【数学】江苏省连云港市赣榆区2020届高三高考仿真训练试题 15页

江苏省连云港市赣榆区2020届高三高考仿真训练数学试题 数学Ⅰ（必做题）‎ 一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．‎ ‎1．已知集合A＝{1,4,5}，B＝{3,4}，则A∪B＝ ▲ ．‎ ‎2．设复数z满足z(1－i)＝4 i (i为虚数单位)，则复数z的模为 ▲ ．‎ ‎3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为 ‎[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则参加英语测试的学生 人数是 ▲ ．‎ ‎4．如图所示的算法流程图，若输出y的值为，则输入x的值为 ▲ ．‎ ‎5．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课 程，则该同学恰好选中1文1理的概率为 ▲ ．‎ ‎6. 函数的定义域是 ▲ ． ‎ ‎7．已知双曲线：的焦点关于一条渐近线的对称点在轴上，则该 双曲线的离心率为 ▲ ．‎ ‎8．中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走 ‎ 里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为 ▲ ．‎ ‎9. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是 ▲ ．‎ ‎10. 已知直线经过点，则的最小值是 ▲ ．‎ ‎11.已知函数的部分图象如图所示，将函数 的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最 小值为 ▲ ．‎ ‎12.如图，扇形的半径为2，，是弧上一点，满足 ，‎ 与的交点为，那么 ▲ ．‎ ‎13. 在平面直角坐标系xoy中，已知直线：与圆C：交于A、B两点，过点A、B分别做圆C的两条切线与，直线与交于点P，则线段PC长度的最小值是 ▲ ．‎ ‎14. 已知函数 若关于的不等式的解集非 空，且为有限集，则实数的取值集合为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.‎ ‎15. (本小题满分14分)‎ 在中，角、、的对边分别为、、，且.‎ ‎（1）若，，求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面分别为棱的中点.求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）平面.‎ ‎17．(本小题满分14分)‎ 如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N，当点N在点M的下方时，称点N为点M的“下辅助点”.已知椭圆E：上的点的下辅助点为（1，﹣1）.‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若△OMN的面积等于，求下辅助点N的坐标.‎ ‎18．(本小题满分16分)‎ 如图，某城市小区有一矩形休闲广场，米，广场的一角是半径为米的扇形 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅（宽度不计），点在线段上，并且与曲线相切；另一排为单人弧形椅沿曲线（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为元，单人弧形椅的造价每米为元，记锐角，总造价为元．‎ ‎（1）试将表示为的函数，并写出的取值范围；‎ ‎（2）如何选取点的位置，能使总造价最小．‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ 已知函数，．（是自然对数的底数，e≈2.718…）‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若函数在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围；‎ ‎（3）若函数在区间(0，)上既存在极大值又存在极小值，并且 的极大值小于整数b，求b的最小值．‎ ‎20．(本小题满分16分)‎ 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记集合M＝{n|n(n＋1)≥λan，n∈N*}，若M中有3个元素，求λ的取值范围；‎ ‎（3）是否存在等差数列{bn}，使得a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1＝2n＋1－n－2对一切n∈N*都成立？若存在，求出bn；若不存在，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ 数学Ⅱ（附加题） ‎ ‎21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ B.（选修4—2：矩阵与变换）‎ 已知矩阵的一个特征值为3, 求的另一个特征值及其对应的一个特征向量.‎ C．（选修4—4：坐标系与参数方程）‎ 在极坐标系中, 为曲线上的动点, 为直线上的动点, 求的最小值.‎ ‎22. (本小题满分10分)如图，在三棱柱中，平面，，，分别为，，的中点，，．‎ ‎（1）求证：⊥；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎23. (本小题满分10分)‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）证明：对一切正整数n和一切实数，‎ 有.‎ 参考答案 ‎1. {1,3,4,5} 2. 3. 50 4． 5． ‎ ‎ 6. (0,2] 7. 8. 120 9. 10. 2‎ ‎11.. 12.2 13. 14. ‎ ‎15. 解：（1）在中，由余弦定理得，‎ ‎，即， ‎ 解得或（舍），‎ 所以；‎ ‎（2）由及得，， ‎ 所以，‎ 所以==‎ ‎16. 证明：（1）因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC， 又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，‎ 所以MN∥AB． 又平面PAB，平面PAB，所以MN∥平面PAB． ‎ ‎（2）因为AP=AD，M为PD的中点， 所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD， 又平面PAD∩平面ABCD= AD，CD⊥AD，平面ABCD，所以CD⊥平面PAD． 又平面PAD，所以CD⊥AM． 因为CD，平面PCD，，所以AM⊥平面PCD． ‎ ‎17.解：（1）∵椭圆上的点（1，）的下辅助点为（1，﹣1），‎ ‎∴辅助圆的半径为R，椭圆长半轴为a＝R，‎ 将点（1，）代入椭圆方程中，解得b＝1，.....................6分 ‎∴椭圆E的方程为；‎ ‎（2）设点N（x0，y0）（y0＜1），则点M（x0，y1）（y1＜0），将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，‎ x02+y02＝2，，故y02＝2y12，即y0y1，‎ 又S△OMNx0（y1﹣y0），则x0y1，........................10分 将x0y1与联立可解得或，‎ ‎∴下辅助点N的坐标为（，）或（，）；.....................14分 ‎18． 解：（1）过作的垂线，垂足为；过作的垂线，垂足为．‎ 在中，，则 在中，，··············4分 由题意易得 ························6分 因此， ··············7分 ‎ ···················································9分 ‎（2） ‎ 令， ，因为，所以 ，······························12分 设锐角满足， ‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增．·········································14分 所以当 ，总造价最小，最小值为，‎ 此时，，，‎ 答：当米时，能使总造价最小．········································16分 ‎19．解：（1），，令，解得，列表：‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎∴当时，函数取得极大值，无极小值…………3分 ‎（2）由，得 ‎…………5分 ‎∵，令，‎ ‎∴函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立 ‎∴，解得．………… 8分 ‎（3），‎ 令， ‎ ‎∵在上既存在极大值又存在极小值，∴在上有两个不等实根，‎ 即在上有两个不等实根．…………10分 ‎∵‎ ‎∴当时，，单调递增，当时，，单调递减 则，∴，解得，∴‎ ‎∵在上连续且 ‎∴在和上各有一个实根 ‎∴函数在上既存在极大值又存在极小值时，有，并且在区间上存在极小值，在区间上存在极大值．‎ ‎∴，且 ‎，……13分 令，当时，，单调递减 ‎∵，∴，即，则 ‎∵的极大值小于整数，∴满足题意的整数的最小值为．…………16分 ‎20.解：(1)当n＝1时，S1＝‎2a1－1，得a1＝1.‎ 当n≥2时，由Sn＝2an－1，①‎ 得Sn－1＝2an－1－1，②‎ ‎①－②，得an＝2an－1，即＝2(n≥2)．‎ 因此{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1. ‎ ‎(2)由已知可得λ≤，令f(n)＝，‎ 则f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝3，f(4)＝，f(5)＝， ‎ 下面研究f(n)＝的单调性，‎ 因为f(n＋1)－f(n)＝－＝，‎ 所以，当n≥3时，f(n＋1)－f(n)＜0，f(n＋1)＜f (n)，‎ 即f(n)单调递减. ‎ 因为M中有3个元素，所以不等式λ≤解的个数为3，所以2＜λ≤，即λ的取值范围为.‎ ‎(3)设存在等差数列{bn}使得条件成立，‎ 则当n＝1时，有a1b1＝22－1－2＝1，所以b1＝1.‎ 当n＝2时，有a1b2＋a2b1＝23－2－2＝4，所以b2＝2.‎ 所以等差数列{bn}的公差d＝1，所以bn＝n. ‎ 设S＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1，‎ S＝1·n＋2(n－1)＋22(n－2)＋…＋2n－2·2＋2n－1·1，③‎ 所以2S＝2·n＋22(n－1)＋23(n－2)＋…＋2n－1·2＋2n·1，④‎ ‎④－③，得S＝－n＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋2n ＝－n＋＝2n＋1－n－2，‎ 所以存在等差数列{bn}，且bn＝n满足题意．‎ ‎21B．解：矩阵M的特征多项式为= ……1分 ‎ 因为方程的一根，所以……………………………………3分 ‎ 由,得………………………………………… 5分 设对应的一个特征向量为,则,得……………8分 令,‎ 所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为…………10分 ‎21C．解:圆的方程可化为,所以圆心为,半径为2 …………3分 又直线方程可化为 ……………………… 5分 所以圆心到直线的距离，‎ 故 ………………………10分 ‎22.解：（1）取中点，连接，在三棱柱中，‎ 因为⊥平面，所以四边形为矩形，‎ 又分别为的中点，所以．‎ 因为．所以．‎ 又平面，则，‎ 因为，所以．‎ 如图建立空间直角坐标系．··············2分 由题意得，，，，，．‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以．··············5分 ‎（2）由（1）可得，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 所以，所以，‎ 令，则，，··············7分 所以平面的一个法向量，‎ 又因为平面的法向量为，··············8分 所以．‎ 由图可得二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．‎ ‎··············10分 ‎23.证明：‎ ‎（1）右边==左边；‎ ‎（2）①当时，左边==右边。‎ ‎②假设时，对一切实数，‎ 都有成立，‎ 那么，当时，对一切实数，‎ 有 ‎。‎ 所以，当时，等式成立。‎ 故对一切正整数和一切实数，有。‎