【数学】四川省泸县第五中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理） 14页

四川省泸县第五中学2019-2020学年 高二下学期期中考试（理）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数＝ ‎ A． B．﹣i C． D．i ‎3．椭圆的焦距为 ‎ A．5 B．3 C．4 D．8‎ ‎4．已知为等差数列，若，，则 ‎ A．1 B．2 C．3 D．6‎ ‎5．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：‎ 甲：7，7，8，8，10； 乙：8，9，9，9，10．‎ 若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则 ‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎6．随机变量，若，则为 ‎ A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6‎ ‎7．“直线与直线平行”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图程序框图的算法思路源于我因古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序相图，若输入分别为2，6，则输出的a等于 ‎ A．4 B．0 C．2 D．14‎ ‎10．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为 ‎ A．3 B．2 C．4 D．‎ ‎11．已知函数，若函数在上为增函数，则正实数a的取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．命题“若，则”的逆命题是_____．‎ ‎14．的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）‎ ‎15．某单位在名男职工和名女职工中，选取人参加一项活动，要求男女职工都有，则不同的选取方法总数为______.‎ ‎16．若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.‎ 三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求在上的最大值．‎ ‎18．（12分）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生7次考试的成绩．‎ 数学 ‎88‎ ‎83‎ ‎117‎ ‎92‎ ‎108‎ ‎100‎ ‎112‎ 物理 ‎94‎ ‎91‎ ‎108‎ ‎96‎ ‎104‎ ‎101‎ ‎106‎ ‎（I）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；‎ ‎（II）已知该生的物理成绩与数学成绩 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．‎ 参考公式：方差公式：，其中为样本平均数.，‎ ‎19．（12分）在等腰梯形中，，，，，将梯形沿着翻折至（如图），使得平面与平面垂直.‎ ‎（I）求与所成的角的大小；‎ ‎（II）求二面角大小的正弦值.‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心，以坐标轴为对称轴的帮圆C经过点M（2，1），N.‎ ‎（I）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（II）经过点M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆C相交于异于M点的A，B两点，当△AMB面积取得最大值时，求直线AB的方程.‎ ‎21．（12分）已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（I）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）当时，恒成立，求整数的最大值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.‎ ‎（I）当时，求与的交点的极坐标；‎ ‎（II）直线与曲线交于，两点，线段中点为，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II），，求a的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．C 2．D 3．D 4．B 5．D 6．B 7．B 8．C ‎ ‎9．C 10．A 11．B 12．A ‎13．若，则. 14． 15．. 16．‎ ‎17．(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，‎ 所以，即， ‎ 又由，则，‎ 而由切线的斜率可知，∴，即，‎ 由，解得，∴，．‎ ‎(2)由(1)知，则，‎ 令，得或，‎ 当变化时，，的变化情况如下表： ‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎1‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎8‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎4‎ ‎∴的极大值为，极小值为，‎ 又，，所以函数在上的最大值为13．‎ ‎18．（1），，‎ ‎∴，∴，从而，∴物理成绩更稳定.‎ ‎（2）由于与之间具有线性相关关系，‎ 根据回归系数公式得到，，‎ ‎∴线性回归方程为，当时，.‎ 建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高 ‎19．解：（1）在等腰梯形中过作垂线交于，由，，‎ 则，，，所以，所以，‎ 又因为平面与平面垂直，平面平面，平面.‎ 所以平面，所以，‎ 与所成的角为 ‎（2）建立如图空间直角坐标系.‎ ‎，，，，，‎ 所以，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则有，取，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则有，取，∴，‎ ‎∴二面角大小的正弦值为.‎ ‎20．解：（1）设椭圆C的方程为（，，）. ‎ ‎∵点和N在椭圆C上，∴.解得. ‎ ‎∴椭圆C的标准方程为. ‎ ‎（2）∵点A，B为椭圆上异于M的两点，且直线AM，BM的倾斜角互补，‎ ‎∴直线AM，BM，AB的斜率存在.设它们的斜率分别为，，k.‎ 设，，直线AB的方程为.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ 由，消去y，得.‎ 由，得.∴，. ‎ ‎∴.∴. ‎ ‎∴.∴，或. ∵点A，B为椭圆上异于M的两点，‎ ‎∴当时，直线AB的方程为，不合题意，舍去.‎ ‎∴直线AB的斜率为. ‎ ‎∵，点M到直线AB的距离为， ‎ ‎∴的面积为. ‎ 当且仅当时，的面积取得最大值，此时. ‎ ‎∵，满足.∴直线AB的方程为或.‎ ‎21．（1） ‎ 当时， 在上递增；当时，令，解得：‎ 在上递减，在上递增；‎ 当时， 在上递减 ‎（2）由题意得：,即对于恒成立 方法一、令，则 当时， 在上递增，且，符合题意；‎ 当时， 时，单调递增 则存在，使得，且在上递减，在上递增 ‎ ‎ 由得：‎ 又 整数的最大值为;另一方面，时，，‎ ‎，时成立 方法二、原不等式等价于：恒成立 令 ‎ 令，则 在上递增，又，‎ 存在，使得 且在上递减，在上递增 又， ‎ 又，整数的最大值为 ‎22．（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），‎ 当时，联立解得交点，‎ 当时，经检验满足两方程，（易漏解之处忽略的情况）‎ 当时，无交点；综上，曲线与直线的点极坐标为，，‎ ‎（2）把直线的参数方程代入曲线，得，‎ 可知，，‎ 所以.‎ ‎23．（1）当时，，‎ ‎①当时，，‎ 令，即，解得，‎ ‎②当时，，显然成立，所以，‎ ‎③当时，，‎ 令，即，解得，综上所述，不等式的解集为．‎ ‎（2）因为，‎ 因为，有成立，‎ 所以只需，‎ 解得，‎ 所以a的取值范围为．‎