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- 2021-06-16 发布
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山西大学附属中学2019-2020学年
高二下学期5月月考试题(理)
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分。每题的四个选项中只有一个选项是正确的)
1.若复数的实部与虚部相等,则实数等于( )
A. B. C. D.
2.定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的所对应的运算结果可能是( )
A. B. C. D.
3.设是虚数单位,表示复数z的共轭复数.若,则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知整数的数对如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是( )
A.(3,8) B.(4,7) C.(4,8) D.(5,7)
5.观察,由归纳推理可得:若定义在上的函数满足,记为的导函数,则等于( )
A. B. C. D.
6.定义,则由函数的图象与x轴、直线所围成的封闭图形的面积为
A. B. C. D.
7.已知函数,且在上的最大值为,则实数的值为( )
A. B. 1 C. D. 2
8.用数学归纳法证明不等式“”过程中,由到时,不等式的左边( )
A.增加了一项
B.增加了两项
C.增加了两项,又减少了一项
D.增加了一项,又减少了一项
9.若函数与的图象存在公切线,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知,若存在,使得,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且为偶函数,,则不等式的解集为( )
A. B. ___C. D.
二、 填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
13.计算定积分: .
14.在极坐标系中,直线与圆交于两点,则_________.
15.已知函数,,若,使得成立,则实数的取值范围是 .
16.设函数有两个不同的极值点,,且对不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
三、解答题:(本题共6个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题10分)已知都是实数,求证:.
18.(本题12分)在极坐标系中,已知曲线,过极点作射线与曲线交于点,在射线上取一点,使.
(1)求点的轨迹的极坐标方程;
(2)以极点为直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立直角坐标系,若直线与(1)中的曲线相交于点(异于点),与曲线(为参数)相交于点,求的值.
19.(本题12分)设函数,曲线在点处的切线方程为,
(1)求,的值;
(2)求的单调区间.
20.(本题12分)在直角坐标系中,直线(为参数,),在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)已知点,若直线与曲线交于两点,且,求.
21.(本题12分)已知函数.
(1)若,求函数的极值;
(2)若,记为的从小到大的第个极值点,证明:
.
22.(本题12分)已知函数.
(1)若,求函数的单调递增区间;
(2)若, ,证明: .
参考答案
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分。每题的四个选项中只有一个选项是正确的)
1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】D 4.【答案】D 5.【答案】D
6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】C 9.【答案】C
10.【答案】A 11.【答案】A
12. 【答案】B
【解析】因为为偶函数,所以,,
构造函数,,所以函数是R上的减函数.
根据题意:,因为
所以,解之得,.
二、 填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
13.【答案】
14.【答案】2
15.【答案】
16.【答案】
分析:因为,故得不等式,
即,
由于,令得方程,
因 , 故,代入前面不等式,
并化简得,解不等式得或,
因此, 当或时, 不等式成立,故答案为.
三、解答题:(本题共六个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题10分)已知都是实数,求证:.
【答案】证明 ∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, …………3分
三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca, …………5分
∴3a2+3b2+3c2≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2.
∴a2+b2+c2≥(a+b+c)2; …………7分
∵a2+b2+c2≥ab+bc+ca,
∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca), …………9分
∴(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca).
∴原命题得证. …………10分
18.(本题12分)在极坐标系中,已知曲线,过极点作射线与曲线交于点,在射线上取一点,使.
(1)求点的轨迹的极坐标方程;
(2)以极点为直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立直角坐标系,若直线
与(1)中的曲线相交于点(异于点),与曲线(为参数)相交于点,求的值.
19. (本题12分)设函数,曲线在点处的切线方程为,
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)求的单调区间.
20.(本题12分)在直角坐标系中,直线(为参数,),在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点,若直线与曲线交于两点,且,求.
【答案】(Ⅰ),得到,
因为则曲线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)将代入,得到.
又因为,则,所以
解得:,或,则或.
21.(本题12分)已知函数.
(Ⅰ)若,求函数的极值;
(Ⅱ)若,记为的从小到大的第个极值点,证明:.
【答案】
(2)∵为的从小到大的第()个极值点,
又令,,则,,
∴ ,,,
∴ .
22.(本题12分)已知函数.
(1)若,求函数的单调递增区间;
(2)若, ,证明: .
【答案】
(2),则, ,
欲证,即证在上单调递减,
∵,
令,
则
∴在上为减函数,而
∴,则,∴在上单调递减,
又,∴.