河北省张家口第一中学2019-2020学年高二（实验班）9月月考数学试题 19页

张家口市第一中学高二年级9月月考 数学试卷（实验班）‎ 一：选择题。‎ ‎1.设，则“”是“” 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.‎ 详解：求解不等式可得，‎ 求解绝对值不等式可得或，‎ 据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2.从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10名学生作代表，学生的编号从00到99，若第一组中抽到的号码是03，则第三组中抽到的号码是(    )‎ A. 22 B. ‎23 ‎C. 32 D. 33‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题中条件，确定分组间隔，再由第一组抽到的号码，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10名学生作代表，‎ 所以分组间隔为，‎ 又第一组中抽到的号码是03，‎ 所以第三组中抽到的号码是.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查系统抽样，熟记系统抽样特征即可，属于常考题型.‎ ‎3.设是直线，，是两个不同的平面（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面平行,垂直和面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.‎ ‎【详解】对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α＝m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．‎ 故选:B．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．‎ ‎4.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）　　‎ 注：90后指1990年及以后出生，80后指年之间出生，80前指1979年及以前出生．‎ A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合两图对每一个选项逐一分析得解.‎ ‎【详解】对于选项A, 互联网行业从业人员中后占56%，占一半以上，所以该选项正确；‎ 对于选项B, 互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的,超过总人数的，所以该选项正确；‎ 对于选项C, 互联网行业中从事运营岗位的人数后占总人数的，比前多，所以该选项正确.‎ 对于选项D, 互联网行业中从事运营岗位的人数后占总人数的，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数后不一定比后多.所以该选项不一定正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查饼状图和条形图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.如图正方体的棱长为a，以下结论不正确的是（　　）‎ A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与垂直 C. 直线与平行 D. 三棱锥的体积为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，建立空间直角坐标系．利用正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出．‎ ‎【详解】如图所示，建立空间直角坐标系．‎ A．A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B1（a，a，a）．‎ ‎∴（﹣a，0，﹣a），（0，a，a），‎ ‎∴，‎ ‎∴异面直线A1D与AB1所成的角为60°．‎ B．C1（0，a，a），B（a，a，0）．‎ ‎（﹣a，0，﹣a）•（﹣a，0，a）＝a2﹣a2＝0．‎ ‎∴直线A1D与BC1垂直．‎ C．D1（0，0，a）．‎ ‎∵（﹣a，0，﹣a）•（﹣a，﹣a，a）＝a2﹣a2＝0，∴直线A1D与BD1垂直，不平行；‎ D．三棱锥A﹣A1CD的体积．‎ 综上可知：只有C不正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎6.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用表示下雨，从下列随机数表的第行第列的开始读取，直到读取了组数据，‎ ‎18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 ‎ ‎55 23 64 05 05 26 62 38 97 75 34 16 07 44 99 83 11 46 32 24‎ 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知模拟三天恰有两天下雨的结果，观察经随机模拟产生的数据，用列举法找出表示三天中恰有两天下雨的数据，再由古典概型的概率公式即可求解.‎ ‎【详解】由题意知模拟三天恰有两天下雨的结果，观察经随机模拟产生的数据可得，表示三天中恰有两天下雨的数据有：4 17，3 86，19 6，2 06，共4组数据，‎ 所以这三天中恰有两天下雨的概率.‎ ‎【点睛】本题主要考查模拟方法估计概率，属于基础题型.‎ ‎7.已知点A（2，-3），B（-3，-2），直线l方程为mx+y-m-1=0，且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围为（　　）‎ A. 或 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出、‎ 的斜率，从而得出的斜率的取值范围．‎ ‎【详解】解：∵直线l的方程mx+y-m-1=0可化为 m（x-1）+y-1=0，‎ ‎∴直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，如图所示；‎ 则直线PA的斜率是kPA=-4，‎ 直线PB的斜率是kPB=，‎ 则直线l与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是 k≤-4或k≥．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目．‎ ‎8.从点向圆作切线，当切线长最短时的值为（　　）‎ A. B. ‎0 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定圆心与半径，利用切线长最短时，CP最小，可得结论．‎ ‎【详解】设圆心为C，圆x2+y2﹣2mx﹣2y+m2＝0，可化为圆（x﹣m）2+（y﹣1）2＝1，圆心C（m，1），半径为1，‎ 切线长最短时，CP最小，CP，‎ ‎∴m＝2时，CP最小，切线长最短．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查圆的切线，考查学生的计算能力，利用切线长最短时，CP最小是关键．‎ ‎9.一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最短路程是 A. B. C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由反射定律得点A（-1，1）关于x轴的对称点B（-1，-1）在反射光线上，当反射光线过圆心（2，3）时，最短距离为|BC|-R=‎ 故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为4．‎ 故选C．‎ 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎10.三棱锥中，平面，且，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 作的外接圆，过点C作外接圆的直径CM，连接PM，则PM为三棱锥P-ABC的外接球的直径，如图所示;‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 又 平面 ‎∴ ‎ ‎∴ ，即 ‎∴ ,故选D.‎ ‎11.在中，内角所对的边分别为，若，则（ ）‎ A. 成等差数列 B. 成等比数列 C. 成等差数列 D. 成等比数列 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由得，所以，即，由正弦定理得．故选B．‎ 考点：两角和与差的正弦公式，正弦定理，等比数列的判断．‎ ‎12.已知菱形ABCD的边长为4，，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积进行求解即可．‎ ‎【详解】分别以A，B，C，D圆心，1为半径作圆，‎ 则概率对应的面积为阴影部分，‎ 则四个圆在菱形内的扇形夹角之和为2π，‎ 则对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积S＝π×12＝π，‎ ‎∵S菱形ABCD＝AB•BCsin4×48，‎ ‎∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S空白＝8﹣π×12＝8﹣π．‎ 因此，该点到四个顶点距离大于1的概率P，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键．‎ 二、填空题。‎ ‎13.给出下列命题：‎ ‎①命题“若x2=1，则x=‎1”‎的否命题为“若x2=1，则x≠‎1”‎；‎ ‎②“x=‎-1”‎是“x2-5x-6=‎0”‎的必要不充分条件；‎ ‎③命题“∃x∈R，使得x2+x-1＜‎0”‎的否定是：“∀x∈R，均有x2+x-1＞‎0”‎；‎ ‎④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．‎ 其中所有正确命题的序号是______ ．‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断．‎ ‎【详解】①根据否命题的定义可知命题“若x2＝1，则x＝‎1”‎的否命题为“若x2≠1，则x≠‎1”‎，所以①错误．‎ ‎②由x2﹣5x﹣6＝0得x＝﹣1或x＝6，所以“x＝﹣‎1”‎是“x2﹣5x﹣6＝‎0”‎的充分不必要条件，所以②错误．‎ ‎③根据特称命题的否定是全称命题得命题“∃x∈R，使得x2+x﹣1＜‎0”‎的否定是：“∀x∈R，均有x2+x﹣1≥‎0”‎，所以③错误．‎ ‎④因为原命题正确，根据逆否命题和原命题为等价命题可知命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题，所以④正确．‎ 故答案为：④．‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．‎ ‎14.在某次飞镖集训中，甲乙丙三人10次飞镖成绩的条形图如下所示，则他们三人中成绩最稳定的是__________．‎ ‎【答案】丙 ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，分析条形图中的数据，知；‎ 丙图中的数据都分布在8附近，成单峰分布，最稳定；‎ 甲乙两图中的数据较分散些 考点：极差、方差与标准差 ‎15.一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．‎ ‎【答案】0.2‎ ‎【解析】‎ ‎∵A＝“摸出红球或白球”与B＝“摸出黑球”是对立事件，且P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C＝“摸出红球或黑球”与D＝“摸出白球”是对立事件，且P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38. 设事件E＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2.‎ 考点：互斥事件的概率.‎ ‎16.某电视台每天11:30—12:00播放“中国梦”主题的纪录片，在此期间会随机播放一次4分钟完整的有关中国梦的歌曲，小张从11:43开始观看该电视台的这档节目，则他听到完整的有关中国梦歌曲的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用测度比为长度比求解．‎ ‎【详解】由题意：要使每天11:30—12:00播放纪录片时，能播放一次4分钟完整的有关中国梦的歌曲，则开始播放歌曲的时间应在11:30—11:56的任意时刻，共26分钟，‎ 小张从11:43开始观看，若他听到完整的歌曲，则开始播放歌曲的时间应在11:43—11:56的任意时刻，共13分钟，‎ 由几何概型概率可得概率为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型概率的求法及应用，是基础的计算题．‎ 三、解答题。‎ ‎17.节能减排以来，兰州市100户居民的月平均用电量单位：度，以分组的频率分布直方图如图．‎ 求直方图中x的值；求月平均用电量的众数和中位数；‎ 估计用电量落在中的概率是多少？‎ ‎【答案】（1）5；（2）众数为，中位数为224；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 由频率分布直方图中所有的小长方形的面积和为1得到关于的方程，解方程可得所求；‎ 由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得结果；分析可得中位数在内，设中位数为a，解方程 可得a的值，即为中位数；‎ 月平均用电量在中的概率是．‎ 试题解析：‎ 由频率分布直方图的性质可得，‎ ‎ ，‎ 解得5．‎ 由频率分布直方图可知，最高矩形的数据组为，‎ 故众数为．‎ 的频率之和为 ，‎ 的频率之和为 ，‎ ‎∴中位数在设中位数为y，‎ 则 ‎ 解得 故中位数为224．‎ ‎ 由频率分布直方图可知，月平均用电量在中的概率是 ‎．‎ 点睛：利用频率分布直方图估计样本的数字特征 ‎(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．‎ ‎(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．‎ ‎(3)众数：最高矩形的中点的横坐标．‎ ‎18.已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．‎ 若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ 若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若为真命题，则应有，解得实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，则，应一真一假，进而实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）若为真命题，则应有，解得； ‎ ‎（2）若为真命题，则有，即，‎ 因为为真命题，为假命题， ‎ 则，应一真一假.‎ ‎①当真假时，有，得；‎ ‎②当假真时，有，无解，综上，的取值范围是.‎ ‎19.如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．‎ ‎（1）求证：CD⊥AP；‎ ‎（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB；‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由平面，得到，由，进而证得平面，即可证明；‎ ‎（2）首先证得平面，平面，得到，利用直线与平面平行的判定定理，即可证得结论。‎ ‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，‎ 所以AD⊥AP．又因为AP⊥AB ，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，‎ 所以AP⊥平面ABCD． 因为CD⊂平面ABCD，‎ 所以CD⊥AP． ‎ ‎（2）因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，‎ 所以CD⊥平面PAD． ① ‎ 因为AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，‎ 所以AB⊥AD． ‎ 又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ 所以AB⊥平面PAD． ② ‎ ‎ 由①②得CD∥AB， ‎ 因为CD平面PAB，AB⊂平面PAB，‎ 所以CD∥平面PAB． ‎ ‎20.已知圆过两点，且圆心在直线上 ‎（1）求圆的方程 ‎（2）若直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程 ‎【答案】(1);(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把点、的坐标代入圆的标准方程，圆心坐标代入直线，利用待定系数法求得系数的值； （2）分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况． ①当直线的斜率不存在时，满足题意，易得直线方程；    ②当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的方程为：，由点到直线的距离公式求得的值．‎ ‎【详解】(1)设圆的圆心坐标为，半径为 设圆的方程为 由题意可得 ‎ 所以圆方程为.‎ ‎（2）因为直线经过点，且被圆截得的线段长为 ‎ 圆心到直线的距离为 ‎ 当直线的斜率不存在时，的方程为 （8分）‎ 此时圆心到直线的距离恰好为2，符合条件 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 则圆心到直线的距离为 ‎ 即 此时直线的方程为 （11分）‎ 综上所述直线的方程为或 ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．‎ ‎21.（2015新课标全国Ⅰ理科）Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，.‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列{bn}的前n项和.‎ ‎【答案】（1）an=2n+1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由+2an=4Sn+3，可知+2an+1=4Sn+1+3.‎ 可得+2(an+1−an)=4an+1，即2(an+1+an)==(an+1+an)(an+1−an)‎ 由于an>0，可得an+1−an=2.‎ 又+‎2a1=‎4a1+3，解得a1=−1(舍去)或a1=3.‎ 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an=2n+1.‎ ‎（2）由an=2n+1可知 bn=().‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn=b1+b2+…+bn ‎=[()+()+…+()]‎ ‎=.‎ ‎【名师点睛】本题考查了利用an与Sn的关系求数列的通项公式以及裂项相消法求和，考查考生解决问题以及探究问题的能力.首先利用an与Sn的关系an=Sn−Sn−1(n≥2)推导出数列{an}的通项公式，然后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和即可.‎ 求解有关数列的综合题，首先要善于从宏观上整体把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后从微观上明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨性.‎ 数列问题对能力的要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力.近几年高考加强了对数列推理能力的考查，应引起重视.‎ ‎22.扇形AOB中心角为，所在圆半径为，它按如图(Ⅰ)(Ⅱ)两种方式有内接矩形CDEF．‎ ‎(1)矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设；‎ ‎(2)点M是圆弧AB的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设；‎ 试研究(1)(2)两种方式下矩形面积的最大值，并说明两种方式下哪一种矩形面积最大？‎ ‎【答案】方式一最大值 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：(1)运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用；（2）重视三角函数的三变：三变指变角、变名、变式；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等，适当选择公式进行变形；（3）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性、最值和对称性.‎ 试题解析： 解（1）在中，设，则 又 当即时，‎ ‎（Ⅱ）令与的交点为，的交点为，则，‎ 于是，又 当即时，取得最大值.‎ ‎,（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式下矩形面积的最大值为方式一：‎ 考点：把实际问题转化为三角函数求最值问题.‎