【数学】2020届江苏一轮复习通用版13-2平面及其基本性质作业 7页

‎13.2　平面及其基本性质 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 平面的基本性质 空间点、线、面位置关系的判断 ‎★☆☆‎ 分析解读　　平面的基本性质是立体几何的基础,在江苏高考中一般不单独命题,但只有充分认识了平面的基本性质,才能为后续的线线、线面、面面关系的证明打下坚实的基础,所以说也是“逢考必考”的一个知识点.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　平面的基本性质 ‎1.(2018江苏南师附中检测)若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是　　　　　　　　. ‎ 答案　b与α相交或b⊂α或b∥α ‎2.如图所示,平面α,β,γ两两相交,a,b,c为三条交线,且a∥b,则a与c,b与c的位置关系是　　　　. ‎ 答案　a∥b∥c ‎3.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的　　　　　　条件. ‎ 答案　充分不必要 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法一　证明点共线、线共点、点线共面的方法 ‎1.(2018江苏海门实验学校月考)如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且CFCB=CGCD=‎2‎‎3‎,则下列说法正确的是　　　　.(填写所有正确说法的序号) ‎ ‎①EF与GH平行;‎ ‎②EF与GH异面;‎ ‎③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上;‎ ‎④EF与GH的交点M一定在直线AC上.‎ 答案　④‎ ‎2.(2019届江苏宿迁中学周练)如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BE∥FA,且BC=‎1‎‎2‎AD,BE=‎1‎‎2‎FA,G,H分别为FA,FD的中点.‎ ‎(1)求证:四边形BCHG是平行四边形;‎ ‎(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?‎ 解析　(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD,‎ 所以GH∥AD,GH=‎1‎‎2‎AD.‎ 又BC∥AD,BC=‎1‎‎2‎AD,‎ 故GH∥BC,且GH=BC,‎ 所以四边形BCHG是平行四边形.‎ ‎(2)C,D,F,E四点共面.‎ 理由如下:‎ 由BE∥FA,BE=‎1‎‎2‎FA,G是FA的中点知,BE∥GF,且BE=GF,‎ 所以四边形BGFE是平行四边形,‎ 所以EF∥BG.‎ 由(1)知BG∥CH,‎ 所以EF∥CH,故EC、FH共面.‎ 又点D在直线FH上,‎ 所以C,D,F,E四点共面.‎ 方法二　空间两直线位置关系的判断方法 ‎1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线;‎ ‎②直线AM与BN是平行直线;‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线;‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线.‎ 其中正确的结论为　　　　(把你认为正确的结论的序号都填上). ‎ 答案　③④‎ ‎2.(2019届江苏泗阳中学检测)已知a,b,c为三条不同的直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,α∩β=c.‎ ‎①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;‎ ‎②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;‎ ‎③若a∥b,则必有a∥c;‎ ‎④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β.‎ 其中正确的命题有　　　　.(填写所有正确命题的序号) ‎ 答案　①③‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ 统一命题、省(区、市)卷题组 考点　空间点、线、面的位置关系 ‎1.(2018课标全国Ⅱ理改编,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=‎3‎,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎5‎ ‎2.(2018课标全国Ⅱ文改编,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎2‎ ‎3.(2017课标全国Ⅲ文改编,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则下列正确的是　　　　. ‎ ‎①A1E⊥DC1;②A1E⊥BD;③A1E⊥BC1;④A1E⊥AC.‎ 答案　③‎ ‎4.(2017课标全国Ⅱ改编,10,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　. ‎ 答案　‎‎10‎‎5‎ ‎5.(2017课标全国Ⅲ理,16,5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:‎ ‎①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;‎ ‎②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°;‎ ‎④直线AB与a所成角的最大值为60°.‎ 其中正确的是　　　　.(填写所有正确结论的编号) ‎ 答案　②③‎ ‎6.(2016课标全国Ⅰ改编,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎7.(2015福建改编,7,5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的　　　　条件.(从“充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要”中选一个填空) ‎ 答案　必要不充分 ‎8.(2018天津文,17,13分)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2‎3‎,∠BAD=90°.‎ ‎(1)求证:AD⊥BC;‎ ‎(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;‎ ‎(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.‎ 解析　本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.‎ ‎(1)证明:由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.‎ ‎(2)取棱AC的中点N,连接MN,ND.‎ 又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.‎ 在Rt△DAM中,AM=1,‎ 故DM=AD‎2‎+AM‎2‎=‎13‎.‎ 因为AD⊥平面ABC,‎ 故AD⊥AC.‎ 在Rt△DAN中,AN=1,‎ 故DN=AD‎2‎+AN‎2‎=‎13‎.‎ 在等腰三角形DMN中,MN=1,‎ 可得cos∠DMN=‎1‎‎2‎MNDM=‎13‎‎26‎.‎ 所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为‎13‎‎26‎.‎ ‎(3)连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=‎3‎.‎ 又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM⊂平面ABC,‎ 故CM⊥平面ABD.‎ 所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.‎ 在Rt△CAD中,CD=AC‎2‎+AD‎2‎=4.‎ 在Rt△CMD中,sin∠CDM=CMCD=‎3‎‎4‎.‎ 所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为‎3‎‎4‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、填空题(每小题5分,共40分)‎ ‎1.(2018江苏启东一中月考)若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成　　　　部分. ‎ 答案　7‎ ‎2.(2019届江苏梁丰中学周练)线段AB在平面α内,则直线AB与平面α的位置关系是　　　　.(用符号表示) ‎ 答案　AB⊂α ‎3.(2018江苏淮阴中学期初)已知α∩β=l,m⊂α,n⊂β,m∩n=P,则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为　　　　. ‎ 答案　P∈l ‎4.(2019届江苏常熟中学月考)给出下列命题:‎ ‎①经过三点确定一个平面;‎ ‎②梯形可以确定一个平面;‎ ‎③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;‎ ‎④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.‎ 其中正确的为　　　　. ‎ 答案　②③‎ ‎5.(2019届江苏启东中学期初)若直线l上有两个点在平面α外,则　　　　.(填序号) ‎ ‎①直线l上至少有一个点在平面α内;‎ ‎②直线l上有无穷多个点在平面α内;‎ ‎③直线l上所有点都在平面α外;‎ ‎④直线l上至多有一个点在平面α内.‎ 答案　④‎ ‎6.(2019届江苏锡山中学期初)如图所示,设E,F,G,H依次是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上除端点外的点,AEAB=AHAD=λ,CFCB=CGCD=μ,则下列结论中不正确的是　　　　.(填序号) ‎ ‎①当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形;‎ ‎②当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形;‎ ‎③当λ≠μ时,四边形EFGH一定不是平行四边形;‎ ‎④当λ=μ时,四边形EFGH是梯形.‎ 答案　④‎ ‎7.(2019届江苏昆山中学月考)下列命题正确的是　　　　.(把正确的序号填在横线上) ‎ ‎①三点确定一个平面;‎ ‎②两两相交且不共点的三条直线确定一个平面;‎ ‎③如果两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面;‎ ‎④如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面.‎ 答案　②④‎ ‎8.(2018江苏汇龙中学月考)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有　　　　对. ‎ 答案　3‎ 二、解答题(共10分)‎ ‎9.(2018江苏高邮月考)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:CE,D1F,DA交于一点.‎ 证明　如图,连接CD1,A1B,EF,在△A1AB中,因为E,F分别是AB,AA1的中点,所以EF∥A1B,且EF=‎1‎‎2‎A1B,又A1B