宁夏银川九中石嘴山三中平罗中学三校2020届高三下学期联考数学（理）试题 16页

‎ 2020年银川九中、石嘴山三中、平罗中学三校联考 ‎（理科）数学试卷 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。‎ ‎2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。‎ ‎4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎2.若为实数，则复数在复平面内对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．实轴上 D．虚轴上 ‎3.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4.已知为第二象限角,,则等于 A．- B．- C． D． ‎ ‎5.在中，为的中点，且，则的值为 A、　　　 B、　 　C、　　 D、‎ ‎6.如图所示,虚线部分是四个象限的角平分线,实线部分是函数的部分图象,则可能是 A． ‎ B． ‎ C． D．‎ 7. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为 A． ‎ B． C． D．‎ ‎8.将函数的图象向右平移(>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍,所得图象关于直线对称,则的最小正值为 A． B． C． D． ‎9.设是数列的前项和，若，，则数列的前99项和为 A． B． C． D．‎ ‎10.已知函数，若.且，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎11.是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则的离心率是 A． B． C． D．‎ ‎12.设函数(∈R)满足,,且当∈[0,1]时,.又函数,则函数在[-,]上的零点个数为 A．5 B．6 C．7 D．8‎ 一、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.的展开式的第3项为 ‎ ‎14.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是‎37.5‎尺，芒种的日影子长为‎4.5‎尺，则冬至的日影子长为 ‎ ‎15.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满， ，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为 ‎ ‎16.如图所示,已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=.直线是∠F1AF2的平分线，则椭圆E的方程是 ,所在的的直线方程是 ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。‎ 17. ‎(本小题满分12分)‎ 如图，CM，CN为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN=120°，现拟在两条木栈道的A，B处设置观景台，记BC=，AC=b，AB=c（单位：百米）‎ ‎（1）若，b，c成等差数列，且公差为4，求b的值；‎ ‎（2）已知AB=12，记∠ABC=θ，试用θ表示观景路线A-C-B的长，‎ 并求观景路线A-C-B长的最大值．‎ ‎ ‎ 18. ‎(本小题满分12分)‎ 如图，在三棱柱侧面．‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)若，求二面角的余弦值．‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：，，，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代表）．‎ 水果达人 非水果达人 合计 男 ‎10‎ 女 ‎30‎ 合计 ‎（2）若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”． 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？‎ ‎（3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为 ‎,且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．‎ 附：参考公式和数据：，.临界值表：‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知抛物线：上一点到其焦点的距离为10.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设过焦点的直线与抛物线交于，两点，且抛物线在，两点处的切线分别交轴于，两点，求的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数，其中常数．‎ ‎（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且时，求证：．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，，为曲线上两点，且，设射线：.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）若恒成立，求实数的最大值；‎ ‎（2）在（1）成立的条件下，正数满足，证明：.‎ ‎2020年银川市第九中学、石嘴山第三中学、平罗中学高三年级三校联考 数 学(理科)参考答案 一、 选择题：‎ ‎1.C 2.D 3.C 4.A 5.D 6.A 7.C 8.B 9.C 10.B 11.A 12.B 二、 填空题：‎ 13. ‎ 14. 15.5尺 15. 16. ‎ 三、 解答题：‎ ‎17、【详解】‎ 解：（1）∵a、b、c成等差数列,且公差为4,∴,..................2分 ‎∵∠MCN=120°，‎ ‎∴,即°,..............................4分 ‎∴b=10 ...............................................................6分 ‎（2）由题意,在中,,‎ 则,‎ ‎∴,,..............................8分 ‎∴观景路线A-C-B的长,‎ 且..........................................................10分 ‎∴θ=30°时,观景路线A-C-B长的最大值为8..............................12分 ‎18、【详解】‎ ‎(1)如图，设，连接AG.‎ 因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以G为的中点，‎ 因为，‎ 所以为等腰三角形，所以..............................2分 又因为AB⊥侧面，且平面，‎ 所以.......................................................3分 又因为，‎ 所以平面AB，又因为平面，‎ 所以平面平面；.........................................5分 ‎（2）由（1）知平面AB，所以B 以G为坐标原点，以的方向为x轴正方向，以的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.........................................6分 由B易知四边形为菱形，因为 所以，‎ 则可得....................7分 所以 设平面的法向量，‎ 由得：，取z=1，所以，..........9分 由（1）知=为平面AB的法向量，.....................10分 则 易知二面角的余弦值...............................12分 ‎19、【详解】‎ ‎（1）．‎ 估计今年7月份游客人均购买水果的金额为元． .......................3分 ‎（2）列联表如下：‎ 水果达人 非水果达人 合计 男 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 女 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎,‎ 因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系． ........................7分 ‎（3）若选方案一：则需付款元；.........................8分 若选方案二：设付款元，则可能取值为，96，，．‎ ‎， ，‎ ‎， ，‎ 所以．.......................11分 ‎ 因为，‎ 所以选择方案二更划算．.............................................12分 ‎20、【详解】‎ ‎（Ⅰ）已知到焦点的距离为10，则点到准线的距离为10.‎ ‎∵抛物线的准线为，∴，‎ 解得，∴抛物线的方程为.............................5分 ‎（Ⅱ）由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为，则：.‎ 设，.............................................6分 由消去得，，‎ ‎∴，.............................................8分 由于抛物线也是函数的图象，且，‎ 则：.令，解得，∴，‎ 从而............................................9分 同理可得，，...................................10分 ‎∴ .‎ ‎∵，∴的取值范围为........................12分 ‎21【详解】‎ ‎（1）在恒成立在恒成立，‎ 令，则，......................2分 ‎，，‎ 在单调递减，在单调递增，.......................4分 ‎，‎ ‎............................................................5分 ‎（2）若，则 在恒成立，.....................................................6分 令，，‎ 在单调递减，在单调递增，..................8分 又，，‎ 存在唯一的使得，‎ 在单调递减，在单调递增，...................10分 ‎，‎ ‎，，‎ 恒成立，...............................12分 ‎22、【详解】‎ ‎（1）将曲线的参数方程化为直角坐标方程：，.............2分 将，代入可得，‎ 化简得：..........................................5分 ‎（2）由题意知，射线的极坐标方程为或，‎ ‎∴，‎ ‎，..........................................7分 ‎∴，‎ 当且仅当，即时，取最小值........10分 ‎23、【详解】‎ ‎（1）法一：由已知可得，........................2分 所以，‎ 所以只需，解得，‎ ‎∴，所以实数的最大值.............................5分 ‎（2）证明：法一：综合法 ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当时取等号，①.............................7分 又∵，∴，‎ ‎∴，当且仅当时取等号，②........................9分 由①②得，∴，所以..........................10分 法二：分析法 因为，，‎ 所以要证，只需证，‎ 即证，‎ ‎∵，所以只要证，‎ 即证，‎ 即证，因为，所以只需证，‎ 因为，所以成立，‎ 所以