【数学】2019届一轮复习人教A版古典概型(1)学案 24页

‎10.5　古典概型 ‎[知识梳理]‎ ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件都是互斥的．‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．‎ ‎(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.‎ ‎4．古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ ‎[诊断自测]‎ ‎1．概念思辨 ‎(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的. (　　)‎ ‎(2)事件A，B至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．(　　)‎ ‎(3)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基 本事件构成集合I，那么事件A的概率为.(　　)‎ ‎(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于‎1”‎的概率．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．教材衍化 ‎(1)(必修A3P‎134A组T5)在平面直角坐标系中点(x，y)，其中x，y∈{0,1,2,3,4,5}，且x≠y，则点(x，y)在直线y＝x的上方的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　在平面直角坐标系中满足x，y∈{0,1,2,3,4,5}，且x≠y的点(x，y)共有6×6－6＝30个，而满足在直线y＝x的上方，即y>x的点(x，y)的基本事件共有15个，故所求概率为P＝＝.故选B.‎ ‎(2)(必修A3P‎133A组T1)已知A，B，C，D是球面上的四个点，其中A，B，C在同一圆周上，若D不在A，B，C所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取2条，这两条直线是异面直线的概率等于________．‎ 答案　 解析　A，B，C，D四点可构成一个以D为顶点的三棱锥，共6条棱，则所有基本事件有：(AB，BC)，(AB，AC)，(AB，AD)，(AB，BD)，(AB，CD)，(BC，CA)，(BC，BD)，(BC，AD)，(BC，CD)，(AC，AD)，(AC，BD)，(AC，CD)，(AD，BD)，(AD，CD)，(BD，CD)，共15个，其中满足条件的基本事件有：(AB，CD)，(BC，AD)，(AC，BD)，共3个，所以所求概率P＝＝.‎ ‎3．小题热身 ‎(1)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，‎ 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　解法一：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P＝＝，故选C.‎ 解法二：设红色和紫色的花在同一花坛为事件A，则事件A包含2个基本事件：红紫与黄白，黄白与红紫．由解法一知共有6个基本事件，因此P(A)＝＝，从而红色和紫色的花不在同一花坛的概率是P()＝1－P(A)＝.故选C.‎ ‎(2)(2018·山西联考)从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这5个点中任取一个，这个点在圆x2＋y2＝2016内部的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这5个点中任取一个的基本事件总数为5，‎ 这个点在圆x2＋y2＝2016内部包含的基本事件有(20,30)，(10,10)，共2个，‎ ‎∴这个点在圆x2＋y2＝2016内部的概率P＝，故选B.‎ 题型1　简单古典概型的求解 　　(2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　设其他3名学生为丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共4＋3＋2＋1＝10种．‎ 其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，故甲被选中的概率为＝，或P＝＝.故选B.‎ 　　(2017·山西一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事件的概率为.故选C.‎ 方法技巧 应用古典概型求某事件的步骤 第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；‎ 第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；‎ 第三步，利用公式P(A)＝，求出事件A的概率．见典例1,2.‎ 冲关针对训练 ‎(2018·安徽名校模拟)某车展展出甲、乙两种最新款式的汽车，现从参观人员中随机选取100人对这两种汽车均进行评价，评价分为三个等级：优秀、良好、合格，由统计信息可知，甲种汽车被评价为优秀的频率为，良好的频率为；乙种汽车被评价为优秀的频率为，良好的频率是合格的频率的5倍．‎ ‎(1)求这100人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数；‎ ‎(2)如果从这100人中按甲种汽车的评价等级用分层抽样的方法抽取5人，再从其他对乙种汽车评价优秀、良好的人中各选取1人进行座谈会，会后从这7人中随机抽取2人，求选取的2人评价都是优秀的概率．‎ 解　(1)因为对乙种汽车评价优秀的频率为，‎ 故评价良好或合格的频率为1－＝.‎ 设评价合格的频率为x，则评价良好的频率为5x，由题意可得x＋5x＝，解得x＝.‎ 所以这100人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数为100×＝95.‎ ‎(2)因为对甲种汽车评价优秀的频率为，良好的频率为，则用分层抽样的方法抽取5人，其中有3人评价优秀，2人评价良好．‎ 又从对乙种汽车评价优秀、良好的人中各选取1人，所以7人中评价优秀的4人，评价良好的3人．‎ 由题意得：P＝＝.‎ 题型2　复杂古典概型的求解 　　(2016·山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：‎ ‎①若xy≤3，则奖励玩具一个；‎ ‎②若xy≥8，则奖励水杯一个；‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶．‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．‎ ‎(1)求小亮获得玩具的概率；‎ ‎(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．‎ 解　用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．‎ 因为S中元素的个数是4×4＝16，‎ 所以基本事件总数n＝16.‎ ‎(1)记“xy≤‎3”‎为事件A，则事件A包含的基本事件数共5‎ 个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．‎ P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.‎ ‎(2)记“xy≥‎8”‎为事件B，“3，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．‎ ‎[结论探究]　本例中条件不变，试求小亮不能获得玩具的概率．‎ 解　由题意知当xy＞3时，小亮不能获得玩具，此时包含基本事件共11个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，而基本事件总数共16个，所以此事件概率为P＝.‎ 或根据对立事件求解：xy≤3时包含事件个数为5个，故其获得玩具的概率为，则不能获得玩具的概率为1－＝.‎ 方法技巧 ‎1．复杂古典概型的求解策略 求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．‎ ‎2．基本事件个数的确定方法 冲关针对训练 ‎(2018·成都诊断)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．‎ ‎(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；‎ ‎(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．‎ 解　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．‎ 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，‎ 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.‎ ‎(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.‎ 则P(B)＝＝，P(C)＝＝.‎ 由互斥事件的概率加法，‎ 得P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝，‎ 故所求事件的概率为.‎ 题型3　古典概型与统计的综合问题 　　(2018·安徽阶段测试)某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：‎ ‎(1)求表中a，b的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；‎ ‎(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．‎ 解　(1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人，‎ ‎∴a＝0.1，b＝3.‎ ‎∵成绩在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4，‎ ‎∴成绩在[90,110)范围内的样本数为20×0.4＝8，‎ 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为 P＝1－0.1－0.25＝0.65.‎ ‎(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为 Ω＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)}，共21个基本事件，或基本事件数为C＝21，‎ 设事件A＝“取出的两个样本中数字之差小于或等于‎10”‎，‎ 则A＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)}，共10个基本事件，‎ ‎∴P(A)＝.‎ 方法技巧 求解古典概型与统计交汇问题的思路 ‎1．依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息．‎ ‎2．选择恰当的方法找出符合条件的基本事件总数及所求事件包含的基本事件数．‎ ‎3．进行统计与古典概型概率的正确计算．‎ 冲关针对训练 ‎(2018·广东五校诊断)某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动，组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎(1)若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；‎ ‎(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率．‎ 解　(1)设第1组[20,30)的频率为f1，则由题意可知，‎ f1＝1－(0.010＋0.035＋0.030＋0.020)×10＝0.05.‎ 被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10＝0.25.‎ ‎∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25.‎ ‎(2)解法一：第1组[20,30)的人数为0.05×120＝6.‎ ‎∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名．‎ 记第1组中的3名男性群众分别为A，B，C,3名女性群众分别为x，y，z，‎ 从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队包含(A，B)，‎ ‎(A，C)，(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，C)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)，(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共15个基本事件．‎ 至少有一名女性群众包含(A，x)，(A，y)，(A，z)，(B，x)，(B，y)，(B，z)，(C，x)，(C，y)(C，z)，(x，y)，(x，z)，(y，z)，共12个基本事件．‎ ‎∴从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，至少有1名女性群众的概率为＝.‎ 解法二：第1组中有3男3女，由题意得P＝1－＝.‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：‎ 基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝＝.故选D.‎ ‎2．(2017·山东高考)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，‎ ‎∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝×＝，‎ P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝×＝.‎ ‎∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＋＝.‎ 故选C.‎ 依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝＝.故选C.‎ ‎3．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　解法一：从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝＝.故选C.‎ 解法二：由题意得P＝1－＝.故选C.‎ ‎4．(2018·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．‎ 答案　 解析　依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有CC＝36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤，a2≤b2的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.‎ ‎[基础送分 提速狂刷练]‎ 一、选择题 ‎1．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，则(　　)‎ A．P1＝P2＜P3 B．P1＜P2＜P3‎ C．P1＜P2＝P3 D．P3＝P2＜P1‎ 答案　B 解析　先后抛掷两枚骰子点数之和共有36种可能，而点数之和为12,11,10的概率分别为P1＝，P2＝，P3＝.故选B.‎ ‎2．(2018·郑州质检)现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发录取通知书，若这四名学生都愿意进入这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　所求概率P＝＝.故选B.‎ ‎3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　从1,2,3,4中任取2个不同的数有C＝6种情况：满足取出的2个数之差的绝对值为2的(1,3)，(2,4)，故所求概率是＝.故选B.‎ ‎4．(2018·山西朔州模拟)某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随机地摸出2张，则其面值之和不少于四元的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　小明口袋里共有5张餐票，随机地摸出2张，基本事件总数n＝10，其面值之和不少于四元包含的基本事件数m＝5，故其面值之和不少于四元的概率为＝＝.故选C.‎ ‎5．(2018·保定模拟)甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　甲任想一数字有3种结果，乙猜数字有3种结果，基本条件总数为3×3＝9.‎ 设“甲、乙心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|a－b|＞‎1”‎，即|a－b|＝2，包含2个基本事件，‎ ‎∴P(B)＝.∴P(A)＝1－＝.故选D.‎ ‎6．(2018·浙江金丽衢十二校联考)若在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 (　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　因为任取3个顶点连成三角形共有C＝＝56个，又每个顶点为直角顶点的非等腰三角形有3个，即正方体的一边与过此点的一条面对角线，所以共有24个三角形符合条件．所以所求概率为＝.故选C.‎ ‎7．(2017·甘肃质检)将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由计数原理得基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式求解．将5本不同的书分给4名同学，共有45＝1024种分法，其中每名同学至少一本的分法有CA＝240种，故所求概率是＝，故选A.‎ ‎8．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线＋＝1的斜率k≥－的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　记a，b的取值为数对(a，b)，由题意知(a，b)的所有可能取值有36种．由直线＋＝1的斜率k＝－≥－，知≤，那么满足题意的(a，b)可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9种，所以所求概率为＝.故选D.‎ ‎9．某酒厂制作了3种不同的精美卡片，每瓶酒盒随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种酒5瓶，能获奖的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　假设5个酒盒各不相同，5个酒盒装入卡片的方法一共有35＝243种，‎ 其中包含了3种不同卡片有两种情况：即一样的卡片3张，另外两种不同的卡片各1张，有C×2×3＝60种方法，两种不同的卡片各2张，另外一种卡片1张，有C×3×C＝15×6＝90种，‎ 故所求的概率为＝.故选D.‎ ‎10．(2018·淄博模拟)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　对于a与b各有6种情形，故总数为36种．‎ 两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝‎ ‎4或a＝3，b＝6，故概率为P1＝＝.‎ 两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，‎ ‎∴P2＝＝.‎ ‎∵点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，‎ ‎∴2＋2<，‎ 解得－的概率是________．‎ 答案　 解析　由e＝ >，得b>‎2a.当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴所求事件的概率P＝＝ ‎.‎ ‎13．(2018·湖南长沙模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，则使得直线bx＋ay＝1与圆x2＋y2＝1相交且所得弦长不超过的概率为________．‎ 答案　 解析　根据题意，得到的点数所形成的数组(a，b)共有6×6＝36种，其中满足直线bx＋ay＝1与圆x2＋y2＝1相交且所得弦长不超过，则圆心到直线的距离不小于，即1＞≥，即1＜a2＋b2≤9的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)四种，故直线bx＋ay＝1与圆x2＋y2＝1相交且所得弦长不超过的概率为＝.‎ ‎14．(2018·唐山模拟)无重复数字的五位数a‎1a‎2a‎3a‎4a5，当a1a3，a3a5时称为波形数，则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是________．‎ 答案　 解析　∵a2>a1，a3；a4>a3，a5，∴a2只能是3,4,5.‎ ‎(1)若a2＝3，则a4＝5，a5＝4，a1与a3是1或2，这时共有A＝2(个)符合条件的五位数．‎ ‎(2)若a2＝4，则a4＝5，a1，a3，a5可以是1,2,3，共有A＝6(个)符合条件的五位数．‎ ‎(3)若a2＝5，则a4＝3或4，此时分别与(1)(2)情况相同．‎ ‎∴满足条件的五位数有2(A＋A)＝16(个)．‎ 又由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数有A＝120(个)，故所求概率为＝.‎ 三、解答题 ‎15．为了解收购的每只小龙虾的重量，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了40只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下．‎ 从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表 重量/克 ‎ ‎[5,15) ‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55]‎ 频数 ‎ ‎ 2 ‎ ‎ 8 ‎ ‎16 ‎ ‎ 10 ‎ ‎ 4‎ 从乙水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表 重量/克 ‎ ‎[5,15) ‎ ‎[15,25)‎ ‎[25,35)‎ ‎[35,45)‎ ‎[45,55]‎ 频数 ‎ ‎ 2 ‎ ‎ 6 ‎ ‎18 ‎ ‎ 10 ‎ ‎ 4‎ ‎(1)试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频率分布直方图；‎ ‎(2)依据小龙虾的重量，将小龙虾划分为三个等级：‎ 重量/克 ‎ [5,25) ‎ ‎[25,45) ‎ ‎[45,55]‎ 等级 ‎ ‎ 三级 ‎ ‎ 二级 ‎ ‎ 一级 若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由；‎ ‎(3)从乙水产养殖场抽取的重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中利用分层抽样的方法抽取6只，再从这6只中随机抽取2只，求至少有1只的重量在[15,25)内的概率．‎ 解　(1)‎ ‎(2)若把频率看作相应的概率，则 ‎“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为＝0.75，‎ ‎“乙水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为＝0.8，‎ 所以乙水产养殖场的小龙虾“优质率”高．‎ ‎(3)解法一：用分层抽样的方法从乙水产养殖场重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中抽取6只，则重量在[5,15)内的有1‎ 只，在[15,25)内的有3只，在[45,55]内的有2只， ‎ 记重量在[5,15)内的1只为x，在[15,25)内的3只分别为y1，y2，y3，在[45,55]内的2只分别为z1，z2，从中任取2只，可能的情况有(x，y1)，(x，y2)，(x，y3)，(x，z1)，(x，z2)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，z1)，(y1，z2)，(y2，y3)，(y2，z1)，(y2，z2)，(y3，z1)，(y3，z2)，(z1，z2)，共15种；‎ 记“任取2只，至少有1只的重量在[15,25)内”为事件A，则事件A包含的情况有(x，y1)，(x，y2)，(x，y3)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，z1)，(y1，z2)，(y2，y3)，(y2，z1)，(y2，z2)，(y3，z1)，(y3，z2)，共12种．‎ 所以P(A)＝＝.‎ 解法二：由解法一可知：重量在[15,25)内有3只，由题意可得P＝1－＝.‎ ‎16．(2017·石景山区一模)“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801－2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：‎ 累积净化量(克)‎ ‎(3,5]‎ ‎(5,8]‎ ‎(8,12]‎ ‎12以上 等级 P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ 为了了解一批空气净化器(共2000台)的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间(4,14]中，按照(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]均匀分组，其中累积净化量在(4,6]的所有数据有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．‎ ‎(1)求n的值及频率分布直方图中的x值；‎ ‎(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P2的空气净化器有多少台？‎ ‎(3)从累积净化量在(4,6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．‎ 解　(1)∵在(4,6]之间的数据一共有6个，‎ 再由频率分布直方图得：‎ 落在(4,6]之间的频率为0.03×2＝0.06，‎ ‎∴n＝＝100，‎ 由频率分布直方图的性质得：‎ ‎(0.03＋x＋0.12＋0.14＋0.15)×2＝1，‎ 解得x＝0.06.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知：落在(6,8]之间共：0.12×2×100＝24台．‎ 又∵在(5,6]之间共4台，‎ ‎∴落在(5,8]之间共28台，‎ ‎∴估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P2的空气净化器有560台．‎ ‎(3)设“恰好有1台等级为P‎2”‎为事件B，‎ 依题意落在(4,6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，‎ 则从(4,6]中随机抽取2台，基本事件总数n＝C＝15，‎ 事件B包含的基本事件个数m＝CC＝8，‎ ‎∴恰好有1台等级为P2的概率P(B)＝＝.‎