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- 2021-06-16 发布
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§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
最新考纲
考情考向分析
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.
dr⇔相离.
(2)代数法：
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法
位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|2，∴点A(3,5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，∴k＝，
故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
答案 B
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离
d＝＝<1.
所以直线与圆相交.
命题点2 弦长问题
例2 已知直线：12x－5y＝3与圆x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 4
解析 把圆的方程化成标准方程为
(x－3)2＋(y－4)2＝9，
所以圆心坐标为(3,4)，半径r＝3，
所以圆心到直线12x－5y＝3的距离
d＝＝1，
则|AB|＝2＝4.
命题点3 切线问题
例3 已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程.
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1).
解 (1)设切线方程为x＋y＋b＝0，
则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则＝，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)∵kAC＝＝，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法
①几何法：利用d与r的关系.
②代数法：联立方程之后利用Δ判断.
③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.
跟踪训练1 (1)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为________.
答案 相交
解析 直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，
直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交.
(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
答案 2
解析 设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝，半径r＝2，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.
(3)过点P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为__________________.
答案 x＝2或4x－3y＋4＝0
解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，
解得k＝，
∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，
即4x－3y＋4＝0.
综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
题型二 圆与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例4 分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切.
解 将两圆的一般方程化为标准方程，得
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，
则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝，k<50.
从而|C1C2|＝＝5.
当|－1|<5<＋1，即4<<6，
即140)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
答案 B
解析 ∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，
圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得2＋()2＝a2，解得a＝2.
∴M(0,2)，r1＝2.
又圆N的圆心坐标N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝，
r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2<|MN|r，直线l和圆C相离，故选D.
4. (2018·包头模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( )
A.y＝－ B.y＝－
C.y＝－ D.y＝－
答案 B
解析 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.
5.若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
答案 C
解析 如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆.由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).
6.(2018·东北三省联考)直线x＋2y＋m＝0(m>0)与⊙O：x2＋y2＝5交于A，B两点，若|＋|>2||，则m的取值范围是( )
A.(，2) B.(2，5)
C.(，5) D.(2，)
答案 B
解析 ∵直线x＋2y＋m＝0与⊙O：x2＋y2＝5交于相异两点A，B，∴O点到直线x＋2y＋m＝0的距离d<.
记＋＝，则四边形OADB是菱形，且||＝2d.
∵|＋|>2||，∴2d>2||，
即d>||＝2，解得d>2.
又d<，∴20，解得m∈(2，5).
7.(2016·全国Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
答案 4
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得y2－3y＋6＝0，
解得x1＝－3，y1＝；x2＝0，y2＝2，
∴A(－3，)，B(0,2).
过A，B作l的垂线方程分别为
y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，令y＝0，则xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.
8.过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝________.
答案
解析 由题意，得圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，
∵P(1，)，∴PB⊥x轴，
|PA|＝|PB|＝.
∴△POA为直角三角形，
其中|OA|＝1，|AP|＝，
则|OP|＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.
∴·＝||||·cos∠APB＝××cos 60°＝.
9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________.
答案
解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0).
由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即≤2，整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.
故k的最大值是.
10.(2018·大连模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆C上的点到直线l：3x＋4y＋m＝0(m<0)的最短距离为1，若点N(a，b)在直线l上位于第一象限的部分，则＋的最小值为____________.
答案
解析 圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，圆心坐标(3,4)，半径为5，因为圆C上的点到直线l：3x＋4y＋m＝0(m<0)的最短距离为1，则直线l与圆C相离，设圆心到直线的距离为d，则d－r＝1，可得＝6，解得m＝－55或m＝5(舍去).
因为点N(a，b)在直线l上位于第一象限的部分，
所以3a＋4b＝55，a>0，b>0.
则＋＝(3a＋4b)
＝
≥＝，
当且仅当a＝－55＋，b＝55－时取等号.
11.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程.
解 把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，
C到l的距离d＝2＝r，满足条件.
当l的斜率存在时，设斜率为k，
得l的方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝－.
∴l的方程为y－3＝－(x－1)，
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2
＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，
|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，
整理，得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围.
解 (1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径r＝5，
由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0).
且＝b＋5.
解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.
又|BC|＝|OA|＝＝2.
由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d＝ ＝＝2.
即＝2，解得m＝5或m＝－15.
∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.
(3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，
又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.
∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，
解得2－2≤t≤2＋2.
故所求t的取值范围为[2－2，2＋2].
13.(2018·呼伦贝尔质检)已知直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋4－4m＝0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是( )
A.m≤1或m≥2 B.2≤m≤8
C.－2≤m≤10 D.m≤－2或m≥8
答案 C
解析 如图，
设切点分别为A，B.连接AC，BC，MC，由∠AMB＝∠MAC＝∠MBC＝90°及|MA|＝|MB|知，四边形MACB为正方形，故|MC|＝＝2，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心(－1,2)到直线l的距离d＝≤2，即m2－8m－20≤0，∴－2≤m≤10，故选C.
14.若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________.
答案 4
解析 ⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O1A⊥OA.
又∵|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5.
又A，B关于OO1所在直线对称，
∴AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍，
∴|AB|＝2×＝4.
15.已知圆O：x2＋y2＝9，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB过定点( )
A. B.
C.(1,2) D.(9,0)
答案 C
解析 因为P是直线x＋2y－9＝0上的任一点，所以设P(9－2m，m)，因为PA，PB为圆x2＋y2＝9的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A，B在以OP为直径的圆(记为圆C)上，即AB是圆O和圆C的公共弦，
易知圆C的方程是
2＋2＝， ①
又x2＋y2＝9， ②
②－①得，(2m－9)x－my＋9＝0，
即公共弦AB所在直线的方程是(2m－9)x－my＋9＝0，
即m(2x－y)＋(－9x＋9)＝0，
由得x＝1，y＝2.
所以直线AB恒过定点(1,2)，故选C.
16.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D，求实数t的取值范围.
解 由题意可得直线AB的方程为x＝y＋1，与y2＝4x联立消去x，可得y2－4y－4＝0，显然Δ＝16＋16>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4，y1y2＝－4，
设E(xE，yE)，则yE＝＝2，xE＝yE＋1＝3，
又|AB|＝x1＋x2＋2＝y1＋1＋y2＋1＋2＝8，
所以圆E是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，
所以点D恒在圆E外.
圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D，
即圆E上存在点P，Q，
使得DP⊥DQ，设过D点的两直线分别切圆E于P′，Q′点，要满足题意，则∠P′DQ′≥，
所以＝≥，
整理得t2－4t－≤0，解得2－≤t≤2＋，
故实数t的取值范围为.
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