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- 2021-06-16 发布
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辽河油田第二高中高一期中考试
数学试卷
(时间:120 分钟,满分:150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)
1. 已知实数集 R,集合 A={x|1<x<3},集合 B={x|y= },则 =( )
A. B.
C. D.
2. 已知 是奇函数,当 时 ,当 时, 等于
A. B. C. D.
3.命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( )
A.所有奇数的立方不是奇数
B.不存在一个奇数,它的立方是偶数
C.存在一个奇数,它的立方是偶数
D.不存在一个奇数,它的立方是奇数
4.方程 2x+x=2 的解所在区间是( )
A. B. C. D.
5.已知函数 y= ,若 f(a)=10,则 a 的值是( )
A. 3 或 B. 或 5 C. D. 3 或 或 5
6.如图所示,可表示函数图象的是
A. B. C. D.
7.若 , ,则( ).
A. B.
C. D.
8.已知 的定义域为 , 的定义域为( )
A. B. C. D.
9.已知 p:(x-1)(x-2)≤0,q:log2(x+1)≥1,则 p 是 q 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.若函数 f(x)=()
3a-1x+4a,x<1,
-ax,x ≥ 1 是定义在 R 上的减函数,则 a 的取值范围为( )
A. (-∞,
1
8]∪[
1
3,+∞) B.(0,
1
3 )
C.[
1
8,+∞) D.[
1
8,
1
3)
11.如果关于 x 的不等式 x2<ax+b 的解集是{x|1<x<3},那么 等于( )
A. B. 81 C. D. 64
12.已知 ,函数 的最小值是
A. 5 B. 4 C. 6 D. 8
二、填空题(本大题共 3 小题,共 15.0 分)
13.已知函数 f(x)=ax2+(b-3)x+3,x∈[a2-2,a]是偶函数,则
a+b=______.
14.函数 f(x)= +4 的图象恒过定点 P,则 P 点坐标是______.
15.不等式 <4 的解集为______ .
16.函数 的单调增区间为_________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分)
17.(1)计算:2log32-log3 +log38- ;
(2) -(-7.8)0- +( )-2.
18.设集合 A={x| -3x+2=0},B={x| +2(a+1)x+( -5)=0}.
(1)若 A∩B={2},求实数 a 的值;
(2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围.
19.已知函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象经过点 .
(1)比较 f(3)与 f(b2+2b+4)的大小;
(2)求函数 g(x)= (x≥0)的值域.
20.已知 f(x)= ,x∈(-2,2)
(1)判断 f(x)的奇偶性并说明理由;
(2)求证:函数 f(x)在(-2,2)上是增函数;
(3)若 f(2+a)+f(1-2a)>0,求实数 a 的取值范围.
21.设关于 x 的不等式|x-a|<2 的解集为 A,不等式 <1 的解集为 B。
(Ⅰ)求集合 A,B;
(Ⅱ)若 A⊆B,求实数 a 的取值范围。
22.近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视,某企业现有设备下每日生产总成本 单位:
万元 与日产量 单位:吨 之间的函数关系式为 ,
现为了配合环境卫生综合整治,该企业引进了除尘设备,每吨产品除尘费用为 k 万元,除尘
后当日产量 时,总成本 .
(1)求 k 的值;
(2)若每吨产品出厂价为 48 万元,试求除尘后日产量为多少时,每吨产品的利润最大,最
大利润为多少?
答案和解析
1.【答案】A 2.【答案】A 3.【答案】C 4.【答案】A 5.【答案】B
6.【答案】C 7.【答案】B 8.【答案】B 9.【答案】A 10.【答案】D
11.【答案】B 12.【答案】C
13.【答案】4 14.【答案】(1,5) 15.【答案】(-1,2)16.(-∞,1].
17.【答案】(1)解:原式= - =2-32=-7.
(2)解:原式= -1- +
= -1- + = .
18.解:由 x2-3x+2=0,得 x=1 或 x=2,故 A={1,2},
(1)因为 A∩B={2},所以 2∈B,
代入 B 中的方程,得 a2+4a+3=0,
所以 a=-1 或 a=-3,
当 a=-1 时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;
当 a=-3 时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件.
综上,a 的值为-1 或-3;
(2)对于集合 B,△=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3),
因为 A∪B=A,所以 B A,
①当△<0,即 a<-3 时, ,满足条件;
②当△=0,即 a=-3 时,B={2}满足条件;
③当△>0,即 a>-3 时,B={1,2},才能满足条件,
则由根与系数的关系得
即 矛盾.
综上,a 的取值范围是(-∞,-3].
19.【答案】解:(1)由已知得:a3= ,解得:a= ,
∵f(x)= 在 R 上递减,2≤b2+2,
∴f(2)≥f(b2+2);
(2)∵x≥0,∴x2-2x≥-1,
∴ ≤3,
故 g(x)的值域是(0,3].
19.【答案】解:(1)函数 f(x)= 是定义域(-2,2)上的奇函数,
任取 x∈(-2,2),有 f(-x)= =- =-f(x),
所以 f(x)是定义域(-2,2)上的奇函数; …5 分
(2)证明:设 x1,x2 为区间(-2,2)上的任意两个值,
且 x1<x2,则
= ;…8 分
因为-2<x1<x2<2,
所以 x2-x1>0,x1x2-4<0,
即 f(x1)-f(x2)<0;
所以函数 f(x)在(-2,2)上是增函数; …10 分
(3)因为 f(x)为奇函数,
所以由 f(2+a)+f(1-2a)>0,
得 f(2+a)>-f(1-2a)=f(2a-1),
又因为函数 f(x)在(-2,2)上是增函数,
所以 ;…13 分
解得 ,
即实数 a 的取值范围是(- ,0).…15 分.
21.(Ⅰ)∵|x-a|<2
∴-2<x-a<2
∴a-2<x<a+2
∴A={x|a-2<x<a+2}
∵ <1
∴ <0
∴(x+2)(x-3)<0
∴-2<x<3
∴B={x|-2<x<3}
(Ⅱ)∵A⊆B
∴a-2≥-2
a+2≤3
∴0≤a≤1
即 a 取值范围为[0,1]
22.解:(1)由题意,除尘后
y=2x2+(15-4k)x+120k+8+kx
=2x2+(15-3k)x+120k+8,
∵当日产量 x=1 时,总成本 y=142,代入计算得 k=1;
(2)由(1)y=2x2+12x+128,
总利润 L=48x-(2x2+12x+128)=36x-2x2-128,(x>0)
每吨产品的利润= =36-2(x+ )≤36-4 =4,
当且仅当 x= ,即 x=8 时取等号,
∴除尘后日产量为 8 吨时,每吨产品的利润最大,最大利润为 4 万元.