【数学】2020届北京一轮复习通用版5-2平面向量数量积与应用 8页

‎5.2　平面向量数量积与应用 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.平面向量的数量积 ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系 ‎3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 ‎4.理解数量积的性质并能运用 ‎2018北京文,9‎ 向量数量积的坐标运算 向量垂直的应用 ‎★★★‎ ‎2016北京文,9‎ 求向量的夹角 向量数量积的运算 ‎2015北京文,6‎ 向量数量积的定义及向量平行的条件 充分、必要条件的判断 ‎2.平面向量数量积的应用 ‎1.能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题 ‎2.会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系 ‎3.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题以及一些实际问题 ‎2018北京,6‎ 求向量的模及向量垂直的条件 ‎★★★‎ ‎2017北京,6‎ 向量数量积小于零的意义及向量共线的条件 充分、必要条件的判断 ‎2017北京文,12‎ 向量法解决平面几何问题 最值问题 分析解读　　在北京高考中,平面向量的数量积常以平面图形为载体,借助平行四边形法则和三角形法则来考查.当平面图形为特殊图形时,可以建立直角坐标系,通过坐标运算求数量积,遇到向量模的问题时,通常是进行平方,利用数量积的知识解决.主要从以下几个方面考查:1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合性问题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　平面向量的数量积 ‎1.已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则CM·CN的取值范围是(　　)‎ A.‎-‎3‎‎4‎,0‎　　　　B.[-1,1)　　　　C.‎-‎1‎‎2‎,1‎　　　　D.[-1,0)‎ 答案　A　‎ ‎2.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DE·CB的值为　　　　;DE·DC的最大值为　　　　. ‎ 答案　1;1‎ 考点二　平面向量数量积的应用 ‎3.已知向量|AB|=2,|CD|=1,且|AB-2CD|=2‎3‎,则向量AB和CD的夹角为(　　)‎ A.30°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.150°‎ 答案　C　‎ ‎4.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(‎3‎,-1),则|2a-b|的最大值,最小值分别是(　　)‎ A.4,0　　　　B.4‎2‎,4　　　　C.4‎2‎,0　　　　D.16,0‎ 答案　A　‎ ‎5.已知向量a是单位向量,向量b=(2,2‎3‎),若a⊥(2a+b),则a,b的夹角为　　　　. ‎ 答案　‎‎2π‎3‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　求平面向量的模的方法 ‎1.已知平面向量PA,PB满足|PA|=|PB|=1,PA·PB=-‎1‎‎2‎,若|BC|=1,则|AC|的最大值为(　　)‎ A.‎2‎-1　　　　B.‎3‎-1　　　　C.‎2‎+1　　　　D.‎3‎+1‎ 答案　D　‎ ‎2.在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且AB·CD=5,则|BD|等于(　　)‎ A.6　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.1‎ 答案　C　‎ ‎3.已知向量a与向量b的夹角为‎2π‎3‎,且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(x∈R且x≠0,y∈R),则xc的最大值为(　　)‎ A.‎3‎‎3‎　　　　B.‎3‎　　　　C.‎1‎‎3‎　　　　D.3‎ 答案　A　‎ 方法2　求平面向量的夹角的方法 ‎4.△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则向量a,b的夹角为(　　)‎ A.30°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.150°‎ 答案　C　‎ ‎5.若e1,e2是平面内夹角为60°的两个单位向量,则向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为(　　)‎ A.30°　　　　B.60°　　　　C.90°　　　　D.120°‎ 答案　D　‎ ‎6.已知|a|=‎10‎,a·b=-‎5‎‎30‎‎2‎,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角θ为(　　)‎ A.‎2π‎3‎　　　　B.‎3π‎4‎　　　　C.‎5π‎6‎　　　　D.‎π‎3‎ 答案　C　‎ 方法3　用向量法解决平面几何问题的方法 ‎7.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为(　　)‎ A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9‎ 答案　B　‎ ‎8.已知向量OA,OB的夹角为60°,|OA|=|OB|=2,若OC=2OA+OB,则△ABC为(　　)‎ A.等腰三角形　　　　B.等边三角形　　　　C.直角三角形　　　　D.等腰直角三角形 答案　C　‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·北京卷题组 ‎1.(2017北京,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)‎ A.充分而不必要条件　　B.必要而不充分条件　　C.充分必要条件　　D.既不充分也不必要条件 答案　A　‎ ‎2.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的(　　)‎ A.充分而不必要条件　　　B.必要而不充分条件　　C.充分必要条件　　D.既不充分也不必要条件 答案　D　‎ ‎3.(2015北京,6,5分)设a,b是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的(　　)‎ A.充分而不必要条件　　　B.必要而不充分条件　　　C.充分必要条件　　D.既不充分也不必要条件 答案　A　‎ ‎4.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=　　　　. ‎ 答案　-1‎ ‎5.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO·AP的最大值为　　　　. ‎ 答案　6‎ ‎6.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,‎3‎),b=(‎3‎,1),则a与b夹角的大小为　　　　. ‎ 答案　‎π‎6‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　平面向量的数量积 ‎1.(2018课标Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)‎ A.4　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.0‎ 答案　B　‎ ‎2.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量BA=‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎,BC=‎3‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎,则∠ABC=(　　)‎ A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.120°‎ 答案　A　‎ ‎3.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=‎10‎,|a-b|=‎6‎,则a·b=(　　)‎ A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.5‎ 答案　A　‎ ‎4.(2017课标Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=　　　　. ‎ 答案　2‎‎3‎ ‎5.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎6.(2015湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA·OB=　　　　. ‎ 答案　9‎ 考点二　平面向量数量积的应用 ‎1.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AE·BE的最小值为(　　)‎ A.‎21‎‎16‎　　　　B.‎3‎‎2‎　　　　C.‎25‎‎16‎　　　　D.3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π‎3‎,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是(　　)‎ A.‎3‎-1　　　　B.‎3‎+1　　　　C.2　　　　D.2-‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎3.(2017课标Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是(　　)‎ A.-2　　　　B.-‎3‎‎2‎　　　　C.-‎4‎‎3‎　　　　D.-1‎ 答案　B　‎ ‎4.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=‎1‎‎3‎.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　)‎ A.4　　　　B.-4　　　　C.‎9‎‎4‎　　　　D.-‎‎9‎‎4‎ 答案　B　‎ ‎5.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立‎····‎的是(　　)‎ A.|a·b|≤|a||b|　　　　B.|a-b|≤||a|-|b||　　　　C.(a+b)2=|a+b|2　　　　D.(a+b)·(a-b)=a2-b2‎ 答案　B　‎ ‎6.(2014江西,14,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=‎1‎‎3‎,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎2‎‎3‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2015广东,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=(　　)‎ A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2015福建,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于(　　)‎ A.-‎3‎‎2‎　　　　B.-‎5‎‎3‎　　　　C.‎5‎‎3‎　　　　D.‎‎3‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎3.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AE·BF的最小值为　　　　. ‎ 答案　-3‎ ‎4.(2017浙江,15,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是　　　　,最大值是　　　　. ‎ 答案　4;2‎‎5‎ ‎5.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=‎2‎‎3‎BC,DF=‎1‎‎6‎DC,则AE·AF的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎29‎‎18‎ 解析　解法一:由题意可知CD=1,AD=BC=1,又因为DF=‎1‎‎6‎DC,AB=2DC,所以DF=‎1‎‎12‎AB,在△ADF中,AF=AD+DF=AD+‎1‎‎12‎AB,在梯形ABCD中,BC=BA+AD+DC=-AB+AD+‎1‎‎2‎AB=-‎1‎‎2‎AB+AD,在△ABE中,AE=AB+BE=AB+‎2‎‎3‎BC=AB+‎2‎‎3‎·‎-‎1‎‎2‎AB+‎AD=‎2‎‎3‎AB+‎2‎‎3‎AD,所以AE·AF=‎2‎‎3‎AB‎+‎‎2‎‎3‎AD·‎1‎‎12‎AB‎+‎AD=‎1‎‎18‎AB‎2‎+‎13‎‎18‎AB·AD+‎2‎‎3‎AD‎2‎=‎1‎‎18‎×22+‎13‎‎18‎×2×1×‎1‎‎2‎+‎2‎‎3‎×12=‎29‎‎18‎.‎ 解法二:以AB所在直线为x轴,A为原点建立如图所示的直角坐标系,‎ 由于AB=2,BC=1,∠ABC=60°,所以CD=1,等腰梯形ABCD的高为‎3‎‎2‎,所以A(0,0),B(2,0),D‎1‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎,C‎3‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎,所以BC=‎-‎1‎‎2‎,‎‎3‎‎2‎,DC=(1,0),又因为BE=‎2‎‎3‎BC,DF=‎1‎‎6‎DC,所以E‎5‎‎3‎‎,‎‎3‎‎3‎,F‎2‎‎3‎‎,‎‎3‎‎2‎,因此AE·AF=‎5‎‎3‎‎,‎‎3‎‎3‎·‎2‎‎3‎‎,‎‎3‎‎2‎=‎5‎‎3‎×‎2‎‎3‎+‎3‎‎3‎×‎3‎‎2‎=‎10‎‎9‎+‎1‎‎2‎=‎29‎‎18‎.‎ 评析本题考查数量积的运算,向量共线的表示等基础知识,考查学生的运算求解能力和数形结合思想的应用.‎ ‎6.(2015安徽,15,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论中正确的是　　　　.(写出所有正确结论的编号) ‎ ‎①a为单位向量;　　②b为单位向量;　　③a⊥b;‎ ‎④b∥BC;　　　　⑤(4a+b)⊥BC.‎ 答案　①④⑤‎ ‎7.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD的值是　　　　. ‎ 答案　22‎ ‎8.(2014重庆,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=‎10‎,则a·b=　　　　. ‎ 答案　10‎ ‎9.(2013课标Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎10.(2013课标Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.(2018北京门头沟一模,6)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,且AB=2CD=2AD=2,P是BC的中点,则PD·PA=(　　)‎ A.‎9‎‎4‎　　　　B.3　　　　C.2　　　　D.‎‎5‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎2.(2019届北京大兴9月统练,3)已知向量a=(1,2),b=(2,1),则cos等于(　　)‎ A.‎1‎‎5‎　　　　B.-‎1‎‎5‎　　　　C.‎4‎‎5‎　　　　D.-‎‎4‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎3.(2018北京朝阳一模,4)已知a,b为非零向量,则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)‎ A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件　　　　C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　B　‎ ‎4.(2018北京朝阳二模,5)如图,角α,β均以Ox为始边,终边与单位圆O分别交于点A,B,则OA·OB=(　　)‎ A.sin(α-β)　　　　B.sin(α+β)　　　　C.cos(α-β)　　　　D.cos(α+β)‎ 答案　C　‎ ‎5.(2019届北京海淀期中,7)已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且a2>b2>c2,则a·b,b·c,c·a中最小的值是(　　)‎ A.a·b　　　　B.b·c　　　　C.c·a　　　　D.不能确定 答案　A　‎ ‎6.(2017北京西城二模,6)设a,b是平面上的两个单位向量,a·b=‎3‎‎5‎.若m∈R,则|a+mb|的最小值是(　　)‎ A.‎3‎‎4‎　　　　B.‎4‎‎3‎　　　　C.‎4‎‎5‎　　　　D.‎‎5‎‎4‎ 答案　C　‎ ‎7.(2019届北京潞河中学10月月考,6)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,y),且a⊥b,则y=(　　)‎ A.-4　　　　B.4　　　　C.1　　　　D.-1‎ 答案　C　‎ 二、填空题(每小题5分,共35分)‎ ‎8.(2019届北京人大附中期中,9)已知向量a=(3,-1),b=(-2,4),则向量a与b的夹角为　　　　. ‎ 答案　‎‎3π‎4‎ ‎9.(2019届北京牛栏山一中期中,14)已知向量序列:a1,a2,a3,…,an,…满足如下条件:|a1|=2,|d|=‎1‎‎2‎,2a1·d=-1,且an-an-1=d(n≥2,n∈N*).若a1·ak=0,则k=　　　　;|a1|,|a2|,|a3|,…,|an|,…中第　　　　项最小. ‎ 答案　9;3‎ ‎10.(2019届北京十四中10月月考,12)已知正方形ABCD的边长为2,E是CD上的一个动点,则AE·BD的最大值为　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎11.(2019届北京潞河中学10月月考文,14)已知梯形ABCD中,AD=DC=CB=‎1‎‎2‎AB,P是BC边上一点,且AP=xAB+yAD.当P是BC中点时,x+y=　　　　;当P在BC边上运动时,x+y的最大值是　　　　. ‎ 答案　‎5‎‎4‎;‎‎3‎‎2‎ ‎12.(2019届北京朝阳期中,12)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G,若CG=λCD+μCB(λ,μ∈R),则λμ=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎13.(2018北京海淀二模,11)已知平面向量a,b的夹角为π‎3‎,且满足|a|=2,|b|=1,则a·b=　　　　,|a+2b|=　　　　. ‎ 答案　1;2‎‎3‎ ‎14.(2018北京丰台期末,9)已知单位向量a,b的夹角为120°,则(a+b)·a=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎