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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习(文)人教通用版9-4直线与圆、圆与圆的位置关系学案

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‎§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 最新考纲 考情考向分析 ‎1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.‎ ‎2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.‎ ‎3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.‎ 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断;根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主,要求相对较低,但内容很重要,有时也会在解答题中出现.‎ ‎1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 ‎(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.‎ dr⇔相离.‎ ‎(2)代数法: ‎2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r(r1>0),‎ 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r(r2>0).‎ ‎ 方法 位置关系 几何法:圆心距d与r1,r2的关系 代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1+r2‎ 无解 外切 d=r1+r2‎ 一组实数解 相交 ‎|r1-r2|2,∴点A(3,5)在圆外.显然,当切线斜率不存在时,直线与圆相切,即切线方程为x-3=0,当切线斜率存在时,可设所求切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0.又圆心为(1,2),半径r=2,而圆心到切线的距离d==2,‎ 即|3-2k|=2,∴k=,‎ 故所求切线方程为5x-12y+45=0或x-3=0.‎ 题型一 直线与圆的位置关系 命题点1 位置关系的判断 例1 已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(  )‎ A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案 B 解析 因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,‎ 所以a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离 d==<1.‎ 所以直线与圆相交.‎ 命题点2 弦长问题 例2 已知直线:12x-5y=3与圆x2+y2-6x-8y+16=0相交于A,B两点,则|AB|=________.‎ 答案 4 解析 把圆的方程化成标准方程为 ‎(x-3)2+(y-4)2=9,‎ 所以圆心坐标为(3,4),半径r=3,‎ 所以圆心到直线12x-5y=3的距离 d==1,‎ 则|AB|=2=4.‎ 命题点3 切线问题 例3 已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程.‎ ‎(1)与直线l1:x+y-4=0平行;‎ ‎(2)与直线l2:x-2y+4=0垂直;‎ ‎(3)过切点A(4,-1).‎ 解 (1)设切线方程为x+y+b=0,‎ 则=,∴b=1±2,‎ ‎∴切线方程为x+y+1±2=0.‎ ‎(2)设切线方程为2x+y+m=0,‎ 则=,∴m=±5,‎ ‎∴切线方程为2x+y±5=0.‎ ‎(3)∵kAC==,‎ ‎∴过切点A(4,-1)的切线斜率为-3,‎ ‎∴过切点A(4,-1)的切线方程为y+1=-3(x-4),‎ 即3x+y-11=0.‎ 思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法 ‎①几何法:利用d与r的关系.‎ ‎②代数法:联立方程之后利用Δ判断.‎ ‎③点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.‎ 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.‎ ‎(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.‎ ‎(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题.‎ 跟踪训练1 (1)圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为________.‎ 答案 相交 解析 直线2tx-y-2-2t=0恒过点(1,-2),‎ ‎∵12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,‎ ‎∴点(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内,‎ 直线2tx-y-2-2t=0与圆x2+y2-2x+4y=0相交.‎ ‎(2)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的长为________.‎ 答案 2 解析 设P(3,1),圆心C(2,2),则|PC|=,半径r=2,由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直,所以最短弦长为2=2.‎ ‎(3)过点P(2,4)引圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为__________________.‎ 答案 x=2或4x-3y+4=0‎ 解析 当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时,圆心到直线的距离等于半径,直线与圆相切,符合题意;‎ 当直线的斜率存在时,设直线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,∵直线与圆相切,‎ ‎∴圆心到直线的距离等于半径,即d===1,‎ 解得k=,‎ ‎∴所求切线方程为x-y+4-2×=0,‎ 即4x-3y+4=0.‎ 综上,切线方程为x=2或4x-3y+4=0.‎ 题型二 圆与圆的位置关系 命题点1 位置关系的判断 例4 分别求当实数k为何值时,两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0相交和相切.‎ 解 将两圆的一般方程化为标准方程,得 C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k,‎ 则圆C1的圆心为C1(-2,3),半径r1=1;‎ 圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=,k<50.‎ 从而|C1C2|==5.‎ 当|-1|<5<+1,即4<<6,‎ 即140)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(  )‎ A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 答案 B 解析 ∵圆M:x2+(y-a)2=a2(a>0),‎ ‎∴圆心坐标为M(0,a),半径r1为a,‎ 圆心M到直线x+y=0的距离d=,由几何知识得2+()2=a2,解得a=2.‎ ‎∴M(0,2),r1=2.‎ 又圆N的圆心坐标N(1,1),半径r2=1,‎ ‎∴|MN|==,‎ r1+r2=3,r1-r2=1.‎ ‎∴r1-r2<|MN|r,直线l和圆C相离,故选D.‎ ‎4. (2018·包头模拟)过点P(1,-2)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为(  )‎ A.y=- B.y=- C.y=- D.y=- 答案 B 解析 圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),半径为1,以|PC|==2为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1,将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y+1=0,即y=-.‎ ‎5.若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2,则这样的直线有(  )‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案 C 解析 如图,分别以A,B为圆心,1,2为半径作圆.由题意得,直线l是圆A的切线,A到l的距离为1,直线l也是圆B的切线,B到l的距离为2,所以直线l是两圆的公切线,共3条(2条外公切线,1条内公切线).‎ ‎6.(2018·东北三省联考)直线x+2y+m=0(m>0)与⊙O:x2+y2=5交于A,B两点,若|+|>2||,则m的取值范围是(  )‎ A.(,2) B.(2,5)‎ C.(,5) D.(2,)‎ 答案 B 解析 ∵直线x+2y+m=0与⊙O:x2+y2=5交于相异两点A,B,∴O点到直线x+2y+m=0的距离d<.‎ 记+=,则四边形OADB是菱形,且||=2d.‎ ‎∵|+|>2||,∴2d>2||,‎ 即d>||=2,解得d>2.‎ 又d<,∴20,解得m∈(2,5).‎ ‎7.(2016·全国Ⅲ)已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,则|CD|=________.‎ 答案 4‎ 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由 得y2-3y+6=0,‎ 解得x1=-3,y1=;x2=0,y2=2,‎ ‎∴A(-3,),B(0,2).‎ 过A,B作l的垂线方程分别为 y-=-(x+3),y-2=-x,令y=0,则xC=-2,xD=2,∴|CD|=2-(-2)=4.‎ ‎8.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·=________.‎ 答案  解析 由题意,得圆心为O(0,0),半径为1.如图所示,‎ ‎∵P(1,),∴PB⊥x轴,‎ ‎|PA|=|PB|=.‎ ‎∴△POA为直角三角形,‎ 其中|OA|=1,|AP|=,‎ 则|OP|=2,∴∠OPA=30°,∴∠APB=60°.‎ ‎∴·=||||·cos∠APB=××cos 60°=.‎ ‎9.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是________.‎ 答案  解析 圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).‎ 由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,‎ 即≤2,整理得3k2-4k≤0,解得0≤k≤.‎ 故k的最大值是.‎ ‎10.(2018·大连模拟)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,圆C上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1,若点N(a,b)在直线l上位于第一象限的部分,则+的最小值为____________.‎ 答案  解析 圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,圆心坐标(3,4),半径为5,因为圆C上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1,则直线l与圆C相离,设圆心到直线的距离为d,则d-r=1,可得=6,解得m=-55或m=5(舍去).‎ 因为点N(a,b)在直线l上位于第一象限的部分,‎ 所以3a+4b=55,a>0,b>0.‎ 则+=(3a+4b)‎ ‎= ‎≥=,‎ 当且仅当a=-55+,b=55-时取等号.‎ ‎11.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过P作圆C的切线,设切点为M.‎ ‎(1)若点P运动到(1,3)处,求此时切线l的方程;‎ ‎(2)求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程.‎ 解 把圆C的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,‎ ‎∴圆心为C(-1,2),半径r=2.‎ ‎(1)当l的斜率不存在时,此时l的方程为x=1,‎ C到l的距离d=2=r,满足条件.‎ 当l的斜率存在时,设斜率为k,‎ 得l的方程为y-3=k(x-1),‎ 即kx-y+3-k=0,‎ 则=2,解得k=-.‎ ‎∴l的方程为y-3=-(x-1),‎ 即3x+4y-15=0.‎ 综上,满足条件的切线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.‎ ‎(2)设P(x,y),则|PM|2=|PC|2-|MC|2‎ ‎=(x+1)2+(y-2)2-4,‎ ‎|PO|2=x2+y2,∵|PM|=|PO|,‎ ‎∴(x+1)2+(y-2)2-4=x2+y2,‎ 整理,得2x-4y+1=0,‎ ‎∴点P的轨迹方程为2x-4y+1=0.‎ ‎12.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程;‎ ‎(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.‎ 解 (1)圆M的方程化为标准形式为(x-6)2+(y-7)2=25,圆心M(6,7),半径r=5,‎ 由题意,设圆N的方程为(x-6)2+(y-b)2=b2(b>0).‎ 且=b+5.‎ 解得b=1,∴圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.‎ ‎(2)∵kOA=2,∴可设l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.‎ 又|BC|=|OA|==2.‎ 由题意,圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d= ==2.‎ 即=2,解得m=5或m=-15.‎ ‎∴直线l的方程为y=2x+5或y=2x-15.‎ ‎(3)由+=,则四边形AQPT为平行四边形,‎ 又∵P,Q为圆M上的两点,∴|PQ|≤2r=10.‎ ‎∴|TA|=|PQ|≤10,即≤10,‎ 解得2-2≤t≤2+2.‎ 故所求t的取值范围为[2-2,2+2].‎ ‎13.(2018·呼伦贝尔质检)已知直线l:(m+2)x+(m-1)y+4-4m=0上总存在点M,使得过M点作的圆C:x2+y2+2x-4y+3=0的两条切线互相垂直,则实数m的取值范围是(  )‎ A.m≤1或m≥2 B.2≤m≤8‎ C.-2≤m≤10 D.m≤-2或m≥8‎ 答案 C 解析 如图,‎ 设切点分别为A,B.连接AC,BC,MC,由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及|MA|=|MB|知,四边形MACB为正方形,故|MC|==2,若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直,只需圆心(-1,2)到直线l的距离d=≤2,即m2-8m-20≤0,∴-2≤m≤10,故选C.‎ ‎14.若⊙O:x2+y2=5与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是________.‎ 答案 4‎ 解析 ⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直,如图,可知两切线分别过另一圆的圆心,∴O1A⊥OA.‎ 又∵|OA|=,|O1A|=2,∴|OO1|=5.‎ 又A,B关于OO1所在直线对称,‎ ‎∴AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍,‎ ‎∴|AB|=2×=4.‎ ‎15.已知圆O:x2+y2=9,点P为直线x+2y-9=0上一动点,过点P向圆O引两条切线PA,PB,A,B为切点,则直线AB过定点(  )‎ A. B. C.(1,2) D.(9,0)‎ 答案 C 解析 因为P是直线x+2y-9=0上的任一点,所以设P(9-2m,m),因为PA,PB为圆x2+y2=9的两条切线,切点分别为A,B,所以OA⊥PA,OB⊥PB,‎ 则点A,B在以OP为直径的圆(记为圆C)上,即AB是圆O和圆C的公共弦,‎ 易知圆C的方程是 2+2=, ①‎ 又x2+y2=9, ②‎ ‎②-①得,(2m-9)x-my+9=0,‎ 即公共弦AB所在直线的方程是(2m-9)x-my+9=0,‎ 即m(2x-y)+(-9x+9)=0,‎ 由得x=1,y=2.‎ 所以直线AB恒过定点(1,2),故选C.‎ ‎16.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A,B,以线段AB为直径的圆E上存在点P,Q,使得以PQ为直径的圆过点D,求实数t的取值范围.‎ 解 由题意可得直线AB的方程为x=y+1,与y2=4x联立消去x,可得y2-4y-4=0,显然Δ=16+16>0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y1+y2=4,y1y2=-4,‎ 设E(xE,yE),则yE==2,xE=yE+1=3,‎ 又|AB|=x1+x2+2=y1+1+y2+1+2=8,‎ 所以圆E是以(3,2)为圆心,4为半径的圆,‎ 所以点D恒在圆E外.‎ 圆E上存在点P,Q,使得以PQ为直径的圆过点D,‎ 即圆E上存在点P,Q,‎ 使得DP⊥DQ,设过D点的两直线分别切圆E于P′,Q′点,要满足题意,则∠P′DQ′≥,‎ 所以=≥,‎ 整理得t2-4t-≤0,解得2-≤t≤2+,‎ 故实数t的取值范围为.‎

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