2019-2020学年新疆实验中学高一上学期期中数学试题（解析版） 14页

2019-2020 学年新疆实验中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 1．下列四组函数中，表示同一个函数的是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【解析】从函数的三要素入手，先判定两个函数的定义域，再判断解析式是否相同. 【详解】 对 A，第一个函数 的定义域为 ，第二个函数 的定义域为 ，故不 是同一函数； 对 B，第一个函数 的定义域为 ，第二个函数 的定义域为 ，故不 是同一函数； 对 C，第一个函数 的定义域为 ， ，第二个函数 的定义域为 ， ，解析式不同，故不是同一函数； 对 D，第一个函数 的定义域为 ， ，第二个函数 的定义域为 ， ，定义域、解析式都相同，值域也必定相同，故是同一函数； 故选：D. 【点睛】 本题考查判断两个函数是否为同一函数，实质考查函数的三要素问题，由于值域是由定 义域和解析式确定的，所以两个函数的定义域、解析式如果相同，则值域必定相同. 2．如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，对称轴为 x＝－ 1.给出下面四个结论： ①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a 2 4b ac> 1, 1,2 02 bx a ba = − − = − − = 1x = − 0y > 0a b c− + > 1x = − 2b a= 0a < 5 2a a< 5a b< { }2= 2 0M x x x− − = { }1,0N = − M N∩ { }1,0,2− { }1− { }0 ∅ M M N∩ { } { }2= 2 0 = 1,2M x x x− − = − { }1,0N = − { }1M N = − 42 6 9 3 y x x = + − − [ 3,3)x∈ − [ 3, )− +∞ ( ,3)−∞ [ 3,3]− 【答案】A 【解析】由开偶次方根的被开方数大于等于 0，分式的分母不为 0，列出不等式. 【详解】 由题意得： ， 故选：A. 【点睛】 本题考查函数定义域的求法，求解时就是列出使解析式有意义的限制条件，注意定义域 最后要写成集合或区间的形式. 5．已知函数 ，若 ，则 a 的值是（ ） A． 或 B． C． 或 或 D． 或 【答案】D 【解析】对 进行分类讨论，把方程 等价于 或 再求出 的 值. 【详解】 方程 等价于 或 解得： 或 . 故选：D. 【点睛】 本题考查已知分段函数的函数值，求参数 的值，注意对方程进行等价转换，同时注意 解出的参数值必需进行验证，防止出现增解. 6．若幂函数 的定义域为 ，则 的取值是（ ） A． B． 或 C． D． 【答案】D 【解析】根据幂函数的定义及其定义域 ，得到关于 的方程和不等式， 再对求得的 值进行验证. 【详解】 2 6 0, [ 3,3)9 3 0, x xx + ≥ ⇒ ∈ − − > 2 1, 1 , 13 x x y x x  − ≤=  > ( ) 3f a = 2 2− 2− 9 2 2− 9 2− a ( ) 3f a = 2 1, 1 3, a a ≤  − = 1, 3,3 a a > = a ( ) 3f a = 2 1, 1 3, a a ≤  − = 1, 3,3 a a > = 9a = 2a = − a 22 3( 2 2) m my m m x− + += − − { }0x R x∈ ≠ m 1 3m− ≤ ≤ 1m = − 3m = 1m = − 3m = { }0x R x∈ ≠ m m 由已知得： . 故选：D. 【点睛】 本题考查幂函数的定义及其定义域，求解时对所求得的两个值，必需验证是否满足不等 式，考查对概念的理解及基本运算求解能力. 7．已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(9，3)，则 log4f(2)的值为(　　) A． B．－ C．2 D．－2 【答案】A 【解析】【详解】 设幂函数为 f(x)＝xα，则有 3＝9α，得 ，所以 ，f(2)＝ ，所以 log4f(2)＝ log4 ＝log4 ＝ . 答案：A 8．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数奇偶性，先排除 A；再逐项判断函数单调性，即可得出结果。 【详解】 由 ，所以函数 不是奇函数；排除 A； 由 得， 是奇函数，又 是减函数，故 B 正确； 由 得， 是奇函数，但是 在定义域内不是减函数，故排除 C； 由 得， 是奇函数，又 ，显然单调递增， 排除 D； 故选 B 【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数基本性质即可，属于常考题型. 9．函数 的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2 22 3 1,2 2 1, 33 0,3 0, m mm m mm mm m  = = −− − = ⇒ ⇒ =  − − >− + + <  或 1 4 1 4 1 2 α = 1 2f(x)=x 2 2 1 44 1 4 1y x= + 3y x= − 1y x = y x x= 1 ( 1)− + ≠ − +x x 1y x= + ( )3 3− − =x x 3y x= − 3y x= − 1 1= −−x x 1y x = 1y x = − =− −x x x x y x x= 2 2 , 0 , 0 x xy x x x x  ≥= = − < ( ) 2 2xf x x= − 【答案】C 【解析】令 ，得到 ，画出 和 的图像，根据两个函数图 像交点个数，求得函数 零点个数. 【详解】 令 ，得 ，画出 和 的图像如下图所示，由图可知，两个 函数图像有 个交点，也即 有 个零点. 故选：C. 【点睛】 本小题主要考查函数零点个数的判断，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合 的数学思想方法，属于基础题. 10．已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【详解】 因为 ， ，所以由根的存在性定理可知：选 C. 【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答 ( ) 0f x = 2 2xx = 2y x= 2xy = ( )f x ( ) 0f x = 2 2xx = 2y x= 2xy = 3 ( )f x 3 ( ) 2 6 logf x xx = − ( )f x ( )0,1 ( )1,2 ( )2,4 ( )4,+∞ (2) 3 1 0f = − > 3(4) 2 02f = − < 好本类题目的关键. 11．函数 ，满足（ ） A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数 C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数 【答案】C 【解析】 奇函数； 在 上是增函数； 在 上是增函数；所以 是 增函数。故选 C 12．设常数 a∈R，集合 A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若 A∪B=R，则 a 的 取值范围为（ ） A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞） 【答案】B 【解析】试题分析：当 时， ，此时 成立，当 时， ，当 时， ，即 ，当 时， ，当 时， 恒成立，所以 的取值范围为 ，故选 B. 【考点】集合的关系 二、填空题 13．集合 ,集合 ,若 ,则实数 _________. 【答案】 【解析】解一元二次方程化简集合 的表示,再根据 可以分类求出实数 的值. 【详解】 .因为 ,所以 . ( ) ( ),f x x x x x f x− = − − = − = − 20 0,x y x≥ = ≥时， [0, )+∞ 20 0,x y x< = − <时， ( ,0)−∞ y x x x R= ∈在 a { }2 4,A x x x R= = ∈ { }4,B x kx x R= = ∈ B A⊆ k = 0,2, 2− A B A⊆ k { } { }2 4, 2,2A x x x R= = ∈ = − B A⊆ { } { } { }, 2 , 2 , 2,2B B B B= ∅ = = − = − 当 时,这时说明方程 无实根,所以 ； 当 时,这时说明 是方程 的实根,故 ； 当 时,这时说明 是方程 的实根,故 ； 因为方程 最多有一个实数根,故 不可能成立. 故答案为： 14．已知函数 则 【答案】 【解析】先求出 的值，再求 即可. 【详解】 因为函数 所以函数 ， ， 故答案为 . 【点睛】 本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析 式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因 此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现 的形式时，应从内到外依次 求值． 15．若集合 ， ，则下列结论① ； ② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中正确的结论的序号为_____________． 【答案】⑤，⑥ B = ∅ 4kx = 0k = { }2B = 2 4kx = 2 4 2k k= ⇒ = { }2B = − 2− 4kx = 2 4 2k k− = ⇒ = − 4kx = { }2,2B = - 0,2, 2− 2 3 ( 0)( ) , log ( 0) x xf x x x  ≤=  > 1 2f f    =     1 3 1 2f      1 2f f         2 3 ( 0)( ) , log ( 0) x xf x x x  ≤=  > 2 1 1log 12 2f   = = −   ( ) 11 11 32 3f f f −   = − = =     1 3 ( ( ))f f a { | 2 }xM y y= = 2{ | }N y y x= = ( ) ( ){ 2,2 , 4,16 }M N = {2,4}M N = {4,16}M N = M N= M N [0, )M N = +∞ 【解析】 ， ，①②③④均错 误，⑤⑥正确，填⑤⑥. 16．函数 的零点有两个，则实数 的取值范围是_____________. 【答案】 或 【解析】函数 的零点有两个等价于函数 的图象和直 线 有 2 个交点，再分别作两函数所对应的图像观察交点个数即可. 【详解】 解：由题意可得 的图象(红色部分)和直线 有 2 个交点，如图所示： 当函数 的图象和直线 有 2 个交点时，有 或 ， 故答案为： 或 . 【点睛】 本题考查了函数的零点问题及函数图像的作法，重点考查了数形结合的数学思想方法， 属中档题. 三、解答题 17．设 A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且 A∩B＝{2}． (1)求 a 的值及集合 A，B； (2)设全集 U＝A∪B，求(∁UA)∪(∁UB)； 【答案】（1）a＝－5，A＝ ，B＝{－5,2}．（2） 【解析】（1）根据题意，A∩B＝{2}；有 ，即 2 是 2x2＋ax＋2＝0 的根，代入可得 a＝－5，进而分别代入并解 2x2＋ax＋2＝0 与 x2＋3x＋2a＝0 可得 ； （2）根据题意，U＝A∪B，由（1）可得 ；可得全集 U，进而可得∁UA，∁UB，由并 集的定义可得∁UA)∪(∁UB)。 { }2 { 0}xM y y y y= = = > { }2 [ 0]N y y x y y= = = ≥ 2( ) 2 | |f x x x m= − − m 0m > 1m = − 2( ) 2 | |f x x x m= − − 2 2| |y x x= − y m= 2 2| |y x x= − y m= 2 2| |y x x= − y m= 0m > 1m = − 0m > 1m = − 1 22    ， 1-5 2    ， 2 A∈ ,A B ,A B 【详解】 (1)由交集的概念易得 2 是方程 2x2＋ax＋2＝0 与 x2＋3x＋2a＝0 的公共解， 则 a＝－5，此时 A＝ ，B＝{－5,2}． (2)由并集的概念易得 U＝A∪B＝ . 由补集的概念易得∁UA＝{－5}，∁UB＝ ， 所以(∁UA)∪(∁UB)＝ . 【点睛】 本题考查交并补的混合运算，是一道基础题。 18．设函数 是定义在 R 上的减函数，且对任意的 ，都有 ，已知 . （1）求证： 是奇函数； （2）解不等式 . 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】（1）利用赋值法求出 的值，再令 得到 ，从而证明 函数为奇函数； （2）利用 及 ，将 等价转化 为 ，再利用函数的单调性解不等式. 【详解】 （1）函数 是定义域为 关于原点对称， 令 得 ，所以 ， 令 得： ，所以 ， 所以 是奇函数. （2）令 ，则 ， 1 22    ， 1-5 22    ，， 1 2     1-5 2    ， ( )y f x= ,x y ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + (4) 2f = ( )y f x= (3 1) 4 ( 3)f x f x+ − > + { | 5}x x < (0)f y x= − ( ) ( )f x f x− = − (4) 2f = ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + (3 1) 4 ( 3)f x f x+ − > + (3 1) ( 11)f x f x+ > + ( )y f x= R 0x y= = (0) (0) (0)f f f= − (0) 0f = y x= − ( ) ( ) ( ) 0f x x f x f x− = + − = ( ) ( )f x f x− = − ( )y f x= 4x y= = (8) (4) (4) 2 (4) 4f f f f= + = = 所以 ， 因为函数 是定义在 R 上的减函数， 所以 ， 所以不等式的解集为 . 【点睛】 本题考查赋值法在抽象函数中的运用及利用函数的单调性解抽象不等式，考查逻辑推理 能力和运算求解能力，此类抽象不等式的解题思路一般都是转化成两边都是抽象函数， 然后利用单调性把对应关系 脱掉，再解关于 的不等式. 19．已知幂函数 为偶函数. （1）求 的解析式； （2）若函数 在区间(2,3)上为单调函数，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 或 . 【解析】（1）根据幂函数的概念和性质即可求 的解析式； （2）化简函数 ，根据 在区间 上为单调函数，利用二 次函数对称轴和区间之间的关系即可求实数 a 的取值范围. 【详解】 （1）由 f(x)为幂函数知，2m2-6m+5=1，即 m2-3m+2=0，得 m=1 或 m=2， 当 m=1 时，f(x)=x2，是偶函数，符合题意； 当 m=2 时，f(x)= ，为奇函数，不合题意，舍去. 故 f(x)= ； （2）由（1）得 ， 函数 的对称轴为 x=a-1， 由题意知函数 在(2,3)上为单调函数， ∴a-1≤2 或 a-1≥3，分别解得 a≤3 或 a≥4. 即实数 a 的取值范围为：a≤3 或 a≥4. 【点睛】 本题主要考查幂函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，要求 (3 1) 4 ( 3)f x f x+ − > + (3 1) ( 3) (8) (3 1) ( 11)f x f x f f x f x⇔ + > + + ⇔ + > + ( )y f x= 3 1 11 5x x x+ < + ⇒ < { | 5}x x < f x ( ) ( )2 12 6 5 mf x m m x += − + ( )f x ( ) ( )2 1 1y f x a x= − − + ( ) 2f x x= 3a ≤ 4a ≥ ( )f x ( ) 2( 1) 1y f x a x= − − + ( )f x (2,3) 3x 2x 2( ) 2( 1) 1 2( 1) 1y f x a x x a x= − − + = − − + ( )f x ( )f x 熟练掌握幂函数和二次函数的图象和性质，属中档题. 20．已知 ， .求： （1）计算 和 的值； （2）计算 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）将 ， 分别代入 的表达式，计算得 和 的值； （2）证明 ，再对式子进行求值. 【详解】 （1） . （2） ， 令 ， 所以 ， 两式相加得： . 【点睛】 本题考查从已知函数的表达式求式子的值，求解时注意从第一步的结论，猜测 ，再利用一般到特殊的思想，运用加法交换律求式子的值. 21．已知定义在 上的奇函数 ,当 时 . 2 2 3 1( ) 2 2 xf x x += + x∈R (2)f 1( )2f 1 1 1( ) ( ) ( ) (1) (2)2019 2018 2f f f f f+ + + + + + (2018) (2019)f f+ + 13 7,10 10 4037 2x = 1 2x = ( )f x (2)f 1( )2f 1( ) ( ) 2f x f x + = 2 2 2 2 13 ( ) 13 2 1 13 1 72(2) , ( ) 12 2 2 10 2 102 ( ) 22 f f ⋅ +⋅ += = = =⋅ + ⋅ + 2 2 2 2 2 2 13( ) 13 1 4 4 212 2 2 22( ) 2 1( ) ( ) x xxf x x x x f x + = ++ ++ = =+ ++ 1 1 1( ) ( ) ( ) (1) (2)2019 2018 2S f f f f f= + + + + + + (2018) (2019)f f+ + S = 1(2019) (2018) (2) (1) ( )2f f f f f+ + + + + 1 1( ) ( )2018 2019f f+ + + 2 4037 2 4037S S= × ⇒ = 1( ) ( ) 2f x f x + = R ( )f x 0x < 2( 1) 2f x x x= + + （1）求函数 的表达式； （2）请画出函数 的图象； （3）写出函数 的单调区间. 【答案】（1） ；（2）见解析；（3）递增区间是 ；递减区间是 【解析】（1）利用奇函数的定义求解函数的解析式． （2）利用函数的解析式画出函数的图象即可． （3）结合函数的图象，写出函数的单调区间即可． 【详解】 （1）设 又 是定义在 上的奇函数, 所以 当 时, 所以 （2）图象： （3）递增区间是 ( )f x ( )f x ( )f x ( )f x = 2 2 2 1, 0 0, 0 2 1, 0 x x x x x x x  + + <  = − + − > ( 1,0),(0,1)− ( , 1),(1, )−∞ − +∞ 20, 0, ( ) 2 1x x f x x x> − < ∴ − = − +则 ( )f x R ( ) ( )f x f x∴ − = − 2( ) 2 1,( 0)f x x x x= − + − > 0x = (0) 0f = ( )f x = 2 2 2 1, 0 0, 0 2 1, 0 x x x x x x x  + + <  = − + − > ( 1,0),(0,1)− 递减区间是 【点睛】 本题考查函数的图象以及函数的单调性的判断，函数的解析式的求法，考查计算能 力． 22．已知函数 f(x)＝－x2＋2x－3. (1)求 f(x)在区间 上的最大值 g(a)； (2) 已知 ，求 的值 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）因为 的对称轴 与区间 的位置关系不 确定，故分 ， ， 三类来讨论，确定单调性，即可求出最值。（2）由 （1）所得的 是分 3 段的分段函数，每一段都代入计算，符合每一段 的取值范围 即可保留，不符合就舍去。 【详解】 解：（1） 1）当 时， ； 2）当 时， ； 3）当 时， 综上所述： （2） ， 当 时， ，另一根不符合 ，故舍去， 当 时， ，另一跟不符合 ，故舍去， 综上 。 【点睛】 本题考查确定的二次函数在不确定的区间的上的最大值问题，将对称轴和区间的位置关 系分三类进行讨论求最大值即可，是一道中档题。 ( , 1),(1, )−∞ − +∞ [ , 1]a a + ( ) 3g a = − a 2 2 2, 0 ( ) 2,0 1 2 3, 1 a a g a a a a a − − ≤ = − < < − + − ≥ 1 2a = − 或 ( ) 2 2 3f x x x＝－ ＋ － 1x = [ , 1]a a + 1a ≥ 0 1a< < 0a ≤ ( )g a a ( ) 2 2 3.f x x x ＝－ ＋ － ∴ 1a ≥ ( ) ( ) 2 2 3f aa ag a= = − ＋ － 0 1a< < ( ) ( ) 21 3 21 2g fa = −= − =＋ － 0a ≤ ( ) ( ) 2 21) 2( 1) 31 ( 2g a f a a aa= + = − − −+ + =＋ － 2 2 2, 0 ( ) 2,0 1 2 3, 1 a a g a a a a a − − ≤ = − < < − + − ≥ ( ) 3g a = − 2( ) 2 3g a a= − − = − 1a = − 0a ≤ 2( ) 2 3 3g a a a= − + − = − 2a = 1a ≥ 1 2a = − 或