已知函数 f(x) .
(1)求函数 f(x)在区间[0,2]上的最值;
(2)若关于 x 的方程(x+1)f(x)﹣ax=0 在区间(1,4)内有两个不等实根,求实
数 a 的取值范围.
【答案】(1)最小值为 2,最大值为 3;(2) .
【解析】(1)利用换元法令 , , ,从而化为 ,从而求闭区
间上的最值;
(2)当 时,可化方程为 ,从而作函数 在 上的
图象,结合图象求解即可.
【详解】
解:(1)令 , ,则 ,
故 ,
由对勾函数的性质可知,
函数 在 上单调递减,在 上单调递增;
且 , , ,
故函数 在区间 上的最小值为 2,最大值为 3;
(2)∵ ,∴ ,故 ,
作函数 在 上的图象如下,
,
∴ , , ,
故结合图象可知,当 时,
关于 的方程 在区间 内有两个不等实根,
故实数 的取值范围为 .
2 3
1
x
x
+= +
( )2 3,4
1t x= + [1t ∈ 3] 4 2y t t
= + −
(1,4)x∈ 2 3 3xa xx x
+= = + 3y x x
= + (1,4)
1t x= + [1,3]t ∈ 1x t= −
2 3( ) 1
xy f x x
+= = +
2( 1) 3t
t
− += 4 2t t
= + −
4( ) 2y g t t t
= = + − [1,2] [2,3]
(1) 1 4 2 3g = + − = (2) 2 2 2 2g = + − = 4 7(3) 3 23 3g = + − =
( )f x [0,2]
( 1) ( ) 0x f x ax+ − = 2( 3) 0x ax+ − =
2 3 3xa xx x
+= = +
3( )h x x x
= + (1,4)
3( 3) 2 3minh x = + = (1) 1 3 4h = + = 3(4) 4 44h = + >
2 3 4a< <
x ( 1) ( ) 0x f x ax+ − = (1,4)
a ( )2 3,4
【点睛】
本题考查了函数的最值的求法及数形结合的思想应用,属于中档题.