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- 2021-06-16 发布
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2018-2019学年山西省大同市灵丘县高一下学期期中数学试题
一、单选题
1.,则=
A.2 B.1 C.3 D.4
【答案】A
【解析】将原式的分子分母同时除以,化为关于的三角式求解.
【详解】
将原式的分子分母同时除以,得到:;
故答案选A
【点睛】
本题考查同角三角函数关系,考查学生转化计算能力,属于基础题.
2.已知向量,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知向量的坐标运算直接求得的坐标.
【详解】
∵向量(-2,﹣1),(3,2),
∴.
故选C.
【点睛】
本题考查了向量坐标的运算及数乘运算,属于基础题.
3.( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】
.
故选:A.
【点睛】
本题考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值,需熟记诱导公式以及常见的三角函数值,属于基础题.
4.已知点是角终边上一点,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用三角函数的定义即可求解.
【详解】
由三角函数的定义可得,
解得,又,得.
故选:B.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义,掌握余弦函数的定义是解题的关键,属于基础题.
5.函数在区间上的零点个数为( )
A.0 B.3 C.1 D.2
【答案】D
【解析】根据零点与方程根的关系,令,解方程即可求解.
【详解】
令,
解得,即.
∵,∴,;,.
故选:D.
【点睛】
本题主要了三角函数的值求角、函数零点的定义,属于基础题.
6.如图,在中,是的中点,若,则实数的值是( )
A. B.1 C. D.
【答案】C
【解析】以 作为基底表示出,利用平面向量基本定理,即可求出.
【详解】
∵分别是的中点,
∴.
又,∴.故选C.
【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算,意在考查学生的逻辑推理能力.
7.函数的部分图象如图所示,则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由图像求出周期再根据可得,再由,代入可求,进而可求出解析式.
【详解】
由图象可知,,得,
又∵,∴.
当时,,即,
解得.又,则,
∴函数的解析式为.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了由三角函数的图像求函数解析式,需熟记正弦型三角函数的周期公式,属于基础题.
8.《九章算术》是中国古代数学名著,其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致,根据这一算法解决下列问题:现有一扇形田,下周长(弧长)为30米,径长(两段半径的和)为14米,则该扇形田的面积为( )
A.150平方米 B.210平方米 C.100平方米 D.105平方米
【答案】D
【解析】根据题意列出面积表达式即可求解.
【详解】
扇形田的面积为(平方米).
故选:D.
【点睛】
本题考查了扇形面积公式,解题的关键理解“径乘周四而一”的意义,属于基础题.
9.已知向量,则在方向上的投影为( )
A. B. C.1 D.
【答案】A
【解析】利用向量数量积的几何意义以及向量数量积的坐标运算,在方向上的投影为即可求解.
【详解】
设向量与的夹角为,
在方向上的投影为.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的坐标运算以及向量数量积的几何意义,属于基础题.
10.已知向量,,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先排除时x的值,再利用夹角为锐角的平面向量的数量积为正数即可求得结果.
【详解】
若,则,解得.
因为与的夹角为锐角,∴.
又,由与的夹角为锐角,
∴,即,解得.
又∵,所以.
所以本题答案为B.
【点睛】
本题考查利用平面向量的数量积判断角的类型,注意排除向量平行的可能,属基础题.
11.若函数在区间上存在最小值,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意不妨设,求出的范围,根据三角函数的单调性可得,从而可求出的最小值.
【详解】
对于函数,
令,得,
当时,在上单调递减,当时,.
又因为在上存在最小值,所以的最小值为.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的性质,掌握性质是解题的关键,属于基础题.
12.定义ad﹣bc,已知函数f(x)(x∈[0,π]),若f(x)的最大值与最小值的和为1,则实数m的值是( )
A.4+2或﹣4﹣2 B.4﹣2或﹣4+2
C.4﹣2 D.﹣4+2
【答案】B
【解析】先根据定义化简函数,再根据三角函数关系转化为二次函数,根据二次函数性质求最值,最后根据最值和为1求结果.
【详解】
因为,所以
①当时,
因为f(x)的最大值与最小值的和为1,所以,舍去
②当时,
因为f(x)的最大值与最小值的和为1,所以,舍去
③当时,
因为f(x)的最大值与最小值的和为1,
所以,
因为,所以
④当时,
因为f(x)的最大值与最小值的和为1,
所以,
因为,所以
综上:或
故选:B
【点睛】
本题考查函数新定义以及二次函数最值,考查综合分析求解能力,属较难题.
二、填空题
13.设向量与的夹角为,定义与的“向量积”:是一个向量,它的模,若,,则__________.
【答案】
【解析】首先利用向量数量积的坐标运算求出向量的夹角,再根据向量的坐标求出向量的模即可求解.
【详解】
∵,,
∴,
∴,∴.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的坐标运算,向量模的求法,属于基础题.
14.若,则_________.
【答案】
【解析】将平方,利用同角三角函数的基本关系求出,从而求出的值,利用余弦的二倍角公式即可求解.
【详解】
∵,
∴,即,
∴.由上知,为第二象限的角,∴,
∴.
∴.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式,需熟记公式,属于基础题.
15.已知向量,则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】利用向量线性坐标运算以及向量模的坐标运算可得,再利用辅助角公式可得,由三角函数的性质即可求解.
【详解】
由,
所以
,
所以的取值范围是.
故答案为:
【点睛】
本题主要考查了向量模的求法、辅助角公式以及三角函数的性质,属于基础题.
16.给出下列命题:
①函数的定义城是且;
②若,则;
③若定义在上函数满足,则是周期为2的函数;
④函数图象的一条对称轴是,则函数
图象关于对称.
其中正确的命题是___________(填序号)
【答案】②③④
【解析】根据正切函数的定义域整体代入即可判断①;由三角函数的诱导公式以及三角函数值可判断②;根据周期的定义可判断③;由正弦函数的对称轴可得,求出,再根据正弦函数的对称点,将代入即可验证.
【详解】
对于①,令,得,①错;
对于②,若,则
,②正确;
对于③,由,得,故周期为2,③正确;
对于④,当时,,,
,又∵,
∴,当时,,④正确:
故正确的命题是②③④.
故答案为:②③④
【点睛】
本题考查了正切型函数的定义域、诱导公式、周期的定义以及正弦函数的对称轴与对称中心,属于基础题.
三、解答题
17.已知,且是方程的两根.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)-1;(2).
【解析】(1)利用韦达定理可得,然后再利用两角和的正切公式即可求解.
(2)由题意可得,再根据同角三角函数的平方关系可得,,由二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】
解:(1)依题意有:,
∴.
(2)由题意可得,
又∵,
∴,.
∴.
【点睛】
本题主要考查了两角和的正切公式、同角三角函数的平方关系以及二倍角的正弦公式,属于基础题.
18.已知向量,向量.
(1)当为何值时,向量与垂直?
(2)当为何值时,向量与平行?
【答案】(1);(2).
【解析】(1)利用向量垂直数量积等于即可求解.
(2)利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】
解:(1),
若向量与垂直,
则,
解得.
(2)若向量与平行,
则,解得.
【点睛】
本题主要考查了向量垂直数量积等于、向量共线的坐标表示,属于基础题.
19.设函数,其中.
(1)求的解析式;
(2)是否存在使角,是方程的两个不同的实根?若存在,求角的大小;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,.
【解析】(1)利用向量数量积的坐标表示以及辅助角公式即可求解.
(2)由(1)根据题意可得,求出,,根据三角形的内角和定理即可求解.
【详解】
解:(1)∵,
∴
.
(2),即,
或,
即或,
∵,
∴当时,或.
即存在使角,是方程的两个不同的实根.
∴.
【点睛】
本题主要考查了向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及根据三角函数值求角,属于基础题.
20.如图,在中,,点,分别在边上,且.
(1)若,试用,线性表示;
(2)在(1)的条件下,求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)利用向量减法的几何意义可得,将已知代入即可求解.
(2)由(1)可得,结合,代入利用向量数量积的定义即可求解.
【详解】
解:(1)∵,∴,
又,∴.
(2)由(1)可得,
∵,
∴
.
【点睛】
本题主要考查了向量减法的几何意义、向量数量积的定义,属于基础题.
21.已知向量.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)根据向量线性的坐标运算以及向量模的求法即可求解.
(2)由(1)利用同角三角函数的基本关系可得,再利用二倍角公式以及诱导公式可得,根据两角和的正弦公式即可求解.
【详解】
解:(1)由,
得,
,即,
整理可得,即.
(2)∵,∴,
则,
,
,
∴.
【点睛】
本题主要考查了向量模的坐标求法、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式,熟记公式是解题的关键,属于基础题.
22.已知函数,将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度,得到函数的图象.
(1)若,求函数的解析式;
(2)若在区间上的单调增函数,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1)先求出图象上所有的点向左平行移动个单位长度的解析式,代入化简,即可求出结果;
(2)先求出的单调递增区间,是单调递增区间的子集,即可求出的取值范围.
【详解】
(1)将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度,
得到图象对应的函数解析式为.
当时,
函数.
(2)由(1)可得,
∴令,
解得,
可得函数的单调递增区间为.
∵函数在上的单调增函数,
∴
解得.
∵,
∴.
∴的取值范围为.
【点睛】
本题考查三角函数平移求解析式,以及利用单调区间求参数,属于中档题.