2018届二轮复习椭圆、双曲线、抛物线的基本问题学案文（全国通用） 15页

第2讲　椭圆、双曲线、抛物线的基本问题 高考定位　1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.‎ 真 题 感 悟 ‎1.(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A‎1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　以线段A‎1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，‎ 所以圆心(0，0)到直线的距离d＝＝a，整理为a2＝3b2即＝.‎ ‎∴e＝＝＝＝＝.‎ 答案　A ‎2.(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析　由题设知＝，①‎ 又由椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，‎ 易知a2＋b2＝c2＝9，②‎ 由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1.‎ 答案　B ‎3.(2017·全国Ⅱ卷)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y 轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.‎ 解析　如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.‎ 由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.‎ ‎∵点M为FN的中点，PM∥OF，‎ ‎∴|MP|＝|FO|＝1.‎ 又|BP|＝|AO|＝2，‎ ‎∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.‎ 由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.‎ 答案　6‎ ‎4.(2017·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎(1)解　设P(x，y)，M(x0，y0)，‎ 则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，‎ 由＝得x0＝x，y0＝y，‎ 因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，‎ 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)证明　由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋‎3m－tn，‎ ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，‎ 由·＝1，得－‎3m－m2＋tn－n2＝1，‎ 又由(1)知m2＋n2＝2.故3＋‎3m－tn＝0.‎ 所以·＝0，即⊥，‎ 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ 考 点 整 合 ‎1.圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝‎2a(‎2a＞|F‎1F2|)；‎ ‎(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝‎2a(‎2a＜|F‎1F2|)；‎ ‎(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).‎ 温馨提醒　应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.‎ ‎2.圆锥曲线的标准方程 ‎(1)椭圆：＋＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；‎ ‎(2)双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；‎ ‎(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).‎ ‎3.圆锥曲线的重要性质 ‎(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 ‎①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝＝.‎ ‎②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝＝.‎ ‎(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ‎①双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).‎ ‎②双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).‎ ‎(3)抛物线的焦点坐标与准线方程 ‎①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程x＝－.‎ ‎②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，准线方程y＝－.‎ ‎4.弦长问题 ‎(1)直线与圆锥曲线相交的弦长 设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，‎ y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝|x1－x2|＝.‎ ‎(2)过抛物线焦点的弦长 抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.‎ 热点一　圆锥曲线的定义及标准方程 ‎【例1】　(1)(2017·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－y2＝1 D.x2－＝1‎ ‎(2)(2017·临汾一中质检)已知等腰梯形ABCD的顶点都在抛物线y2＝2px(p>0)上，且AB∥CD，CD＝2AB＝4，∠ADC＝60°，则点A到抛物线的焦点的距离是________.‎ 解析　(1)依题意知c＝2，＝tan 60°＝，又a2＋b2＝c2＝4，解得a2＝1，b2＝3，‎ 故双曲线方程为x2－＝1.‎ ‎(2)由题意设A(x1，1)，D(x1＋，2)，‎ 所以1＝2px1，4＝2p(x1＋)⇒p＝，x1＝，‎ 所以点A到抛物线的焦点的距离是x1＋＝＋＝.‎ 答案　(1)D　(2) 探究提高　1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.‎ ‎2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.‎ ‎【训练1】 (1)(2016·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－y2＝1 B.x2－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎(2)已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF‎1F2的面积是________.‎ 解析　(1)依题意得＝，①‎ 又a2＋b2＝c2＝5，②‎ 联立①②得a＝2，b＝1.‎ ‎∴所求双曲线的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝‎2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.‎ 又|F‎1F2|＝‎2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F‎1F2|2，即△PF‎1F2为直角三角形，且∠PF‎2F1为直角，‎ 所以S△PF‎1F2＝|F‎1F2||PF2|＝×2×1＝.‎ 答案　(1)A　(2) 热点二　圆锥曲线的几何性质 ‎【例2】　(1)(2016·全国Ⅰ卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.‎ 解析　(1)不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点F(c，0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.‎ 由题意＝b，且a2＝b2＋c2，‎ 得b‎2c2＝b‎2a2，所以e＝＝.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由消去x得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，‎ 由根与系数的关系得y1＋y2＝p，‎ 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，‎ ‎∴p＝p，即＝⇒＝.‎ ‎∴双曲线渐近线方程为y＝±x.‎ 答案　(1)B　(2)y＝±x 探究提高　1.分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.‎ ‎2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎3.求双曲线渐近线方程关键在于求或的值，也可将双曲线等号右边的“‎1”‎变为“‎0”‎，然后因式分解得到.‎ ‎【训练2】 (1)(2017·德州二模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB＝2，则双曲线的离心率e＝(　　)‎ A. B. ‎ C.2 D. ‎(2)(2016·北京卷)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.‎ 解析　(1)∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，‎ 不妨设点A在点B的上方，则A，B.‎ ‎∴|AB|＝.‎ 又S△AOB＝×1×＝2，‎ ‎∴b＝‎2‎a，则c＝＝a，‎ 因此双曲线的离心率e＝＝.‎ ‎(2)取B为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2，‎ 又∠AOB＝，‎ ‎∴＝tan＝1，即a＝b.‎ 又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.‎ 答案　(1)D　(2)2‎ 热点三　直线与圆锥曲线 命题角度1　直线与圆锥曲线的位置关系 ‎【例3－1】　(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.‎ 解　(1)如图，由已知得M(0，t)，P，‎ 又N为M关于点P的对称点，故N，‎ 故直线ON的方程为y＝x，‎ 将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，‎ 解得x1＝0，x2＝，因此H.‎ 所以N为OH的中点，即＝2.‎ ‎(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：‎ 直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t).‎ 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，‎ 解得y1＝y2＝2t，‎ 即直线MH与C只有一个公共点，‎ 所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.‎ 探究提高　1.本题第(1)问求解的关键是求点N，H的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH的方程与曲线C联立，根据方程组的解的个数进行判断.‎ ‎2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.‎ ‎【训练3】 (2016·江苏卷改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0).‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标.‎ 解　(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为.‎ 由点在直线l：x－y－2＝0上，‎ 得－0－2＝0，即p＝4.‎ 所以抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)当p＝1时，曲线C：y2＝2x.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0).‎ 因为点P和Q关于直线l对称，‎ 所以直线l垂直平分线段PQ，‎ 于是直线PQ的斜率为－1，设其方程为y＝－x＋b.‎ 由消去x得y2＋2y－2b＝0.‎ 因为P和Q是抛物线C的两相异点，得y1≠y2.‎ 从而Δ＝4－4×1×(－2b)＝8b＋4>0.(*)‎ 因此y1＋y2＝－2，所以y0＝－1.‎ 又M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.‎ 所以点M(1，－1)，此时b＝0满足(*)式.‎ 故线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).‎ 命题角度2　有关弦的中点、弦长问题 ‎【例3－2】　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b≥1)过点P(2，1)，且离心率e＝.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值.‎ 解　(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2.‎ 又＋＝1，∴a2＝8，b2＝2.‎ 故所求椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 联立消去y得x2＋2mx＋‎2m2‎－4＝0，‎ 判别式Δ＝16－‎4m2‎＞0，即m2＜4.‎ 又x1＋x2＝－‎2m，x1·x2＝‎2m2‎－4，‎ 则|AB|＝× ‎＝，‎ 点P到直线l的距离d＝＝.‎ 因此S△PAB＝d|AB|＝×× ‎＝≤＝2，‎ 当且仅当m2＝2时上式等号成立，‎ 故△PAB面积的最大值为2.‎ 探究提高　1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB|＝|x2－x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.‎ ‎2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.‎ ‎【训练4】 (2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.‎ 解　由题意可知F，‎ 设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，‎ 且A，B，P，Q，‎ R.‎ ‎(1)证明　记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.‎ 因为点F在线段AB上，所以ab＋1＝0，‎ 记直线AR的斜率为k1，直线FQ的斜率为k2，‎ 所以k1＝，k2＝＝－b，又因为ab＋1＝0，‎ 所以k1＝＝＝＝＝－b，‎ 所以k1＝k2，即AR∥FQ.‎ ‎(2)解　设直线AB与x轴的交点为D(x1，0)，‎ 所以S△ABF＝|a－b||FD|＝|a－b|，‎ 又S△PQF＝，‎ 所以由题意可得S△PQF＝2S△ABF，‎ 即＝2×·|a－b|·，‎ 解得x1＝0(舍)或x1＝1.‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y).‎ 当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1).‎ 又＝，所以y2＝x－1(x≠1).‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.‎ ‎1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax2＋By2＝1，其中A，B是不等的常数，A＞B＞0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B＞A＞0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB＜0时表示双曲线.‎ ‎2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.‎ ‎3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a，c，计算e＝；方法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求.‎ ‎4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.‎ ‎5.求中点弦的直线方程的常用方法 ‎(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.‎ 一、选择题 ‎1.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)‎ A. B.1 ‎ C. D.2‎ 解析　因为抛物线方程是y2＝4x，所以F(1，0).‎ 又因为PF⊥x轴，所以P(1，2)，把P点坐标代入曲线方程y＝(k>0)，即＝2，所以k＝2.‎ 答案　D ‎2.(2017·长沙一模)椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 解析　由题设知b＝c＝，a＝2，‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 答案　C ‎3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，‎ 将x＝2代入x2－＝1，得y＝±3，所以|PF|＝3.‎ 又A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为×3×(2－1)＝.‎ 答案　D ‎4.(2017·全国Ⅱ卷)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)‎ A.2 B. ‎ C. D. 解析　设双曲线的一条渐近线y＝x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为＝，‎ 又由c2＝a2＋b2得c2＝‎4a2，e2＝4，e＝2.‎ 答案　A ‎5.(2017·新乡模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴上的一个顶点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析　设A(x，y)，∵右焦点为F(c，0)，点B(0，b)，线段BF与双曲线C的右支交于点A，且＝2，‎ ‎∴x＝，y＝，‎ 代入双曲线方程，得－＝1，且c2＝a2＋b2，‎ ‎∴b＝.‎ ‎∵||＝4，∴c2＋b2＝16，∴a＝2，b＝，‎ ‎∴双曲线C的方程为－＝1.‎ 答案　D 二、填空题 ‎6.(2017·北京卷)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.‎ 解析　由题意知＝e2＝3，则m＝2.‎ 答案　2‎ ‎7.(2017·邯郸质检)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若＝4，则|QF|等于________.‎ 解析　过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.‎ 答案　3‎ ‎8.(2017·石家庄三模)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M(1，t)(t>0)到焦点的距离为5，双曲线－＝1(a>0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行.则实数a的值为________.‎ 解析　由题设1＋＝5，∴p＝8.不妨设点M在x轴上方，则M(1，4)，由于双曲线的左顶点A(－a，0)，且直线AM平行一条渐近线，∴＝，则a＝3.‎ 答案　3‎ 三、解答题 ‎9.(2017·佛山调研)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F(1，0).‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程.‎ 解　(1)依题意可得解得 ‎∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ ‎①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意；‎ ‎②当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k(x－1).‎ 联立得方程组 消去y得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1·x2＝.‎ ‎∴y1·y2＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝.‎ ‎∵OM⊥ON，∴·＝0.‎ ‎∴x1·x2＋y1·y2＝＝0，∴k＝±.‎ 故直线l的方程为y＝±(x－1).‎ ‎10.(2017·全国Ⅰ卷)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.‎ 解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4.‎ 于是直线AB的斜率k＝＝＝1.‎ ‎(2)由y＝，得y′＝.‎ 设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1).‎ 设直线AB的方程为y＝x＋m，‎ 故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.‎ 将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－‎4m＝0.‎ 当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2.‎ 从而|AB|＝|x1－x2|＝4.‎ 由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，‎ 解得m＝7.‎ 所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.‎ ‎11.(2017·北京卷)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎ ‎(1)解　设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0).‎ 由题意得解得c＝.‎ 所以b2＝a2－c2＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n).‎ 由题设知m≠±2，且n≠0.‎ 直线AM的斜率kAM＝，‎ 故直线DE的斜率kDE＝－.‎ 所以直线DE的方程为y＝－(x－m).‎ 直线BN的方程为y＝(x－2).‎ 联立 解得点E的纵坐标yE＝－.‎ 由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，‎ 所以yE＝－n.‎ 又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，‎ S△BDN＝|BD|·|n|.‎ 所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.‎