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- 2021-06-16 发布
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专题四 三角函数
【真题典例】
4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.三角函数的概念以及同角三角函数的基本关系
1.理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义
2.理解同角三角函数的基本关系,并能够灵活运用,对三角函数进行化简,求值,证明
2018北京文,7
判断三角函数值的符号
同角三角函数基本关系式
★★☆
2017北京,12
三角函数的基本概念
两角差的余弦公式
2.三角函数的诱导公式
1.能够利用单位圆中的三角函数线推导相关的诱导公式
2.能利用诱导公式化简任意角的三角函数
2017北京文,9
利用诱导公式求值、三角函数的化简
两角和与差的三角函数公式、二倍角公式
★★★
分析解读 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式是高考考查的重点内容,常与两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式相联系,用于求值和化简,
同角三角函数的基本关系扮演着统一函数名称的角色,而诱导公式起着化简作用.本节内容常以选择题、填空题的形式出现,偶尔也会出现在解答题中,考查方式灵活,因此在高考备考中要给予重视.
破考点
【考点集训】
考点一 三角函数的概念以及同角三角函数的基本关系
1.设α∈R,则“α是第一象限角”是“sin α+cos α>1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
2.点A从(1,0)出发,沿单位圆按逆时针方向运动到点B,O为坐标原点,若点B的坐标是-35,45,记∠AOB=α,则sin 2α= .
答案 -2425
考点二 三角函数的诱导公式
3.已知sin α=513,那么sin(π-α)等于( )
A.-1213 B.-513 C.513 D.1213
答案 C
4.若角θ的终边过点P(3,-4),则tan(θ+π)=( )
A.34 B.-34 C.43 D.-43
答案 D
炼技法
【方法集训】
方法1 同角三角函数基本关系式的应用技巧
1.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tan α=34,则cos2α+2sin 2α=( )
A.6425 B.4825 C.1 D.1625
答案 A
2.已知sin(π-α)-cos(π+α)=23π2<α<π,则sin α-cos α= .
答案 43
方法2 利用诱导公式化简求值的思路和要求
3.已知tanα+π3=2,则sinα+4π3+cos2π3-αcosπ6-α-sinα+5π6= .
答案 -3
过专题
【五年高考】
A组 自主命题·北京卷题组
1.(2018北京文,7,5分)在平面直角坐标系中,AB,CD,EF,GH是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tan αb>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b
答案 C
5.(2015四川,13,5分)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是 .
答案 -1
考点二 三角函数的诱导公式
1.(2016四川,11,5分)sin 750°= .
答案 12
2.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-35,-45.
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值.
解析 (1)由角α的终边过点P-35,-45得sin α=-45,
所以sin(α+π)=-sin α=45.
(2)由角α的终边过点P-35,-45得cos α=-35,
由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.
由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
所以cos β=-5665或cos β=1665.
思路分析 (1)由三角函数的定义得sin α的值,由诱导公式得sin(α+π)的值.
(2)由三角函数的定义得cos α的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(α+β)的值,由两角差的余弦公式得cos β的值.
C组 教师专用题组
1.(2014课标Ⅰ,2,5分)若tan α>0,则( )
A.sin α>0 B.cos α>0
C.sin 2α>0 D.cos 2α>0
答案 C
2.(2011课标全国,5,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )
A.-45 B.-35 C.35 D.45
答案 B
3.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=13,则sin β= .
答案 13
4.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=22,-22,n=(sin x,cos x),x∈0,π2.
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m与n的夹角为π3,求x的值.
解析 (1)因为m⊥n,
所以m·n=22sin x-22cos x=0.
即sin x=cos x,
又x∈0,π2,
所以tan x=sinxcosx=1.
(2)易求得|m|=1,|n|=sin2x+cos2x=1.
因为m与n的夹角为π3,
所以cosπ3=m·n|m|·|n|=22sinx-22cosx1×1=12.
则22sin x-22cos x=sinx-π4=12.
又因为x∈0,π2,
所以x-π4∈-π4,π4.
所以x-π4=π6,解得x=5π12.
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019届北京一零一中学10月月考,5)“sin x=cos x+1”是“tanx2=1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
2.(2019届北京潞河中学10月月考,5)以角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,角θ的终边过点P(1,3),则tanθ-π4=( )
A.-2 B.2 C.-12 D.12
答案 D
3.(2019届北京朝阳期中,5)“α=π6”是“sin α=12”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
4.(2019届北京海淀期中,5)角θ的终边经过点P(4,y),且sin θ=-35,则tan θ=( )
A.-43 B.43 C.-34 D.34
答案 C
5.(2019届北京四中期中,7)设x∈R,定义符号函数sgn(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0.则下列等式正确的是( )
A.sin x·sgn(x)=sin|x|
B.sin x·sgn(x)=|sin x| C.|sin x|·sgn(x)=sin|x|
D.sin|x|·sgn(x)=|sin x|
答案 A
二、填空题(每小题5分,共20分)
6.(2019届北京牛栏山一中期中,12)如图,在直角坐标系xOy中,锐角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A.将角α的终边按逆时针方向旋转2π3,交单位圆于点B.若已知sin α=35,则点B的横坐标是 .
答案 -4-3310
7.(2019届北京朝阳期中,9)已知α∈-π2,0,sin α=-35,则cos α= ;tan(π+α)= .
答案 45;-34
8.(2019届北京杨镇一中10月月考,10)若tan(π+α)=3,则2cos(π-α)-3sin(π+α)4cos(-α)+sin(π+α)= .
答案 7
9.(2018北京人大附中10月月考,9)已知角α的终边经过点P(-1,3),则cos α=
答案 -1010
三、解答题(共25分)
10.(2019届北京杨镇一中10月月考,14)已知θ是第三象限角,且f(θ)=sin3π2-θcosπ2+θtan(-θ+π)tan(θ-2π)sin(-θ-π).
(1)化简f(θ);
(2)若cosθ-3π2=13,求f(θ)的值;
(3)若θ=-41π6,求f(θ)的值.
解析 (1)f(θ)=sin3π2-θcosπ2+θtan(-θ+π)tan(θ-2π)sin(-θ-π)
=-cosθ·(-sinθ)·(-tanθ)tanθ·sinθ
=-cos θ.
(2)∵cosθ-3π2=13,
∴-sin θ=13,即sin θ=-13,
∵θ是第三象限角,
∴cos θ=-1-sin2θ=-223,
∴f(θ)=-cos θ=223.
(3)∵θ=-41π6,
∴f(θ)=-cos θ=-cos-41π6=-cos41π6,
即f(θ)=-cos5π6=32.
11.(2017北京西城二模,15)已知函数f(x)=tanx+π4.
(1)求f(x)的定义域;
(2)设β∈(0,π),且f(β)=2cosβ-π4,求β的值.
解析 (1)由x+π4≠kπ+π2,k∈Z,得x≠kπ+π4,k∈Z,
所以函数f(x)的定义域是x|x≠kπ+π4,k∈Z.
(2)依题意,得tanβ+π4=2cosβ-π4,
所以sinβ+π4cosβ+π4=2sinβ+π4,
整理得sinβ+π4·2cosβ+π4-1=0,
所以sinβ+π4=0或cosβ+π4=12.
因为β∈(0,π),
所以β+π4∈π4,5π4.
由sinβ+π4=0,得β+π4=π,所以β=3π4,
由cosβ+π4=12,得β+π4=π3,所以β=π12.
所以β=π12或β=3π4.
思路分析 (1)利用正切函数的定义域求解.(2)将已知的三角恒等式进行化简,求出β+π4的三角函数值,再结合β的范围确定β的值.