【数学】2019届一轮复习人教A版对数与对数函数学案 18页

第七节对数与对数函数 ‎1．对数 概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N 运算法则 loga(M·N)＝logaM＋logaN a>0，且a≠1，M>0，N>0‎ loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R)‎ 换底公式 换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)‎ ‎2.对数函数的图象与性质 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)‎ 图象 a＞1‎ ‎0＜a＜1‎ 图象特征 在y轴右侧，过定点(1,0)‎ 当x逐渐增大时，图象是上升的 当x逐渐增大时，图象是下降的 性质 定义域 ‎(0，＋∞)‎ 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 函数值变化规律 当x＝1时，y＝0‎ 当x>1时，y>0；当 当x>1时，y<0；当00‎ ‎1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)‎ ‎(2)log2x2＝2log2x.(　　)‎ ‎(3)当x＞1时，logax＞0.(　　)‎ ‎(4)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是(　　)‎ 解析：选B　函数y＝loga(－x)的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有B.‎ ‎3．函数y＝lg|x|(　　)‎ A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 解析：选B　y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎4．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a＞b＞c　B．b＞a＞c　　C．a＞c＞b　　D．c＞b＞a 解析：选C　因为a＝log2π＞1，b＝logπ＜0，c＝π－2＝＞0，但c＜1，所以b＜c＜a.‎ ‎5．函数y＝的定义域为______．‎ 解析：要使函数有意义，须满足 解得0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.‎ ‎2．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：‎ 问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a＞1.‎ 答案：(1，＋∞)‎ ‎[解题师说]‎ ‎1．准确审题是关键 ‎(1)要识别对数型函数f(x)＝loga|x|＋1的图象，一般从最基本的对数函数y＝logax的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)， ‎，函数的定义域及单调性，并利用平移、对称变换等手段得到所要求的函数图象，特别地要注意a＞1和0＜a＜1的两种不同情况．‎ ‎(2)方程f(x)＋x－a＝0有且只有一实根，采用直接求解无法得到，常把这种问题转化为y＝f(x)与y＝－x＋a两函数图象的关系问题，利用数形结合法求解．‎ ‎2．利用结论是捷径 对数函数图象的特征 ‎(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a＞1时，图象上升；0＜a＜1时，图象下降．‎ ‎(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0＜c＜d＜1＜a＜b.‎ 在x轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；‎ 在x轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大．‎ ‎(无论在x轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大)‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是(　　)‎ 解析：选B　当x>1时，f(x)＝ln(x－1)，‎ 又f(x)的图象关于x＝1对称，故选B.‎ ‎2.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)‎ A．0＜a－1＜b＜1　 B．0＜b＜a－1＜1‎ C．0＜b－1＜a＜1 D．0＜a－1＜b－1＜1‎ 解析：选A　令g(x)＝2x＋b－1，这是一个增函数，‎ 而由图象可知函数f(x)＝loga(g(x))是单调递增的，所以必有a＞1.‎ 又由函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，‎ 即－1＜f(0)＜0，所以－1＜logab＜0，‎ 故a－1＜b＜1，因此0＜a－1＜b＜1.‎ 　　　　 高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有.,常见的命题角度有：‎ (1)比较对数值的大小；‎ (2)简单对数不等式的解法；‎ (3)对数函数的综合问题.‎ ‎[题点全练]‎ 角度(一)　比较对数值的大小 ‎1．已知a＝log29－log2，b＝1＋log2，c＝＋log2，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A．a>b>c　　　　　　 B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a 解析：选B　a＝log29－log2＝log23，‎ b＝1＋log2＝log22，c＝＋log2＝log2，‎ 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，‎ 且2>3>，所以b>a>c.‎ ‎[题型技法]‎ 比较对数值大小的方法 若底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论 若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较 角度(二)　简单对数不等式的解法 ‎2．已知不等式logx(2x2＋1)b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：选A　由对数函数的性质可得a＝log‎0.30.2‎>log0.30.3＝1，b＝logπ3∈(0,1)，c＝log0.3e<0，所以a>b>c.‎ ‎2．设函数f(x)＝则满足不等式f(x)≤2的实数x的取值集合为________．‎ 解析：原不等式等价于或解得≤x≤1或1＜x≤4，即实数x的取值集合为.‎ 答案： ‎3．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：当a＞1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，‎ 由f(x)＞1在[1,2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－‎2a)＞1，‎ 解得1＜a＜，当0＜a＜1时，f(x)在[1,2]上是增函数，‎ 由f(x)＞1在[1,2]上恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)＞1，‎ 且8－‎2a＞0，故不存在实数a满足题意．‎ 综上可知，实数a的取值范围是.‎ 答案： ‎(一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 ‎1．函数y＝的定义域是(　　)‎ A．[1,2]　　　　　　　　 B．[1,2)‎ C. D. 解析：选C　由 即解得x≥.‎ ‎2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)‎ A．log2x B. C．logx D．2x－2‎ 解析：选A　由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，‎ ‎∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.‎ ‎∴f(x)＝log2x.‎ ‎3．如果logxy>1.‎ ‎4．若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)‎ 解析：选A　由函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|0＜y≤1}，知0＜a＜1，由此可知y＝loga|x|的图象大致是A.‎ ‎5．设函数f(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　)‎ A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)f(2)．‎ ‎6．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)＝(　　)‎ A．2 B．－2‎ C. D．－ 解析：选D　∵f(x)＝lg的定义域为－1c.‎ ‎2.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)‎ A．a>1，c>1　 　 B．a>1,01　 　 D．00，所以x＞0或x＜－.当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)＞0，所以a＞1，又M＝x2＋x图象的对称轴为x＝－，且开口向上，故由复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．‎ ‎4．设‎2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.‎ 解析：因为‎2a＝5b＝m，‎ 所以a＝log‎2m，b＝log‎5m，‎ 所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝.‎ 答案： ‎5．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________________．‎ 解析：由f(a)＞f(－a)得 或 即或 解得a＞1或－1＜a＜0.‎ 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)‎ ‎6．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值．‎ 解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，‎ ‎∴a＝2.‎ 由得－1＜x＜3，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．‎ ‎(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)‎ ‎＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，‎ ‎∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；‎ 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，‎ 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.‎ ‎7．已知函数f(x)＝loga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1.‎ ‎(1)当a＝2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；‎ ‎(2)若存在实数m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]时，函数f(x)的值域也为[m，n]，求t的取值范围．‎ 解：(1)∵log2(22x＋t)＜x＝log22x，∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，即t≥－22x＋2x＝g(x)恒成立，即t≥g(x)max，‎ ‎∵g(x)＝－22x＋2x＝－2＋，‎ ‎∴当2x＝，即x＝－1时，g(x)取得最大值，‎ ‎∴t≥，故t的取值范围为.‎ ‎(2)由题意知f(x)＝loga(a2x＋t)在[m，n]上是单调增函数，‎ ‎∴即问题等价于关于k的方程a2k－ak＋t＝0有两个不相等的实根，令ak＝u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2－u＋t＝0在u∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即即得0＜t＜.‎ ‎∴t的取值范围为.‎ C级——重难题目自主选做 ‎1．(2018·广东省级名校模拟)已知函数f(x)＝(ex－e－x)x，f(log5x)＋f(logx)≤‎2f(1)，则x的取值范围是(　　)‎ A. B．[1,5]‎ C. D.∪[5，＋∞)‎ 解析：选C　∵f(x)＝(ex－e－x)x，‎ ‎∴f(－x)＝－x(e－x－ex)＝(ex－e－x)x＝f(x)，‎ ‎∴函数f(x)是偶函数．‎ ‎∵f′(x)＝(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)＞0在(0，＋∞)上恒成立．‎ ‎∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎∵f(log5x)＋f(logx)≤‎2f(1)，‎ ‎∴‎2f(log5x)≤‎2f(1)，即f(log5x)≤f(1)，‎ ‎∴|log5x|≤1，∴≤x≤5.故选C.‎ ‎2．(2018·沈阳质检)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.‎ 解析：f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得则所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log‎3m2‎＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.‎ 答案：9‎ ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)‎ A．log2x　　　　　　　　　　 B. C．logx D．2x－2‎ 解析：选A　由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，‎ ‎∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x.‎ ‎2.若函数f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为(　　)‎ A．[1,2) B．[1,2]‎ C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)‎ 解析：选A　令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．‎ ‎3.(2018·广东韶关南雄模拟)函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图象大致为(　　)‎ 解析：选C　∵f(2)＝4，∴‎2a＝4，解得a＝2，∴g(x)＝|log2(x＋1)|＝∴当x≥0时，函数g(x)‎ 单调递增，且g(0)＝0；当－1c.‎ ‎5.已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　当00，即0<－a<1，‎ 解得1时，函数f(x)在区间上是增函数，‎ 所以loga(1－a)>0，‎ 即1－a>1，解得a<0，此时无解．‎ 综上所述，实数a的取值范围是.‎ ‎6．已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则logba＝________.‎ 解析：f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．‎ 则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0，且f(0)＝loga(0＋b)＝1，‎ 所以即所以logba＝1.‎ 答案：1‎ ‎7.函数f(x)＝log2 ·log(2x)的最小值为________．‎ 解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.‎ 答案：－ ‎8．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________________．‎ 解析：由f(a)＞f(－a)得 或 即或 解得a＞1或－1＜a＜0.‎ 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)‎ ‎9.已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数．‎ ‎(1)求a的值与函数f(x)的定义域；‎ ‎(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)∵函数f(x)＝log2是奇函数，‎ ‎∴f(－x)＝－f(x)，‎ ‎∴log2＝－log2，‎ 即log2＝log2，‎ ‎∴a＝1，f(x)＝log2.‎ 令>0，得或 解得x<－1或x>1.‎ ‎∴函数f(x)的定义域为{x|x<－1或x>1}．‎ ‎(2)∵f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，‎ 当x>1时，x＋1>2，∴log2(1＋x)>log22＝1.‎ ‎∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，‎ ‎∴m≤1.‎ ‎∴m的取值范围是(－∞，1]．‎ ‎10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)解不等式f(x2－1)>－2.‎ 解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．‎ 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．‎ 所以函数f(x)的解析式为 f(x)＝ ‎(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，‎ 所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．‎ 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，‎ 所以|x2－1|<4，解得－0，所以x＞0或x＜－.当x∈时，M∈(1，＋∞)，f(x)＞0，所以a＞1，又M＝x2＋x图象的对称轴为x＝－，且开口向上，故由复合函数的单调性知，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．‎ ‎2.设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)‎ A．x1x2＜0 B．x1x2＝0‎ C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1‎ 解析：选D　作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象如图所示．‎ 显然x1＜0，x2＜0.‎ 不妨设x1＜x2，‎ 则x1＜－1，－1＜x2＜0，‎ 所以10x1＝lg(－x1)，‎ ‎10x2＝－lg(－x2)，‎ 此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，‎ 由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1.‎ ‎3．设‎2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.‎ 解析：因为‎2a＝5b＝m，‎ 所以a＝log‎2m，b＝log‎5m，‎ 所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝.‎ 答案： ‎4．(2018·沈阳质检)已知函数f(x)＝|log 3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.‎ 解析：f(x)＝|log3x|＝所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得则 所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log‎3m2‎＝2，解得m＝，则n＝3，所以＝9.‎ 答案：9‎ ‎5．已知函数f(x)＝loga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1.‎ ‎(1)当a＝2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；‎ ‎(2)若存在实数m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]时，函数f(x)的值域也为[m，n]，求t的取值范围．‎ 解：(1)∵log2(22x＋t)＜x＝log22x，∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，即t≥－22x＋2x＝g(x)恒成立，即t≥g(x)max，∵g(x)＝－22x＋2x＝－2＋，‎ ‎∴当2x＝，即x＝－1时，g(x)取得最大值，‎ ‎∴t≥，故t的取值范围是.‎ ‎(2)由题意知f(x)＝loga(a2x＋t)在[m，n]上是单调增函数，‎ ‎∴即问题等价于关于k的方程a2k－ak＋t＝0有两个不相等的实根，令ak＝u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2－u＋t＝0在u∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即即得0＜t＜.‎ ‎∴t的取值范围为.‎ ‎6.已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.‎ ‎(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；‎ ‎(2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．‎ 解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，‎ 因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，‎ 故函数h(x)的值域为[0,2]．‎ ‎(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，‎ 得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，‎ 令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]，‎ 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立，‎ ‎①当t＝0时，k∈R；‎ ‎②当t∈(0,2]时，k<恒成立，‎ 即k<4t＋－15，‎ 因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，‎ 所以4t＋－15的最小值为－3.所以k<－3.‎ 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．‎