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  • 2021-06-16 发布

上海市金山中学2019-2020学年高二上学期9月月考数学试题

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金山中学2019学年度第一学期高二年级数学学科段考试卷 一、填空题(第1-6每题4分;第7-12每题5分)‎ ‎1.与同向的单位向量为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意设,,根据模为,即可求出结果.‎ ‎【详解】因为与同向,所以设,,‎ 又为单位向量,所以,解得,‎ 因此.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查求向量的坐标,熟记向量模的计算公式,以及向量共线的坐标表示即可,属于基础题型.‎ ‎2.已知向量,,若,则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由于,所以,解得.‎ 考点:向量共线坐标表示的应用.‎ ‎3.已知,,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别化简集合与集合,再求交集,即可得出结果.‎ ‎【详解】因为,,‎ 因此.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算,熟记交集的概念即可,属于基础题型.‎ ‎4.若向量、的夹角为,,,则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的模的计算公式,结合题中条件,即可求出结果.‎ ‎【详解】因为向量、的夹角为,,,‎ 所以,‎ 因此,.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查求向量的模,熟记向量的模的计算公式即可,属于基础题型.‎ ‎5.已知点和向量,若,则点的坐标为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设点,,因此,得,得点.‎ 考点:平面向量的坐标表示.‎ ‎6.向量.若向量,则实数的值是________.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:∵,∴,又∵,∴,∴,∴‎ 考点:本题考查了向量的坐标运算 点评:熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键,属基础题 ‎7.在中,,,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意,得到,再由,结合题中数据,即可求出结果.‎ ‎【详解】因为在中,,,所以,‎ 因此.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查向量数量积的运算,熟记数量积的运算法则即可,属于常考题型.‎ ‎8.平面上不共线的四点、、、满足,则______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题中条件,得到,推出,从而可得出结果.‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 即,‎ 因此 ‎【点睛】本题主要考查向量的线性运算,熟记向量线性运算法则即可,属于基础题型.‎ ‎9.平行四边形中,为一条对角线,若,,则______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意,得到,,求出两向量的坐标,即可得出结果.‎ ‎【详解】因为平行四边形中,为一条对角线,所以,‎ 又,,因此,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查向量数量积坐标运算,熟记平面向量的数量积运算,以及平面向量基本定理即可,属于常考题型.‎ ‎10.若正方形边长为,点在线段上运动,则取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为坐标原点建立平面直角坐标系,设出点坐标,代入所求表达式,化简后求得表达式的取值范围.‎ ‎【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示,依题意设,而,所以,函数对称轴,开口向下,故时有最小值;时,有最大值.故取值范围为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.‎ ‎11.已知函数,且与互为反函数,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由与互为反函数,得到,进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为与互为反函数,‎ 所以;‎ 又,所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查由两函数互为反函数求解析式的问题,熟记反函数的概念即可,属于常考题型.‎ ‎12.已知函数在定义域内恒正,则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,分别讨论分子分母对应的方程是同解方程,分子分母对应的方程不是同解方程两种情况,根据二次函数性质,列出不等式的,求解,即可得出结果.‎ ‎【详解】因为所给的函数分子与分母都是二次三项式,对应的函数图像都是开口向上的抛物线;‎ 若分子分母对应的方程是同解方程,‎ 则有,即;‎ 若分子分母对应的方程不是同解方程,要保证函数在定义域内恒正,则需要分子分母的判别式都小于;‎ 即,解得,即;‎ 当,由得,函数定义域为,‎ 则可化为,即,显然在定义域内恒成立;所以满足题意;‎ 综上,实数的取值范围是.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题,熟记三个二次之间的关系即可,属于常考题型.‎ 二、选择题(每题5分)‎ ‎13.平面向量,共线的充要条件是( )‎ A. ,方向相同 B. ,两向量中至少有一个为零向量 C. , D. 存在不全为零的实数私,,‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量共线定理,即非零向量与向量共线的充要条件是必存在唯一实数,使得 成立,即可得到答案.‎ ‎【详解】若均为零向量,则显然符合题意,‎ 且存在不全为零的实数,使得;‎ 若,则由两向量共线知,存在,使得,‎ 即,符合题意,故选D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关向量共线的充要条件,在解题的过程中,需要明确向量共线包括方向相同与方向相反,不一定非得有零向量,再者要注意零向量与任何向量是共线的,要理解向量共线的充要条件,即可得到结果.‎ ‎14.设,,为坐标平面上三点,为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则实数,满足的关系式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到,,,根据向量数量积,分别求出与在方向上的投影,进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为,,为坐标平面上三点,为坐标原点,‎ 所以,,,‎ 因此在方向上的投影为 ‎;‎ 在方向上的投影为,‎ 又与在方向上的投影相同,‎ 所以,即.‎ 故选:A ‎【点睛】本题主要考查求向量的投影,熟记向量数量积的定义与几何意义即可,属于常考题型.‎ ‎15.已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方程有实根得到,利用向量模长关系可求得 ‎,根据向量夹角所处的范围可求得结果.‎ ‎【详解】关于的方程有实根 ‎ 设与的夹角为,则 又 ‎ 又 ‎ 本题正确选项:‎ ‎【点睛】本题考查向量夹角的求解问题,关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围,从而根据向量夹角范围得到结果.‎ ‎16.已知数列,对于任意正整数,,设表示数列的前项和.下列关于的结论,正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. 以上结论都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,结合等比数列的求和公式,先得到当时,,再由极限的运算法则,即可得出结果.‎ ‎【详解】因为数列,对于任意的正整数,,表示数列的前项和,‎ 所以,,,… ,‎ 所以当时,‎ ‎,‎ 因此.‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查数列的极限,熟记等比数列的求和公式,以及极限的运算法则即可,属于常考题型.‎ 三、解答题:‎ ‎17.如果由矩阵表示的关于,的二元一次方程组无解,求实数的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意,得到,,,对满足的进行讨论,即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意可得:方程组为,,‎ ‎,,‎ 当时,,方程组有无数个解;‎ 当时,,,,方程组无解.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查矩阵与二元一次方程组,熟记二元一次方程组的矩阵表示即可,属于常考题型.‎ ‎18.在中,边、、分别为角、、所对应的边.‎ ‎(1)若,求角的大小;‎ ‎(2)若,,,求的面积.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)先根据行列式定义得,再根据正弦定理化角为边得,最后根据余弦定理求角的大小;(2)先根据正弦定理求a,再根据两角和正弦公式求,最后根据三角形面积公式求面积.‎ 试题解析:(1)由题意,; ‎ 由正弦定理得,∴, ‎ ‎∴,∴;‎ ‎(2)由,,且,∴; ‎ 由,∴,‎ ‎∴; ‎ ‎ ∴.‎ ‎19.已知,.‎ ‎(1)当时,求方程的解集;‎ ‎(2)若方程有且只有一个实数解,求实数的值并解该方程.‎ ‎【答案】(1)(2)当,或时,解都为-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意计算行列式,得到,‎ ‎(1)由,将方程化为,求解,即可得出结果;‎ ‎(2)根据题意,得方程有且只有一个实数解,分别讨论与两种情况,即可得出结果.‎ ‎【详解】因为 ‎,‎ ‎(1)当时,方程可化为,解得,‎ 所以方程的解集为;‎ ‎(2)由题意可得,方程有且只有一个实数解,‎ 当,即时,方程可化为,解得;‎ 当,即时,只需,即,解得,此时方程为:,即,解得;‎ 综上,当或时,方程的解都是.‎ ‎【点睛】本题主要考查求方程的解,以及由方程根的个数求参数,熟记一元二次方程的解法,以及行列式的计算方法即可,属于常考题型.‎ ‎20.某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定,购买时先支付货款的,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为.‎ ‎(1)到第一个月底,货主在第一次还款之前,他欠商店多少元?‎ ‎(2)假设货主每月还商店元,写出在第个月末还款后,货主对商店欠款数表达式.‎ ‎(3)每月的还款额为多少元(精确到0.01元)?‎ ‎【答案】(1)4020元;(2)表达式为元;(3)元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)因为购买电脑时,货主欠商店的货款,即元,又按月利率,即可求出结果;‎ ‎(2)设第个月底还款后的欠款数为,根据题意,,,进而得出,整理,即可得出结果;‎ ‎(3)由题意得到,由(2)的结果,即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)因为购买电脑时,货主欠商店的货款,即,‎ 又按月利率,到第一个月底的欠款数应为元,‎ 即到第一个月底,欠款余额为元;‎ ‎(2)设第个月底还款后的欠款数为,则有,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎……‎ 整理得:;‎ ‎(3)由题意可得:,所以,‎ 因此 ‎【点睛】本题主要考查数列的应用,熟记等比数列的求和公式,即可求解,属于常考题型.‎ ‎21.在直角坐标平面中,已知点,,,…,,其中是正整数,对平面上任一点,记为关于点的对称点,为关于点的对称点,…,为关于点的对称点.‎ ‎(1)求向量的坐标;‎ ‎(2)当点在曲线上移动时,点的轨迹是函数的图像,其中是以3为周期的周期函数,且当时,.求以曲线为图像的函数在上的解析式;‎ ‎(3)对任意偶数,用表示向量的坐标.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先设点,由题意求出,进而得到,从而可求出向量;‎ ‎(2)先由题意,得到是由曲线按向量平移得到的;根据图像变换,以及函数周期,即可得出结果;‎ ‎(3)先由为关于点的对称点,为关于点的对称点,得到,再由向量的运算法则,结合向量的坐标表示,以及等比数列的求和公式,即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)设点,因为为关于点的对称点,所以,‎ 又为关于点的对称点,‎ 所以,即,‎ 因此;‎ ‎(2)由(1),‎ 因为点在曲线上移动时,点轨迹是函数的图像,‎ 所以的图像由曲线向右平移个单位,再向上平移个单位得到,‎ 因此,设曲线是函数的图像,因为是以3为周期的周期函数,‎ 所以也是以为周期周期函数,‎ 当时,,‎ 所以当时,;‎ 于是,当时,;‎ ‎(3)由题意,为关于点的对称点,为关于点的对称点.‎ 所以在中,为的中点,为的中点,‎ 所以,‎ 因此,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的综合,熟记平面向量基本定理、向量的线性运算、向量的坐标表示,以及等比数列的求和公式即可,属于常考题型.‎ ‎ ‎