【数学】2020届一轮复习人教B版正弦定理和余弦定理学案 17页

‎§5.6　正弦定理和余弦定理 最新考纲 考情考向分析 掌握正弦定理、余弦定理及其应用.‎ 以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.‎ ‎1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ‎(1)＝＝＝2R ‎(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；‎ b2＝c2＋a2－2cacosB；‎ c2＝a2＋b2－2abcosC 变形 ‎(3)a＝2RsinA，‎ b＝2RsinB，c＝2RsinC；‎ ‎(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝；‎ ‎(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；‎ ‎(6)asinB＝bsinA，‎ bsinC＝csinB，‎ asinC＝csinA ‎(7)cosA＝；‎ cosB＝；‎ cosC＝ ‎2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinAb 解的 个数 一解 两解 一解 一解 ‎3.三角形常用面积公式 ‎(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；‎ ‎(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．‎ 概念方法微思考 ‎1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sinA>sinB?‎ 提示　在△ABC中，由∠A>∠B可推出sinA>sinB.‎ ‎2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcosC＋ccosB＝a.试类比写出另外两个式子．‎ 提示　acosB＋bcosA＝c；‎ acosC＋ccosA＝b.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)‎ ‎(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　×　)‎ ‎(3)在△ABC中，＝.(　√　)‎ ‎(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P10B组T2]在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为．‎ 答案　等腰三角形或直角三角形 解析　由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，‎ 即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，‎ 即A＝B或A＋B＝，‎ 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．‎ ‎3．[P18T1]在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为．‎ 答案　2 解析　∵＝，‎ ‎∴sinB＝1，∴B＝90°，‎ ‎∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c0，∴cosB<0，∴B为钝角，‎ 故△ABC为钝角三角形．‎ ‎5．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)‎ A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 答案　C 解析　由正弦定理得＝，‎ ‎∴sinB＝＝＝>1.‎ ‎∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．‎ ‎6．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则C＝.‎ 答案　 解析　由3sinA＝5sinB及正弦定理，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，‎ 所以a＝b，c＝b，‎ 所以cosC＝ ‎＝＝－.‎ 因为C∈(0，π)，所以C＝.‎ 题型一　利用正、余弦定理解三角形 例1(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．‎ 解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得 bsinA＝asinB.‎ 又由bsinA＝acos，得asinB＝acos，‎ 即sinB＝cos，所以tanB＝.‎ 又因为B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，‎ 得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.‎ 由bsinA＝acos，可得sinA＝.‎ 因为a0，所以a2＋b2＝c2或a＝b，故选D.‎ 引申探究 ‎1．本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cosA·sinB＝sinC，判断△ABC的形状．‎ 解　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝，‎ 又00)．又BD＝，∠DAB＝，‎ 所以由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，‎ sin∠ABD＝＝＝.‎ ‎(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，‎ 所以sin∠DBC＝，所以＝，‎ 所以CD＝＝.‎ 命题点3　解三角形的实际应用 例5(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60m，则河流的宽度BC等于(　　)‎ A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 答案　C 解析　如图，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60(m)．‎ 在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，‎ 所以BD＝AD·tan15°＝60(2－)(m)．‎ 所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)‎ ‎＝120(－1)(m)．‎ ‎(2)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度约为m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)‎ 答案　22.6‎ 解析　因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，设这辆汽车的速度为vm/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.‎ 思维升华 (1)判断三角形形状的方法 ‎①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．‎ ‎②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．‎ ‎(2)求解几何计算问题要注意：‎ ‎①根据已知的边角画出图形并在图中标示；‎ ‎②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．‎ ‎(3)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．‎ ‎(4)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．‎ 跟踪训练3　(1)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　∵cos2＝，cos2＝，‎ ‎∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝，‎ ‎∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ ‎(2)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是．‎ 答案　(－，＋)‎ 解析　如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF0)，如果三角形有解，则角A的取值范围是(　　)‎ A．0°0°，且当AB与圆C相切时，角A取得最大值，此时AB⊥BC，则sinA＝＝＝，又因为a