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  • 2021-06-16 发布

2018-2019学年内蒙古赤峰市高一上学期期末数学(文)试题(解析版)

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2018-2019 学年内蒙古赤峰市高一上学期期末数学(文)试题 一、单选题 1.下面有四个命题:其中正确命题的个数为( ) (1)集合 N 中最小的数是 1; (2)若﹣a 不属于 N,则 a 属于 N; (3)若 a∈N,b∈N,则 a+b 的最小值为 2; (4)x2+1=2x 的解可表示为{﹣1,1}. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【答案】A 【解析】(1)0 是自然数;(2)可以举一个反例验证;(3)取 ;(4)考虑 集合元素的特性. 【详解】 解:集合 中最小的数是 0,所以(1)不正确; ,但 ,所以(2)不正确; 若 ,则 ,若 ,则 ,则 ,当且仅当 时取等号,则 的最小值为 0,所以(3)不正确; 的解表示为 ,所以(4)不正确. 所以正确的命题为 0 个. 故选:A. 【点睛】 本题考查了命题真假的判断与运用,以及元素与集合之间的关系,解答的关键是掌握自 然数集的概念,及集合中元素的三个特性,即确定性、互异性和无序性. 2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A. , B. , C.y=1, D. , 【答案】A 【解析】判断时每组函数的定义域和对应关系是否相同. 【详解】 A 中的函数 与 是同一函数; 0a b= = N 1 2 N− ∉ 1 2 N∉ a N∈ 0a Nb∈ 0b 0a b+  0a b= = +a b 2 1 2x x+ = {1} y x= 3 3y x= 1 1y x x= − × + 2 1y x= − xy x = y x= ( )2 y x= 3 3y x x= = ( )x R∈ y x= ( )x R∈ B 中 , 定义域不相 同,不是同一函数; C 中 y=1 , 定义域不相同,不是同一函数; D 中 , 两个函数的定义域不相同, 对应法则也 不相同,不是同一函数; 故选:A. 【点睛】 本题考查相等函数的定义,相等函数的是“定义域、对应关系、值域”三要素完全相同的 函数. 3.函数 的定义域是(   ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意易得: ,解得: 故定义域为: 故选:C 4.已知 ,则 的值为( ) A. B.2 C. D.-1 【答案】B 【解析】试题分析: .故选 B 【考点】分段函数. 5.若函数 的定义域为 ,值域为 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 21 1 1y x x x= − × + = − ( )1x ≥ 2 1y x= − ( )1 1x x≥ ≤ −或 ( )x R∈ ( )1 0xy xx = = ≠ y x= ( )x R∈ ( ) ( )2 0y x x x= = ≥ 4 5 xy x −= − { | 5}x x ≠ ± { | 4}x x ≥ { | 4 5 5}x x x≤ 或 { | 4 5}x x< < 4 0 5 0 x x − ≥  − ≠ 4 5 5x x或≤ { | 4 5 5}x x x或≤ ( ) ( ) 1 , 1 01 ,0 1 xf xf x x x  − < < +=   ≤ < 1 2f  −   1 2 1 2 − 1 1 1 1( ) 21 1 12 ( 1) ( )2 2 2 f f f − = = = = − + 2 3 4y x x= − − [0, ]m 25[ , 4]4 − − m (0,4] 3[ ,4]2 3[ ,3]2 3[ , )2 +∞ 【解析】根据二次函数图象可得 的取值范围. 【详解】 因为当 时 ,当 时 或 ,因此 的取值 范围是 . 【点睛】 本题考查二次函数图象与性质,考查综合分析求解能力,属中档题. 6.已知角 的终边经过点 ,则角 的最小正值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题分析:根据三角函数的定义,知道 而且点 位于第四象限,所以最小正角为 . 【考点】本小题考查了三角函数的定义的应用. 点评:计算出 还要注意到点 位于第四象限. 7.已知 ,且 为第二象限角,那么 的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵ 且 是第二象限的角, ∴ ,∴ ,故选 C. m 3 2x = 25 4y = − 0y = 24 3 4, 0x x x− = − − = 3x = m 3[ ,3]2 α ( )3, 1− α 2 3 π 11 6 π 5 6 π 3 4 π 1 1sin ,23 1 α −= = − + ( )3, 1− 11 6 π 1sin ,2 α = − ( )3, 1− 8.给出下列各函数值:① ;② ;③ ; ④ . 其中符号为负的是( ) A.① B.② C.③ D.④ 【答案】C 【解析】利用诱导公式分别对四个特设条件进行化简整理,进而根据三角函数的性质判 断正负. 【详解】 sin(﹣1000°)=sin(﹣2×360°﹣280°)=﹣sin280°=cos10°>0, cos(﹣2200°)=cos(﹣6×360°﹣40°)=cos40°>0, tan(﹣10)=﹣tan(3π+0.58)=﹣tan(0.58)<0 =﹣ = >0 故选:C. 【点睛】 本题主要考查了运用诱导公式化简求值.解题时应正确把握好函数值正负号的判定. 9.设点 A(2,0),B(4,2),若点 P 在直线 AB 上,且 ,则点 P 的坐标 为( ) A.(3,1) B.(1,﹣1) C.(3,-1)或(-1,1) D.(3,1)或(1,﹣1) 【答案】C 【解析】根据已知求出向量 的坐标,进而根据 ,可求出向量 的 坐标,进而求出点 的坐标. 【详解】 解: , ,∴ , 点 在直线 上,且 ,∴ ,或 , 故 ,或 ,故 点坐标为 或 , 故选:C. 【点睛】 0sin( 1000 )− 0cos( 2200 )− tan( 10)− 7sin cos10 17tan 9 π π π 7 10 17 9 sin cos tan π π π 7 10 9 sin tan π π− 7 10 9 sin tan π π 2AB AP=  AB | | 2 | |AB AP=  AP P (2,0)A (4,2)B (2,2)AB =  P AB | | 2 | |AB AP=  2AB AP=  2AB AP= −  (1,1)AP = ( 1, 1)AP = − − P (3,1) (1, 1)− 本题考查的知识点是平面向量坐标表示,熟练掌握向量坐标等于终点坐标与起点坐标的 差是解答的关键. 10.已知 , 均为单位向量,它们的夹角为 ,那么 ( ) A. B. C. D.4 【答案】C 【解析】试题分析: , ,所以 . 【考点】向量的模的计算,向量数量积,模与向量关系. 11.若 ,则函数 的两个 零点分别位于区间( ) A. 和 内 B. 和 内 C. 和 内 D. 和 内 【答案】A 【解析】试题分析: ,所以 有 零点,排除 B,D 选项.当 时, 恒成立,没有零点,排除 C,故选 A.另 外 ,也可知 内有零点. 【考点】零点与二分法. 【思路点晴】如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线,且有 · ,那么,函数 在区间 内有零点,即存在 使得 ,这个 也就是方程 的根.注意以下几点:①满足条件的零点可能不 唯一;②不满足条件时,也可能有零点.③由函数 在闭区间 上有零点不 一定能推出 · ,如图所示.所以 · 是 在闭区间 上有零点的充分不必要条件. 12.已知方程 9x﹣2•3x+3k﹣1=0 有两个实根,则实数 k 的取值范围为( ) A.[ ,1] B.( , ] C.[ ,+∞) D.[1,+∞) a b 060 3a b+ = 10 ( )2 2 23 3 6 9a b a b a a b b+ = + = + ⋅ +       a b c< < ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f x x a x b x b x c x c x a= − − + − − + − − ( , )a b ( , )b c ( , )a−∞ ( , )a b ( , )b c ( , )c +∞ ( , )a−∞ ( , )c +∞ ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0, 0f b b c b a f c c a c b= − − = − − ( , )b c x c> ( ) 0f x > ( ) ( )( ) 0f a a b a c= − − > ( , )a b ( , )a b ( , )c a b∈ [ ],a b [ ],a b 2 3 1 3 2 3 2 3 【答案】B 【解析】将指数方程的解的问题,转化为二次方程的区间根的问题,即方程 有两个实根可转化为 有两个正根,结合韦达定理有 ,求解即可. 【详解】 解:设 ,则 ,则原方程有两个实根可转化为 有两个正根, 则有 ,解得: , 故选:B. 【点睛】 本题考查了指数方程的解的问题,转化为二次方程的区间根的问题求解即可,属简单 题. 二、填空题 13.若 且 ,则 . 【答案】-2,2,0 【解析】【详解】 由 ,得 , 则 或 , ∴x=﹣2,x=2,x=0,x=1(违反互异性,舍去), 故答案为﹣2,2,0. 点评: 本题主要考查集合的子集运算,及集合元素的互异性. 14.已知 ,则 在 上的投影为 . 【答案】 【解析】试题分析:根据向量投影的概念, 在 上的投影 . 【考点】向量的投影 9 2 3 3 1 0x x k− + − = 2 2 3 1 0t t k− + − = 4 4(3 1) 0 3 1 0 k k − −  − >  3xt = 0t > 2 2 3 1 0t t k− + − = 4 4(3 1) 0 3 1 0 k k ∆ = − −  − >  1 2 3 3k<  { } { }21,4, , 1,A x B x= = A B B= x = A B B=  B A∴ ⊆ 2 4x = 2x x= ( ) ( )2,3 , 4,7a b= − a b 65 5 a b ( ) ( )22 2 4 3 7 65 54 7 a b b × − + ×⋅= = = + −   15.一次函数 是减函数,且满足 ,则 . 【答案】-2x+1 【解析】由一次函数 f(x)是减函数,可设 f(x)=kx+b(k<0). 则 f[f(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b, ∵f[f(x)]=4x-1, ∴f(x)=-2x+1. 16.直线 与曲线 有四个交点,则 的取值范围是 . 【答案】(1, 【解析】【详解】 本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想. 如 图,在同一直角坐标系内画出直线 与曲线 ,由图可知,a 的取值必 须满足 解得 . 三、解答题 17.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0,0≤φ≤π)的图象如 图所示. ( )f x [ ]( ) 4 1f f x x= − ( )f x = 1y = a 5)4 1y = 1 { ,4 1 14 a a > − < 51 4a< < (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求 f( )的值. 【答案】(1) ; (2) . 【解析】(1)根据图象的最高点坐标,最高点横坐标与零点距离等求出 , , , 即可得解; (2)利用(1)的解析式代入求值即可得解. 【详解】 解:(1)由图象可知 ,并且 ,所以 , 又 ,即 , 可得 , ,可得 , , 又因为: ,所以可得 ,所以 ; (2)由(1)得到 . 【点睛】 本题考查了三角函数的图象以及性质;关键是熟练掌握正弦函数的图象和性质,属于基 础题. 18.已知 ,求: (1) 的最小正周期及对称轴方程; (2) 的单调递增区间; (3)若方程 在 上有解,求实数 m 的取值范围. 【答案】(1)最小正周期 ,对称轴方程为 , ;(2) , , ;(3) . 【解析】(1)由条件利用正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性,得出结论; 5 3 π− ( ) 2sin(2 )6f x x π= + 5( ) 13f π− = A ϕ ω 2A = 4 11( )3 12 6T π π π= − = 2ω = ( ) 2sin( ) 26 3f π π ϕ= + = sin( ) 13 π ϕ+ = 23 2k π πϕ π+ = + k Z∈ 2 6k πϕ π= + k Z∈ 0 ϕ π  6 π=ϕ ( ) 2sin(2 )6f x x π= + 5( )3f π− = 102sin( )3 6 π π− + 10 122sin( )3 3 6 π π π= − + + 52sin 6 π= 2sin 16 π= = 2( ) sin(2 ) 22 4f x x π= − + + ( )f x ( )f x ( ) 1 0f x m− + = [0, ]2x π∈ T π= 2 8 kx π π= + k Z∈ [ 8k ππ + 5 ]8k ππ + k Z∈ 2 7[3 , ]2 2m∈ − (2)求出 的减区间,即为 的单调递增区间,再利用正弦函数的 单调性得出结论; (3)由题意可得函数 的图象和直线 在 , 上有交点,根据正弦 函数的定义域和值域求出 的值域,可得 的范围. 【详解】 解:(1)由于 ,它的最小正周期 , 令 ,求得 , , 故函数 的对称轴方程为 , ; (2)令 ,求得 , ∴函数 的增区间为 , , ; (3)若方程 在 , 上有解, 则函数 的图象和直线 在 , 上有交点. ∵ ,∴ ,则 , , 故 ,∴ . 【点睛】 本题主要考查正弦函数的最小正周期、正弦函数的图象的对称性、单调性,正弦函数的 定义域和值域,属于中档题. 19.已知 ΔABC 三个顶点坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). (1)若 ,求 c 的值; (2)若 C=5,求 sin∠A 的值. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】试题分析:(1)用坐标表示点,代入 求解;(2)已知三角形的三边,则 先求出 ,再求出 . 试题解析:解(1) 由 可得 ,解得 sin(2 )4y x π= + ( )f x ( )f x 1y m= − [0x∈ ]2 π ( )f x m 2( ) sin(2 ) 22 4f x x π= − + + 2 2T π π= = 2 4 2x k π ππ+ = + 2 8 kx π π= + k Z∈ ( )f x 2 8 kx π π= + k Z∈ 32 2 22 4 2k x k π π ππ π+ + +  5 8 8k x k π ππ π+ +  ( )f x [ 8k ππ + 5 ]8k ππ + k Z∈ ( ) 1 0f x m− + = [0x∈ ]2 π ( )f x 1y m= − [0x∈ ]2 π [0, ]2x π∈ 52 [ , ]4 4 4x π π π+ ∈ 2sin(2 ) [ ,1]4 2x π+ ∈ − 2 5( ) [2 , ]2 2f x ∈ − 2 51 [2 , ]2 2m − ∈ − 2 7[3 , ]2 2m∈ − 0AB AC⋅ =  25 3c = 2 5sin 5A = 0AB AC⋅ =  cos A sin A ( 3, 4), ( 3, 4)AB AC c= − − = − −  0AB AC⋅ =  3( 3) 16 0c− − + = 25 3c = (2)当 时,可得 , ΔABC 为等腰三角形 过 作 交 于 ,可求得 故 (其它方法如①利用数量积 求出 进而求 ;) 【考点】1、解三角形;2、向量垂直. 20.已知| |=1, , . (1)求向量 与 的夹角 θ; (2)求| |. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)根据平面向量的数量积运算与夹角公式,计算即可; (2)根据平面向量的模长公式,计算即可. 【详解】 解:(1) ,∴ ,即 , , , ; , 又 , , ; (2) , . 【点睛】 本题考查了平面向量的数量积的运算与夹角、模长的计算问题,是基础题. 21.已知 ,函数 . (1)当 时,解不等式 ; (2)若关于 的方程 的解集中恰有一个元素,求 的取值范围; 5c = 5, 2 5, 5AB AC BC= = = B BD AC⊥ AC D 2 5BD = 2 5sin 5 BDA AB = = AB AC⋅  cos A sin A a 1 2a b =  ( ) ( ) 1 2a b a b− + =    a b a b+  4 πθ = 10| | 2a b+ = 1( ) ( ) 2a b a b− + =    2 2 1 2a b− = 2 2 1| | | | 2a b− = | | 1a = 2 1| | 2b∴ = 2| | 2b∴ = 1 22cos 2| | | | 21 2 a b a b θ∴ = = = × ×   [0θ ∈ ]π 4 πθ∴ = 2 2 2| | 2a b a a b b+ = + +     1 11 2 2 2 = + × + 5 2 = 5 10| | 2 2a b∴ + = = a R∈ ( ) 2 1logf x ax  = +   5a = ( ) 0f x > x ( ) ( )2log 4 2 5 0f x a x a − − + − =  a (3)设 ,若对任意 ,函数 在区间 上的最大值与最小值 的差不超过 1,求 的取值范围. 【答案】(1) .(2) .(3) . 【解析】【详解】试题分析:(1)当 时,解对数不等式即可;(2)根据对数的 运算法则进行化简,转化为一元二次方程,讨论 的取值范围进行求解即可;(3)根 据条件得到 ,恒成立,利用换元法进行转化,结合对勾函数的单调 性进行求解即可. 试题解析:(1)由 ,得 ,解得 . (2)由 f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0 得 log2( a)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5] =0. 即 log2( a)=log2[(a﹣4)x+2a﹣5], 即 a=(a﹣4)x+2a﹣5>0,① 则(a﹣4)x2+(a﹣5)x﹣1=0, 即(x+1)[(a﹣4)x﹣1]=0,②, 当 a=4 时,方程②的解为 x=﹣1,代入①,成立 当 a=3 时,方程②的解为 x=﹣1,代入①,成立 当 a≠4 且 a≠3 时,方程②的解为 x=﹣1 或 x , 若 x=﹣1 是方程①的解,则 a=a﹣1>0,即 a>1, 若 x 是方程①的解,则 a=2a﹣4>0,即 a>2, 则要使方程①有且仅有一个解,则 1<a≤2. 综上,若方程 f(x)﹣log2[(a﹣4)x+2a﹣5]=0 的解集中恰好有一个元素, 则 a 的取值范围是 1<a≤2,或 a=3 或 a=4. (3)函数 f(x)在区间[t,t+1]上单调递减, 由题意得 f(t)﹣f(t+1)≤1, 即 log2( a)﹣log2( a)≤1, 0a > 1 ,12t  ∈   ( )f x [ ], 1t t + a ( )1, 0,4x  ∈ −∞ − ∪ +∞   ( ] { }1,2 3,4 2 ,3  +∞  5a = a 1 1f t f t− + ≤( ) ( ) 2 1log 5 0x > +   1 5 1x + > ( )1, 0,4x  ∈ −∞ − ∪ +∞   1 x + 1 x + 1 x + 1 4a = − 1 x + 1 4a = − 1 x + 1 t + 1 1t ++ 即 a≤2( a),即 a 设 1﹣t=r,则 0≤r , , 当 r=0 时, 0, 当 0<r 时, , ∵y=r 在(0, )上递减, ∴r , ∴ , ∴实数 a 的取值范围是 a . 【一题多解】 (3)还可采用:当 时, , , 所以 在 上单调递减. 则函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 , . 即 ,对任意 成立. 因为 ,所以函数 在区间 上单调递增, 时, 有最小值 ,由 ,得 . 故 的取值范围为 . 1 t + 1 1t ++ ( ) 1 2 1 1 1 t t t t t −≥ − =+ + 1 2 ≤ ( ) ( )( ) 2 1 1 1 2 3 2 t r r t t r r r r − = =+ − − − + 2 3 2 r r r =− + 1 2 ≤ 2 1 23 2 3 r r r r r =− + + − 2 r + 2 2 1 942 2r + ≥ + = 2 1 1 2 2 93 2 33 32 r r r r r = ≤ =− + + − − 2 3 ≥ 1 20 x x< < 1 2 1 1a ax x + +> 2 2 1 2 1 1log loga ax x >    + +        ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x [ ], 1t t + ( )f t ( )1f t + ( ) ( ) 2 2 1 11 log log 11f t f t a at t    − + = + − + ≤   +    ( )2 1 1 0at a t+ + − ≥ 1 ,12t  ∈   0a> ( )2 1 1y at a t= + + − 1 ,12      1 2t = y 3 1 4 2a − 3 1 04 2a − ≥ 2 3a ≥ a 2 ,3  +∞  22.已知函数 f(x) . (1)求函数 f(x)在区间[0,2]上的最值; (2)若关于 x 的方程(x+1)f(x)﹣ax=0 在区间(1,4)内有两个不等实根,求实 数 a 的取值范围. 【答案】(1)最小值为 2,最大值为 3;(2) . 【解析】(1)利用换元法令 , , ,从而化为 ,从而求闭区 间上的最值; (2)当 时,可化方程为 ,从而作函数 在 上的 图象,结合图象求解即可. 【详解】 解:(1)令 , ,则 , 故 , 由对勾函数的性质可知, 函数 在 上单调递减,在 上单调递增; 且 , , , 故函数 在区间 上的最小值为 2,最大值为 3; (2)∵ ,∴ ,故 , 作函数 在 上的图象如下, , ∴ , , , 故结合图象可知,当 时, 关于 的方程 在区间 内有两个不等实根, 故实数 的取值范围为 . 2 3 1 x x += + ( )2 3,4 1t x= + [1t ∈ 3] 4 2y t t = + − (1,4)x∈ 2 3 3xa xx x += = + 3y x x = + (1,4) 1t x= + [1,3]t ∈ 1x t= − 2 3( ) 1 xy f x x += = + 2( 1) 3t t − += 4 2t t = + − 4( ) 2y g t t t = = + − [1,2] [2,3] (1) 1 4 2 3g = + − = (2) 2 2 2 2g = + − = 4 7(3) 3 23 3g = + − = ( )f x [0,2] ( 1) ( ) 0x f x ax+ − = 2( 3) 0x ax+ − = 2 3 3xa xx x += = + 3( )h x x x = + (1,4) 3( 3) 2 3minh x = + = (1) 1 3 4h = + = 3(4) 4 44h = + > 2 3 4a< < x ( 1) ( ) 0x f x ax+ − = (1,4) a ( )2 3,4 【点睛】 本题考查了函数的最值的求法及数形结合的思想应用,属于中档题.

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