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- 2021-06-16 发布
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金山中学2019学年度第一学期高二年级数学学科段考试卷
一、填空题(第1-6每题4分;第7-12每题5分)
1.与同向的单位向量为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意设,,根据模为,即可求出结果.
【详解】因为与同向,所以设,,
又为单位向量,所以,解得,
因此.
故答案为:
【点睛】本题主要考查求向量的坐标,熟记向量模的计算公式,以及向量共线的坐标表示即可,属于基础题型.
2.已知向量,,若,则_________.
【答案】
【解析】
试题分析:由于,所以,解得.
考点:向量共线坐标表示的应用.
3.已知,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先分别化简集合与集合,再求交集,即可得出结果.
【详解】因为,,
因此.
故答案为:
【点睛】本题主要考查集合的交集运算,熟记交集的概念即可,属于基础题型.
4.若向量、的夹角为,,,则______.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据向量的模的计算公式,结合题中条件,即可求出结果.
【详解】因为向量、的夹角为,,,
所以,
因此,.
故答案为:
【点睛】本题主要考查求向量的模,熟记向量的模的计算公式即可,属于基础题型.
5.已知点和向量,若,则点的坐标为_________.
【答案】
【解析】
试题分析:设点,,因此,得,得点.
考点:平面向量的坐标表示.
6.向量.若向量,则实数的值是________.
【答案】-3
【解析】
【详解】试题分析:∵,∴,又∵,∴,∴,∴
考点:本题考查了向量的坐标运算
点评:熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键,属基础题
7.在中,,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意,得到,再由,结合题中数据,即可求出结果.
【详解】因为在中,,,所以,
因此.
故答案为:
【点睛】本题主要考查向量数量积的运算,熟记数量积的运算法则即可,属于常考题型.
8.平面上不共线的四点、、、满足,则______.
【答案】4
【解析】
【分析】
先由题中条件,得到,推出,从而可得出结果.
【详解】因为,所以,
即,
因此
【点睛】本题主要考查向量的线性运算,熟记向量线性运算法则即可,属于基础题型.
9.平行四边形中,为一条对角线,若,,则______.
【答案】8
【解析】
【分析】
先由题意,得到,,求出两向量的坐标,即可得出结果.
【详解】因为平行四边形中,为一条对角线,所以,
又,,因此,
所以,
所以.
故答案为:
【点睛】本题主要考查向量数量积坐标运算,熟记平面向量的数量积运算,以及平面向量基本定理即可,属于常考题型.
10.若正方形边长为,点在线段上运动,则取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
以为坐标原点建立平面直角坐标系,设出点坐标,代入所求表达式,化简后求得表达式的取值范围.
【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示,依题意设,而,所以,函数对称轴,开口向下,故时有最小值;时,有最大值.故取值范围为.
【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.
11.已知函数,且与互为反函数,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先由与互为反函数,得到,进而可求出结果.
【详解】因为与互为反函数,
所以;
又,所以.
故答案为:
【点睛】本题主要考查由两函数互为反函数求解析式的问题,熟记反函数的概念即可,属于常考题型.
12.已知函数在定义域内恒正,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,分别讨论分子分母对应的方程是同解方程,分子分母对应的方程不是同解方程两种情况,根据二次函数性质,列出不等式的,求解,即可得出结果.
【详解】因为所给的函数分子与分母都是二次三项式,对应的函数图像都是开口向上的抛物线;
若分子分母对应的方程是同解方程,
则有,即;
若分子分母对应的方程不是同解方程,要保证函数在定义域内恒正,则需要分子分母的判别式都小于;
即,解得,即;
当,由得,函数定义域为,
则可化为,即,显然在定义域内恒成立;所以满足题意;
综上,实数的取值范围是.
故答案为:
【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题,熟记三个二次之间的关系即可,属于常考题型.
二、选择题(每题5分)
13.平面向量,共线的充要条件是( )
A. ,方向相同 B. ,两向量中至少有一个为零向量
C. , D. 存在不全为零的实数私,,
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量共线定理,即非零向量与向量共线的充要条件是必存在唯一实数,使得
成立,即可得到答案.
【详解】若均为零向量,则显然符合题意,
且存在不全为零的实数,使得;
若,则由两向量共线知,存在,使得,
即,符合题意,故选D.
【点睛】该题考查的是有关向量共线的充要条件,在解题的过程中,需要明确向量共线包括方向相同与方向相反,不一定非得有零向量,再者要注意零向量与任何向量是共线的,要理解向量共线的充要条件,即可得到结果.
14.设,,为坐标平面上三点,为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则实数,满足的关系式为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意得到,,,根据向量数量积,分别求出与在方向上的投影,进而可求出结果.
【详解】因为,,为坐标平面上三点,为坐标原点,
所以,,,
因此在方向上的投影为
;
在方向上的投影为,
又与在方向上的投影相同,
所以,即.
故选:A
【点睛】本题主要考查求向量的投影,熟记向量数量积的定义与几何意义即可,属于常考题型.
15.已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据方程有实根得到,利用向量模长关系可求得
,根据向量夹角所处的范围可求得结果.
【详解】关于的方程有实根
设与的夹角为,则
又
又
本题正确选项:
【点睛】本题考查向量夹角的求解问题,关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围,从而根据向量夹角范围得到结果.
16.已知数列,对于任意正整数,,设表示数列的前项和.下列关于的结论,正确的是( )
A. B.
C. D. 以上结论都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意,结合等比数列的求和公式,先得到当时,,再由极限的运算法则,即可得出结果.
【详解】因为数列,对于任意的正整数,,表示数列的前项和,
所以,,,… ,
所以当时,
,
因此.
故选:B
【点睛】本题主要考查数列的极限,熟记等比数列的求和公式,以及极限的运算法则即可,属于常考题型.
三、解答题:
17.如果由矩阵表示的关于,的二元一次方程组无解,求实数的值.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意,得到,,,对满足的进行讨论,即可得出结果.
【详解】由题意可得:方程组为,,
,,
当时,,方程组有无数个解;
当时,,,,方程组无解.
所以.
【点睛】本题主要考查矩阵与二元一次方程组,熟记二元一次方程组的矩阵表示即可,属于常考题型.
18.在中,边、、分别为角、、所对应的边.
(1)若,求角的大小;
(2)若,,,求的面积.
【答案】(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)先根据行列式定义得,再根据正弦定理化角为边得,最后根据余弦定理求角的大小;(2)先根据正弦定理求a,再根据两角和正弦公式求,最后根据三角形面积公式求面积.
试题解析:(1)由题意,;
由正弦定理得,∴,
∴,∴;
(2)由,,且,∴;
由,∴,
∴;
∴.
19.已知,.
(1)当时,求方程的解集;
(2)若方程有且只有一个实数解,求实数的值并解该方程.
【答案】(1)(2)当,或时,解都为-1
【解析】
【分析】
先由题意计算行列式,得到,
(1)由,将方程化为,求解,即可得出结果;
(2)根据题意,得方程有且只有一个实数解,分别讨论与两种情况,即可得出结果.
【详解】因为
,
(1)当时,方程可化为,解得,
所以方程的解集为;
(2)由题意可得,方程有且只有一个实数解,
当,即时,方程可化为,解得;
当,即时,只需,即,解得,此时方程为:,即,解得;
综上,当或时,方程的解都是.
【点睛】本题主要考查求方程的解,以及由方程根的个数求参数,熟记一元二次方程的解法,以及行列式的计算方法即可,属于常考题型.
20.某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定,购买时先支付货款的,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为.
(1)到第一个月底,货主在第一次还款之前,他欠商店多少元?
(2)假设货主每月还商店元,写出在第个月末还款后,货主对商店欠款数表达式.
(3)每月的还款额为多少元(精确到0.01元)?
【答案】(1)4020元;(2)表达式为元;(3)元
【解析】
【分析】
(1)因为购买电脑时,货主欠商店的货款,即元,又按月利率,即可求出结果;
(2)设第个月底还款后的欠款数为,根据题意,,,进而得出,整理,即可得出结果;
(3)由题意得到,由(2)的结果,即可求出结果.
【详解】(1)因为购买电脑时,货主欠商店的货款,即,
又按月利率,到第一个月底的欠款数应为元,
即到第一个月底,欠款余额为元;
(2)设第个月底还款后的欠款数为,则有,
,
,
……
整理得:;
(3)由题意可得:,所以,
因此
【点睛】本题主要考查数列的应用,熟记等比数列的求和公式,即可求解,属于常考题型.
21.在直角坐标平面中,已知点,,,…,,其中是正整数,对平面上任一点,记为关于点的对称点,为关于点的对称点,…,为关于点的对称点.
(1)求向量的坐标;
(2)当点在曲线上移动时,点的轨迹是函数的图像,其中是以3为周期的周期函数,且当时,.求以曲线为图像的函数在上的解析式;
(3)对任意偶数,用表示向量的坐标.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
【分析】
(1)先设点,由题意求出,进而得到,从而可求出向量;
(2)先由题意,得到是由曲线按向量平移得到的;根据图像变换,以及函数周期,即可得出结果;
(3)先由为关于点的对称点,为关于点的对称点,得到,再由向量的运算法则,结合向量的坐标表示,以及等比数列的求和公式,即可求出结果.
【详解】(1)设点,因为为关于点的对称点,所以,
又为关于点的对称点,
所以,即,
因此;
(2)由(1),
因为点在曲线上移动时,点轨迹是函数的图像,
所以的图像由曲线向右平移个单位,再向上平移个单位得到,
因此,设曲线是函数的图像,因为是以3为周期的周期函数,
所以也是以为周期周期函数,
当时,,
所以当时,;
于是,当时,;
(3)由题意,为关于点的对称点,为关于点的对称点.
所以在中,为的中点,为的中点,
所以,
因此,
.
【点睛】本题主要考查平面向量的综合,熟记平面向量基本定理、向量的线性运算、向量的坐标表示,以及等比数列的求和公式即可,属于常考题型.