辽宁省辽阳市2020届高三一模考试数学（文）试题 12页

高三考试数学试卷（文科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。‎ ‎2.请将各题答案填写在答题卡上。‎ ‎3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若，则（ ）‎ A.的实部大于的实部 B.的实部等于的实部 C.的虚部大于的虚部 D.的虚部小于的虚部 ‎2.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若函数，则（ ）‎ A.的最大值为1‎ B.‎ C.的最小正周期为2‎ D.‎ ‎5.设非零向量，满足，，，则（ ）‎ A. B. C.2 D.‎ ‎6.设双曲线，，的离心率分别为，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.将60个个体按照01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数（下表为随机数表的第8行和第9行）‎ ‎63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54‎ 则抽取的第11个个体的编号是（ ）‎ A.38 B‎.13 ‎C.42 D.02‎ ‎8.若，则的最小值为（ ）‎ A.2 B. C.4 D.‎ ‎9.若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数的图象关于点对称，当时，，且在上单调递增，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11如图，在正四棱柱中，，,分别为，的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）‎ A.直线与直线异面，且 B.直线与直线共面，且 C.直线与直线异面，且 D.直线与直线共面，且 ‎12.已知直线与抛物线：交于，两点，直线与抛物线：交于，两点，设，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.，，，分别为内角， ，的对边.已知，则________.‎ ‎14.四面体的每个顶点都在球的球面上，， ，两两垂直，且，，，则四面体的体积为________，球的表面积为________ .（本题第一空2分，第二空3分）‎ ‎15.小林手中有六颗糖果，其中牛奶薄荷味、巧克力味、草莓味各两颗，现要将糖果随机地平均分给他的儿子与女儿两人，则这两个孩子都分到三种口味的糖果的概率为________.‎ ‎16.函数的最小值为________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.如图，四棱锥的底面是正方形，为的中点，，，，.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）求三棱锥的侧面积.‎ ‎18. 某公司产品生产的投入成本（单位：万元）与产品销售收入（单位：十万元）存在较好的线性关系，下表记录了该公司最近8次该产品的相关数据，且根据这8组数据计算得到关于的线性回归方程为.‎ ‎（万元）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎17‎ ‎21‎ ‎（十万元）‎ ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎1.7‎ ‎2‎ ‎2.2‎ ‎2.4‎ ‎2.6‎ ‎2.9‎ ‎（1）求的值（结果精确到0.0001），并估计公司产品投入成本30万元后产品的销售收入（单位：元）.‎ ‎（2）该公司产品生产的投入成本（单位：万元）与产品销售收入 （单位：十万元）也存在较好的线性关系，且关于的线性回归方程为.‎ ‎（ⅰ）估计该公司产品投入成本30万元后的毛利率(毛利率=)；‎ ‎（ⅱ）判断该公司，两个产品都投入成本30万元后，哪个产品的毛利率更大.‎ ‎19. 设为数列的前项和，，且.‎ ‎（1）证明：数列为等比数列，并求.‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）讨论在上的单调性；‎ ‎（2）若，求不等式的解集.‎ ‎21.已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.‎ ‎（1）证明：当取得最小值时，椭圆的短轴长为.‎ ‎（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，已知点，的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线与曲线相交于，两点，求的值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.‎ 高三考试数学试卷 参考答案（文科）‎ ‎1.C 因为，所以的实部小于的实部，的虚部大于的虚部.‎ ‎2.A 因为，所以.‎ ‎3.A 水费开支占总开支的百分比为.‎ ‎4.B 的最大值为2，的最小正周期为1，‎ ‎. ‎ ‎5.A ，，，.‎ ‎6.D 因为双曲线的离心率为，且，所以.‎ ‎7.D 随机数表第9行第9列为2，抽取的个体分别为29，56，07，52，42，44，38，15，51，13，02，第11个个体为02.‎ ‎8.C 因为，所以，‎ 则，当且仅当时，等号成立，故的最小值为4.‎ ‎9.D 因为，所以，所以.‎ ‎10.C 依题意可得f(x)在(2,+∞)上单调递增,则‎ ‎11.B连接，，，，易证，所以直线与直线共面.易证，所以异面直线与所成角为.设，则，则，，，由余弦定理，得.‎ ‎12.D设，联立得，则 ‎.因为直线经过的焦点，所以.同理可得，.‎ ‎13. 因为，所以，又，所以.‎ ‎14.1； 因为， ，两两垂直，且，，，所以四面体 的体积，球的表面积为.‎ ‎15. 记牛奶薄荷味的两颗糖为，，巧克力味的两颗糖为，，草莓味的两颗糖为，，则的儿子分到的糖的所有情况为，‎ ‎，‎ ‎，共20种，其中都含，，，的有8种，故所求概率为.‎ ‎16. 令，，.‎ 当时，；当时，.‎ 故.‎ ‎17.（1）证明：因为为的中点，，‎ 所以，‎ 所以，从而.‎ 又，，‎ 所以底面，所以.‎ 因为四边形是正方形，所以.‎ 又，所以平面.‎ ‎（2）解：由（1）知平面，因为，所以平面，‎ 因为平面，所以，‎ 所以的面积为.‎ 易证，‎ 所以的面积为.‎ 故三棱锥的侧面积为. 18.解：（1），，‎ ‎，‎ 解得.‎ 当时，，‎ 故公司产品投入成本30万元后产品的销售收入约为元.‎ ‎（2）（i）当时， ，产品对应的毛利率为.‎ ‎（ii）当时，，产品对应的毛利率为，‎ 故产品的毛利率更大.‎ ‎19.（1）证明：，，‎ 又，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 则，，‎ 当时，，‎ 故.‎ ‎（2）解：当时，，‎ 则 ‎.‎ 又，‎ ‎.‎ ‎20.解：（1）.‎ 当时，，则在上单调递增.‎ 当时，令，得.‎ ‎（i）当时，，‎ 令，得；令，得.‎ 所以得单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（ii）当时，，‎ 令，得；令，得或.‎ 所以得单调减区间为，单调递增区间为，.‎ ‎（iii）当时，，‎ 令，得；令，得.‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）因为，所以，当时，，‎ 所以在上单调递增，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 解得，故所求不等式的解集为.‎ ‎21.（1）证明：∵椭圆经过点，，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 又，，的短轴长为.‎ ‎（2）解：椭圆的焦距为2，，又，‎ ‎，.‎ 当直线的斜率不存在时，由对称性，设，，‎ 在椭圆上，，，‎ 到直线的距离.‎ 当直线的斜率存在时，设的方程为，‎ 由，得，‎ 设，，则，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 到直线的距离.‎ 综上，到直线的距离为定值，且定值为存在定圆，使得圆 与直线总相切.‎ ‎22.解：（1）由的参数方程（为参数），消去参数可得.‎ 由曲线的极坐标方程为，得，‎ 所以的直角坐标方程为，即.‎ ‎（2）因为在曲线上，‎ 故可设曲线的参数方程为（为参数），‎ 代入化简可得.‎ 设对应的参数分别为，则，，‎ 所以.‎ ‎23.（1）解：，‎ 不等式，即或或，‎ 即或或，‎ 所以所求不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：，.‎ 因为，，‎ 所以要证，只需证，‎ 即证，‎ 因为，所以只要证，‎ 即证，‎ 即证，因为，所以只需证，‎ 因为，所以成立，‎ 所以.‎