【数学】2019届一轮复习人教A版 正弦定理和余弦定理 学案 21页

第6讲　正弦定理和余弦定理 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　正弦定理 ＝＝＝2R，‎ 其中2R为△ABC外接圆的直径．‎ 变式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.‎ a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.‎ 考点2　余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；‎ c2＝a2＋b2－2abcosC.‎ 变式：cosA＝；cosB＝；‎ cosC＝.‎ sin‎2A＝sin2B＋sin‎2C－2sinBsinCcosA.‎ 考点3　在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况 考点4　三角形中常用的面积公式 ‎1．S＝ah(h表示边a上的高)．‎ ‎2．S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.‎ ‎3．S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．‎ ‎[必会结论]‎ 在△ABC中，常有以下结论 ‎(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.‎ ‎(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．‎ ‎(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．‎ ‎(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos＝sin.‎ ‎(5)tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.‎ ‎(6)∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC为直角三角形．‎ ‎　本例条件变为若＝，判断△ABC的形状．‎ 解　由＝，得＝，‎ ‎∴sinAcosA＝cosBsinB，∴sin‎2A＝sin2B.‎ ‎∵A、B为△ABC的内角，∴‎2A＝2B或‎2A＝π－2B，‎ ‎∴A＝B或A＋B＝，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．‎ 本例条件变为若a＝2bcosC，判断△ABC的形状．‎ 解　解法一：因为a＝2bcosC，所以由余弦定理得，a＝2b·，整理得b2＝c2，则此三角形一定是等腰三角形．‎ 解法二：∵sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∵－π0，于是有cosB<0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．‎ 触类旁通 判定三角形形状的两种常用途径 ‎(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．‎ ‎(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．‎ 提醒　‎ 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．‎ ‎【变式训练2】　在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA＋bsinB＜csinC，则△ABC的形状是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 答案　C 解析　根据正弦定理可得a2＋b2＜c2.由余弦定理的推论得cosC＝＜0，故C是钝角．‎ 考向　与三角形面积有关的问题　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例3　[2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sinBsinC；‎ ‎(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．‎ 解　(1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.‎ 由正弦定理得sinCsinB＝ .‎ 故sinBsinC＝.‎ ‎(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－，‎ 即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.‎ 由题意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8.‎ 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，‎ 即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.‎ 故△ABC的周长为3＋.‎ 触类旁通 三角形面积公式的应用原则 ‎(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．‎ ‎(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．‎ ‎【变式训练3】　[2017·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.‎ ‎(1)求c；‎ ‎(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．‎ 解　(1)由已知可得tanA＝－，所以A＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，‎ 即c2＋‎2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4.‎ ‎(2)由题设可得∠CAD＝，‎ 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.‎ 故△ABD面积与△ACD面积的比值为 ＝1.‎ 又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，‎ 所以△ABD的面积为.‎ 核心规律 ‎1.在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解．‎ ‎2.在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理时，会出现解的不确定性，一般可根据“大边对大角”来取舍．‎ 满分策略 ‎1.在解三角形中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象．‎ ‎2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.‎ 板块三　启智培优·破译高考 题型技法系列 6——利用均值不等式破解三角函数最值问题 ‎[2016·山东高考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝＋.‎ ‎(1)证明：a＋b＝‎2c；‎ ‎(2)求cosC的最小值．‎ 解题视点　(1)首先把切函数转化为弦函数，将分式化为整式，然后根据和角公式及三角形内角和定理化简，最后根据正弦定理即可证明；(2)首先根据(1)中的结论和余弦定理表示出cosC，然后利用基本不等式求解最值．‎ 解　(1)证明：由题意知2＝＋，化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，‎ 即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB.‎ 因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，从而sinA＋sinB＝2sinC.由正弦定理得a＋b＝‎2c.‎ ‎(2)由(1)知c＝，‎ 所以cosC＝＝ ‎＝－≥－＝，‎ 当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 故cosC的最小值为.‎ 答题启示　对于含有a＋b，ab及a2＋b2的等式，求其中一个的范围时，可利用基本不等式转化为以该量为变量的不等式求解.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 跟踪训练 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC＝(acosB＋bcosA)．‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)若c＝2，求△ABC面积的最大值．‎ 解　(1)∵ctanC＝(acosB＋bcosA)，‎ ‎∴sinCtanC＝(sinAcosB＋sinBcosA)，‎ ‎∴sinCtanC＝sin(A＋B)＝sinC，‎ ‎∵0＜C＜π，∴sinC≠0，‎ ‎∴tanC＝，∴C＝60°.‎ ‎(2)∵c＝2，C＝60°，‎ 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得 ‎12＝a2＋b2－ab≥2ab－ab，‎ ‎∴ab≤12，∴S△ABC＝absinC≤3，‎ 当且仅当a＝b＝2时，△ABC的面积取得最大值3.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎ [A级　基础达标]‎ ‎1．[2018·北京西城期末]已知△ABC中，a＝1，b＝，B＝‎ ‎45°，则A等于(　　)‎ A．150° B．90° C．60° D．30°‎ 答案　D 解析　由正弦定理，得＝，得sinA＝.又a0，则cosA<0，即A是钝角．‎ ‎5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝，则c∶sinC等于(　　)‎ A．3∶1 B.∶‎1 C.∶1 D．2∶1‎ 答案　D 解析　由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，得2cos2B－3cosB＋1＝0，解得cosB＝1(舍去)或cosB＝，所以sinB＝，所以c∶sinC＝b∶sinB＝2∶1.‎ ‎6．[2017·浙江高考]我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.‎ 答案　 解析　作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1.‎ S6＝6S△OAB＝6××1×＝.‎ ‎7．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC＝________.‎ 答案　7‎ 解析　由S△ABC＝得×3×AC·sin120°＝，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.‎ ‎8．[2018·渭南模拟]在△ABC中，若a2－b2＝bc且＝2，则A＝________.‎ 答案　 解析　因为＝2，故＝2，即c＝2b，则cosA＝＝＝＝，所以A＝.‎ ‎9．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA＋tanC＝(tanAtanC－1)．‎ ‎(1)求角B；‎ ‎(2)如果b＝2，求△ABC面积的最大值．‎ 解　(1)∵tanA＋tanC＝(tanAtanC－1)，‎ ‎∴＝，‎ 即＝－，即tan(A＋C)＝－.‎ 又∵A＋B＋C＝π，‎ ‎∴tanB＝－tan(A＋C)＝，∴B＝.‎ ‎(2)由余弦定理的推论得cosB＝＝，‎ 即4＝a2＋c2－ac≥‎2ac－ac，‎ ‎∴ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立．‎ ‎∴S△ABC＝acsinB≤×4×＝.‎ 故△ABC的面积的最大值为.‎ ‎10．[2018·长沙模拟]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1,2cosC＋c＝2b.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若b＝，求sinC.‎ 解　(1)因为a＝1,2cosC＋c＝2b，‎ 由余弦定理得2×＋c＝2b，即b2＋c2－1＝bc.‎ 所以cosA＝＝＝.‎ 因为0°0，∴b＝5.‎ ‎2．[2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　因为a＝2，c＝，‎ 所以由正弦定理可知，＝，‎ 故sinA＝sinC.‎ 又B＝π－(A＋C)，‎ 故sinB＋sinA(sinC－cosC)‎ ‎＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC ‎＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC ‎＝(sinA＋cosA)sinC ‎＝0.‎ 又C为△ABC的内角，‎ 故sinC≠0，‎ 则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.‎ 又A∈(0，π)，所以A＝.‎ 从而sinC＝sinA＝×＝.‎ 由A＝知C为锐角，故C＝.‎ 故选B.‎ ‎3．[2017·浙江高考]已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.‎ 答案　　 解析　依题意作出图形，如图所示，‎ 则sin∠DBC＝sin∠ABC.‎ 由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，‎ 则sin∠ABC＝，cos∠ABC＝.‎ 所以S△BDC＝BC·BD·sin∠DBC ‎＝×2×2×＝.‎ 因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝ ‎＝，所以CD＝.‎ 由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.‎ ‎4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC·(acosB＋bcosA)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ 解　(1)由已知及正弦定理得，‎ ‎2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，‎ ‎2cosCsin(A＋B)＝sinC.‎ 故2sinCcosC＝sinC.‎ 可得cosC＝，所以C＝.‎ ‎(2)由已知，得absinC＝.‎ 又C＝，所以ab＝6.‎ 由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7.‎ 故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.‎ 所以△ABC的周长为5＋.‎ ‎5．[2017·天津高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2)．‎ ‎(1)求cosA的值；‎ ‎(2)求sin(2B－A)的值．‎ 解　(1)由asinA＝4bsinB，及＝，‎ 得a＝2b.‎ 由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，‎ 得cosA＝＝＝－.‎ ‎(2)由(1)，可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB，‎ 得sinB＝＝.‎ 由(1)知，A为钝角，‎ 所以cosB＝＝.‎ 于是sin2B＝2sinBcosB＝，‎ cos2B＝1－2sin2B＝，‎ 故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝×－×＝‎ ‎－.‎