【数学】2020届一轮复习人教B版1-1　集合及其运算学案 4页

第一章　集合与常用逻辑用语 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 ‎1.集合的含义与表示 ‎(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系；‎ ‎(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.‎ ‎2.集合间的基本关系 ‎(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；‎ ‎(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.‎ ‎3.集合的基本运算 ‎(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；‎ ‎(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；‎ ‎(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.‎ ‎4.命题及其关系 ‎(1)理解命题的概念；‎ ‎(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；‎ ‎(3)理解必要条件，充分条件与充要条件的意义.‎ ‎5.简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.‎ ‎6.全称量词与存在量词 ‎(1)理解全称量词与存在量词的意义；‎ ‎(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 本章重点：‎ ‎1.集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算；‎ ‎2.命题的必要条件、充分条件与充要条件，对所给命题进行等价转化.‎ 本章难点：‎ ‎1.自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换；‎ ‎2.充分条件、必要条件的判断；‎ ‎3.对含有一个量词的命题进行否定的理解.‎ ‎1.考查集合本身的基础知识，如集合的概念，集合间的关系判断和运算等；‎ ‎2.将集合知识与其他知识点综合，考查集合语言与集合思想的运用；‎ ‎3.考查命题的必要条件、充分条件与充要条件，要求考生会对所给命题进行等价转化；‎ ‎4.要求考生理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 知识网络 ‎1.1　集合及其运算 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 典例精析 题型一　集合中元素的性质 ‎【例1】设集合A＝{a＋1，a－3，‎2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值.‎ ‎【解析】令a＋1＝－3⇒a＝－4，检验合格；‎ 令a－3＝－3⇒a＝0，此时a＋1＝a2＋1，舍去；‎ 令‎2a－1＝－3⇒a＝－1，检验合格；‎ 而a2＋1≠－3；故所求a的值为－1或－4.‎ ‎【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定－3是集合A的元素，但A中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a的值以后，又需要由元素的互异性检验a是否符合要求.‎ ‎【变式训练1】若a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求a和b的值.‎ ‎【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，，b}，‎ 得① 或②　显然①无解；由②得a＝－1，b＝1.‎ 题型二　集合的基本运算 ‎【例2】已知A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，求实数a.‎ ‎【解析】由已知得A＝{3，5}.当a＝0时，B＝∅⊆A；当a≠0时，B＝{}.‎ 要使B⊆A，则＝3或＝5，即a＝或.‎ 综上，a＝0或或.‎ ‎【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.‎ ‎【变式训练2】(2018江西模拟)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B等于(　　)‎ A.{x|－1≤x≤1} B.{x|x≥0}‎ C.{x|0≤x≤1} D.‎ ‎【解析】选C.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].‎ 题型三　集合语言的运用 ‎【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A⊆B.‎ ‎(1)对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b－a，若A的区间“长度”为3，试求t的值；‎ ‎(2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.‎ ‎【解析】(1)因为A的区间“长度”为3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32.‎ ‎(2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度”为10.‎ 设A的区间“长度”为y，因为f(x)∈A的概率不小于0.6，‎ 所以≥0.6，所以y≥6，即log2t－2≥6，解得t≥28＝256.‎ 又A⊆B，所以log2t≤12，即t≤212＝4 096，所以t的取值范围为[256,4 096](或[28, 212]).‎ ‎【变式训练3】设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)‎ A.{x|－2≤x＜1}‎ B.{x|－2≤x≤2}‎ C.{x|1＜x≤2}‎ D.{x|x＜2}‎ ‎【解析】选C.‎ 化简得M＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x|1＜x≤3}，故图中阴影部分为∁RM∩N＝{x|1＜x≤2}.‎ 总结提高 ‎1.元素与集合及集合与集合之间的关系 对于符号∈，∉和⊆，⊈的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.‎ ‎2.“数形结合”思想在集合运算中的运用 认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想. ‎ ‎(1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.‎ ‎(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.‎ ‎3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.‎