陕西省铜川市王益区2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题 22页

‎2018~2019学年度高中测试卷 数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.若命题是真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题干得到需满足，解出不等式即可.‎ ‎【详解】命题是真命题，则需满足，解得或.‎ 故选.‎ ‎【点睛】这个题目考查了已知命题的真假，求参的问题.涉及二次函数在R上有解的问题，开口向上，只需要判别式大于等于0即可.‎ ‎2.双曲线x2﹣4y2＝4的右焦点坐标为（　　　　）‎ A. （，0） B. （2，0） C. （5，0） D. （，0）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将双曲线化简成标准方程，再求出即可求出右焦点坐标.‎ ‎【详解】由题知：，，，解得：.‎ 右焦点.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查双曲线的焦点坐标求法，需要熟练掌握双曲线的简单性质，属于简单题.‎ ‎3.已知曲线上点处切线的斜率为3，则点的坐标为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导得到，解得切点的横坐标，进而得到P点坐标.‎ ‎【详解】，切线的斜率为3，，解得，，则点的坐标为或.‎ 故选.‎ ‎【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，考查了在一点出的切线的斜率问题，题目较为基础.‎ ‎4.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据抛物线的定义式得到焦点在x轴上，焦点坐标为 ，准线方程为 ，故焦点到准线的距离为1.‎ 故选项为B.‎ ‎5.已知函数f（x）在定义域R内可导，其图象如图所示．记f（x）的导函数为f′（x），则不等式xf′（x）≤0的解集为（　　　　）‎ A. （﹣∞，]∪[0，1]∪[2，+∞）‎ B. [，0]∪[2，+∞）‎ C. （﹣∞，）∪（0，1）∪（2，+∞）‎ D. [，0]∪[1，2]‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过图像的单调性以及的正负性即可找到不等式的解集.‎ ‎【详解】由图知：‎ ‎，为增函数，，符合.‎ ‎，为减函数，，舍去.‎ ‎，为减函数，，符合.‎ ‎，为增函数，，舍去.‎ ‎，为减函数，，符合.‎ 综上所述：的解集为：.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查导数的应用中的单调性，熟练掌握原函数的增减性与导函数的正负性之间的关系是解题的关键，属于中档题.‎ ‎6.已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2．过点F1作x轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为P点（如图所示），若△PF‎1F2的面积为 ‎，则椭圆的方程为（　　　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，解得：，再根据，即可求出椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】由题知：.‎ 整理得：.‎ ‎.‎ 椭圆的标准方程为：.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查椭圆的基本性质，同时也考查了椭圆中的通径问题，属于简单题.‎ ‎7.已知函数f（x）＝lnx﹣ax（x∈[1，+∞）），若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围为（　　　　）‎ A. [1，+∞） B. （﹣∞，） C. [，+∞） D. [0，+∞）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题知： 等价于：，恒成立.令，即：即可.‎ ‎【详解】由题知：，恒成立，‎ 等价于：，恒成立.‎ 令，即：即可.‎ 令，.‎ ‎，，为增函数，‎ ‎，，为减函数，‎ ‎，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查导数中的恒成立问题，分离参数是解决本题的关键，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.‎ ‎8.下列命题中正确命题的序号是（　　　　）‎ ‎①函数f（x）在定义域R内可导，“f′（1）＝‎0”‎是“函数f（x）在x＝1处取极值”的充分不必要条件；‎ ‎②函数f（x）＝x3ax在[1，2]上单调递增，则a≥﹣4‎ ‎③在一次射箭比赛中，甲、乙两名射箭手各射箭一次．设命题p：“甲射中十环”，命题q：“乙射中十环”，则命题“至少有一名射箭手没有射中十环”可表示为（￢p）∨（￢q）；‎ ‎④若椭圆左、右焦点分别为F1，F2，垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，当直线过右焦点时，△ABF1的周长取最大值 A. ①③④ B. ②③④ C. ②③ D. ①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①通过举反例说明错误 ‎②，由题知：等价于，恒成立.再求即可判断②正确.‎ ‎③命题“至少有一名射箭手没有射中十环”，分三种情况，可表示为：.故③正确.‎ ‎④当直线过右焦点时，的周长为，其他情况的周长均小于，故④正确.‎ ‎【详解】①例如：，，，‎ 但x＝1不是f（x）的极值点，故①错误.‎ ‎②，由题知：等价于，恒成立.‎ 即：.所以得到：.故②正确.‎ ‎③命题“至少有一名射箭手没有射中十环”，分三种情况：甲射中，乙没射中；乙射中，甲没射中；甲乙都没射中，可表示为：.故③正确.‎ ‎④当直线过右焦点时，的周长为，不过右焦点时，的周长均小于，故④正确.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了导数的极值点，单调区间，同时考查了充分必要条件，逻辑连接词以及椭圆的几何性质，属于中档题.‎ ‎9.若函数f（x）＝x3+ax2+2x（a∈R）在x处取得极小值，则实数a的值为（　　　　）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为处取得极限值，所以，即可求出的值.‎ ‎【详解】.‎ 因为处取得极小值，所以.‎ 即：，解得：.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查函数极值问题，同时考查计算能力，属于简单题.‎ ‎10.过抛物线x2＝2py（p＞0）焦点的直线l交抛物线于A，B两点，若A点坐标为（1，），则点B到准线的距离为（　　　　）‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 5 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将带入求得，再由和求出直线方程，与抛物线联立得到：，求出，再根据抛物线的几何性质即可求出到准线的距离.‎ ‎【详解】因为在抛物线上，解得：.‎ 所以抛物线方程为，.‎ ‎，.‎ 联立.‎ ‎，.带入得：.‎ 到准线的距离等于 故选：C ‎【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题.‎ ‎11.若函数g（x）x2﹣1nx+m在[，e]上有两个零点，则实数m的取值范围为（　　　　）‎ A. （﹣∞，） B. [1e2，+∞]‎ C. [1e2，] D. [，）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先给求导，再根据单调性求出的最小值及其边界值，再根据在上有两个零点，列出不等式组，解不等式组即可.‎ ‎【详解】.‎ 令，解得：，.‎ ‎，，为减函数，‎ ‎，，为增函数，‎ ‎.‎ ‎，，且.‎ 因为在上有两个零点，‎ 即：，解得：.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了导数中的单调性和最值，属于中档题.‎ ‎12.过椭圆右焦点F且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，M为弦AB的中点，直线OM与椭圆相交，其中一个交点为C点，若（λ＞0），则实数λ的值为（　　　　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先联立，通过，得到，再带入，得到.从而得到.椭圆联立，解得：.根据即可得到答案.‎ ‎【详解】设，,由题知：‎ ‎，，即：.‎ 与椭圆联立.‎ 因为，所以.‎ 将代入，得到：，.‎ ‎，即：.‎ 与椭圆联立，解得：.‎ 因为且，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查直线与椭圆位置关系，同时考查了计算能力和转化能力，属于难题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.设p：|x﹣1|≤1，q：x2﹣（‎2m+1）x+（m﹣1）（m+2）≤0．若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．‎ ‎【答案】[0，1]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出的范围，再根据是的充分不必要条件，列出不等式组，解不等式组 ‎【详解】由得，得.‎ 由，得，‎ 得，‎ 若p是q的充分不必要条件，‎ 则，得，得，‎ 即实数的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了充分不必要条件，属于中档题.‎ ‎14.已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，点P是抛物线上的动点，点A（2，1），则|PA|+|PF|的最小值为_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的几何性质知：，根据画图知：为的最小值，求长度即可.‎ ‎【详解】‎ 点是抛物线的焦点，其准线方程为，‎ 作于，作于，‎ 则.‎ 当且仅当为与抛物线的交点时，取得等号，‎ 则的最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离为解题的关键，属于中档题.‎ ‎15.函数f（x）＝x3﹣3x（x∈[﹣2，3]）的最大值为_____．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导并求出函数在的极值以及边界值，比较即可得到最大值.‎ ‎【详解】，可得，令，得：.‎ 函数以及导函数在]上的变化情况如下：‎ 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 因为，，‎ ‎，，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的应用中的求函数的最值，求函数的单调区间是解题的关键，属于简单题.‎ ‎16.已知函数f（x）＝lnx+ax（a＞0），若对任意的x1，x2∈（0，），且x1≠x2，不等式|f（x2）﹣f（x1）|＜||恒成立，则实数a的取值范围为_____．‎ ‎【答案】（0，2]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求导，得到函数在上单调递增，设，化简得，令，即函数在上单调递减.所以恒成立，只需满足即可.解得的范围即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 不妨设，所以，‎ 令，‎ 即函数在上单调递减.‎ 所以恒成立，‎ 等价于：恒成立.‎ 只需满足即可.解得，‎ 又因为，所以，‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数应用中的恒成立问题，同时重点考查了学生的转化能力，属于中档题.‎ 三、解答颞：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知命题p：函数f（x）＝x3﹣2ax2﹣4x在区间（0，4）上是单调递减函数；命题q：椭圆y2＝1（a＞1）的离心率取值范围为（，1），若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（，）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先分别求出命题，为真命题时的范围，再根据“”为假命题，“”为真命题，得到：，一真一假.再分别讨论即可.‎ ‎【详解】当为真命题时，，‎ 由题意可知在上恒成立，‎ 所以，即；‎ 当命题为真命题时，椭圆离心率，‎ 因为，所以.‎ 因为“”为假命题，“”为真命题，‎ 所以，一真一假.‎ ‎∴①真假时，，解得：；‎ ‎②假真时，，即；‎ 综上所述：的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数中的单调区间，同时考查了椭圆的离心率，还考查了逻辑连接词，属于中档题.‎ ‎18.已知函数f（x）＝（x2﹣a）ex（a∈R）．‎ ‎（1）若函数f（x）有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）当a＝0时，若关于x的方程f（x）＝m存在三个不同的实数根，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】(1) a＞﹣1，(2) （0，）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）有两个不同的极值点，等价于有两个不同的实数根，用判别式即可求出的范围.‎ ‎（2）求出函数的单调区间，根据函数的单调区间和极值画出函数的图像，转化为两个函数交点问题，就可求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 由可得，‎ 因为有两个不同的极值点，‎ 所以有两个不同的实数根，‎ 则，解可得.‎ ‎（2）当时，，，‎ 令，解得：，‎ 当，时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，函数取得极大值，‎ 当时，函数取得极小值，‎ 因为存在三个不同的实数根，‎ 所以与有个不同的交点，‎ 则.‎ 故m的范围.‎ ‎【点睛】本题第一问考查了函数的极值点问题，第二问考查了函数的零点问题，同时考查了转化与数形结合的思想，属于中档题.‎ ‎19.双曲线（a＞0，b＞0）的半焦距为c，点A（0，b）到渐近线的距离为c．‎ ‎（1）求双曲线的离心率；‎ ‎（2）若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，双曲线右支上存在一点P，使得PF1⊥PF2，求点P的坐标．‎ ‎【答案】(1)；(2) P（，1）或P（，﹣1）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据到渐近线的距离为，列出等式，即可得到，‎ ‎，带入离心率公式即可.‎ ‎（2）根据在双曲线上，和，列出方程，解方程即可.‎ ‎【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，‎ 点到渐近线的距离为，可得，‎ 即有，可得，‎ ‎，则.‎ ‎（2）由焦距为，可得，，‎ 双曲线的方程为，‎ 双曲线右支上存在一点，，即有，‎ 由，可得，即有，‎ 解得，，则或 ‎【点睛】本题第一问考查了离心率的求法，第二问考查了点与双曲线的关系以及垂直的斜率表示，属于中档题.‎ ‎20.现拟建一个粮仓，如图1所示，粮仓的轴截而如图2所示，ED＝EC，ADBC，BC⊥AB，EF⊥AB，CD交EF于点G，EF＝FC＝‎10m．‎ ‎（1）设∠CFB＝θ，求粮仓的体积关于θ的函数关系式；‎ ‎（2）当sinθ为何值时，粮仓的体积最大？‎ ‎【答案】(1)，．(2)‎ 时，粮仓的体积最大．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件分别求出，，再代入体积公式即可.‎ ‎（2）令，将（1）问的关系式转化为三次函数，求导即可得到最大值时的正弦值.‎ ‎【详解】（1）因为，且，所以四边形是平行四边形.‎ 又因为，所以四边形是矩形，‎ 且，，所以，‎ 所以是三角形的中线.‎ 因为，所以，，，‎ 所以，‎ 化简得，.‎ ‎（2）令，，‎ 则粮仓的体积，‎ ‎，‎ 令，即，解得（舍去），‎ 当时， 0，y在上单调递增；‎ 当时，，y在上单调递减，‎ 所以当时，即时，粮仓的体积最大.‎ ‎【点睛】‎ 本题第一问考查了三角函数的实际应用和组合体的体积公式，第二问考查了转化思想，将函数转化为三次函数，再利用导数求最值是解决第二问的关键，属于难题.‎ ‎21.已知抛物线x2=4y．‎ ‎（1）求抛物线在点P（2，1）处的切线方程；‎ ‎（2）若不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点（如图所示），且OA⊥OB，|OA|=|OB|，求直线l的斜率．‎ ‎【答案】（1）y=x-1; （2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）方法一，利用导数几何意义即可求出切线方程； 方法二，利用判别式即可求出切线方程； ‎ ‎（2）设直线l方程以及AB两点坐标，根据根与系数的关系，以及相似三角形即可求出．‎ ‎【详解】解：（1）方法一：点P（2，1）在抛物线上，即y=x2，‎ ‎∴y′=x，‎ ‎∴切线斜率k=y′|=×2=1，‎ ‎∴抛物线在点P（2，1）处的切线方程为y=x-1，‎ 方法二：设抛物线在点P（2，1）处的切线方程为y-1=k（x-2），（k＞0），即y=kx+1-2k，‎ 代入到x2=4y，可得x2-4kx+8k-4=0，‎ 由△=16k2-4（8k-4）=0，‎ 解得k=1，‎ ‎∴抛物线在点P（2，1）处的切线方程为y=x-1，‎ ‎（2）设直线l方程为：y=kx+m，（k＞0，m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，消去y得x2-4kx‎-4m=0，‎ ‎∴x1+x2=4k，x1x2=‎-4m，‎ ‎∵OA⊥OB，‎ ‎∴•=0，‎ ‎∴x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴x1x2+=0，‎ 解得x1x2=-16，或x1x2=0（舍去）‎ ‎∴‎-4m=-16，‎ ‎∴m=4，‎ 过点A，B两点分别作x轴的垂线，垂足为A1，B1，‎ ‎∵OA⊥OB，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ ‎∵∠AOB+∠AOA1+∠BOB1=180°，‎ ‎∴∠AOA1+∠BOB1=90°，‎ ‎∵∠OBB1+∠BOB1=90°，‎ ‎∴∠AOA1=∠OBB1，‎ ‎∴Rt△AA1O∽Rt△OB1B，‎ ‎∴==，‎ ‎∴y2=-8x1，x22=-32x1，‎ ‎∵x1x2=-16，‎ ‎∴x1=-2，x2=8，‎ ‎∴x1+x2=6=4k，‎ 解得k=，‎ ‎∴直线l的斜率为．‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎22.已知函数f（x）x2﹣xlnx，g（x）＝（m﹣x）lnx+（1﹣m）x（m＜0）．‎ ‎（1）讨论函数f′（x）的单调性；‎ ‎（2）求函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[1，+∞）上的最小值．‎ ‎【答案】(1) f′（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，求导即可得到的单调区间.‎ ‎（2）令，得，，比较两个根的大小，分类讨论每种情况的单调区间个最值即可.‎ ‎【详解】（1），的定义域为，‎ 令，，‎ 令，得.‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 则在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）由，‎ 则，‎ 令，得，，‎ 当，即时，在上单调递增，‎ 其最小值为，‎ 当，即时，在上恒成立，‎ ‎ 0在上恒成立，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 其最小值为.‎ 综上，当时，在上的最小值为，‎ 当时，在上的最小值为.‎ ‎【点睛】本题第一问考查了普通函数的单调区间，第二问考查了含参函数的最值，分类讨论是解题的关键，属于中档题.‎