• 692.50 KB
  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习人教A版 基本不等式 学案

  • 9页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
基本不等式 ‎【考纲要求】‎ ‎1.了解基本不等式的证明过程,理解基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;‎ ‎2.会用基本不等式解决最大(小)值问题.‎ ‎3.会应用基本不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题 ‎【知识网络】‎ 基本不等式 重要不等式 最大(小)值问题 基本不等式 基本不等式的应用 ‎ ‎扩充不等式 绝对值不等式 柯西不等式 ‎【考点梳理】‎ 考点一:两个重要不等式及几何意义 ‎1.重要不等式:‎ 如果,那么(当且仅当时取等号“=”).‎ ‎2.基本不等式:‎ 如果是正数,那么(当且仅当时取等号“=”).‎ 要点诠释:和两者的异同:‎ ‎(1)成立的条件是不同的:前者只要求都是实数,而后者要求都是正数;‎ ‎(2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当时取等号”。‎ ‎(3)可以变形为:,可以变形为:.‎ ‎3.如图,是圆的直径,点是上的一点,,,过点作交圆于点D,连接、.‎ 易证,那么,即.‎ 这个圆的半径为,它大于或等于,即,其中当且仅当点与圆心重合,即时,等号成立.‎ 要点诠释:1.在数学中,我们称为的算术平均数,称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.‎ ‎2.如果把看作是正数的等差中项,看作是正数的等比中项,那么基本不等式可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.‎ 要点二、用基本不等式求最大(小)值 在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等。‎ ‎① 一正:函数的解析式中,各项均为正数;‎ ‎② 二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;‎ ‎③ 三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值。‎ 要点三、几个常见的不等式 ‎1),当且仅当a=b时取“=”号。‎ ‎2),当且仅当a=b 时取“=”号。‎ ‎3);特别地:;‎ ‎4) ‎ ‎5);‎ ‎6);‎ ‎7)‎ 要点四、绝对值不等式的性质   1.;‎ ‎2.;‎ 要点五、柯西不等式 ‎1. 二维形式的柯西不等式:‎ ‎(1)向量形式:‎ 设是两个向量,则,当且仅当是零向量或存在实数k,使时,等号成立。‎ ‎(2)代数形式:‎ ①若a、b、c、d都是实数,则,当且仅当ac=bd时,等号成立;‎ ②若a、b、c、d都是正实数,则,当且仅当ac=bd时,等号成立;‎ ③若a、b、c、d都是实数,则,当且仅当ac=bd时,等号成立;‎ 要点诠释:柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示;‎ ‎(3)三角形式:‎ 设,则。‎ ‎2. 三维形式的柯西不等式(代数形式):‎ 若都是实数,则,当且仅当或存在实数k,使得时,等号成立。‎ ‎3. 一般形式的柯西不等式(代数形式):‎ 若都是实数,则 ‎,‎ 当且仅当或存在实数k,使得时,等号成立。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一:基本不等式求最值问题 基本不等式394847 基础练习二】‎ 例1.设,则的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【解析】‎ 当且仅当即时取等号.‎ ‎【答案】D 举一反三:‎ ‎【变式1】已知, 且,求的最小值及相应的值.‎ ‎【解析】∵, ∴, 又,‎ ‎∴ ‎ 当且仅当即时取等号 ‎∴ 当时,取最小值.‎ ‎【变式2】求下列函数的最大(或最小)值.‎ ‎(1); ‎ ‎ (2), ; ‎ ‎(3) ,‎ ‎(4) , ; ‎ ‎(5),‎ ‎【解析】(1)∵ ,∴,∴‎ 当且仅当,即时取等号 ‎ ‎∴时, ‎ ‎(2) ∵,∴‎ 当且仅当即时,.‎ ‎(3) ∵,∴‎ ‎∴‎ 当且仅当即时,.‎ ‎(4) ∵,∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 当且仅当 即时,.‎ ‎(5) ∵,∴‎ ‎∴‎ 当且仅当即时,‎ ‎【变式3】已知且,求的最小值.‎ ‎【解析】方法一:且 ‎∴‎ ‎(当且仅当即时等号成立). ‎ ‎∴的最小值是16. ‎ 方法二:由,得,‎ ‎∵,∴‎ ‎∴‎ 当且仅当即时取等号,此时 ‎ ‎∴的最小值是16.‎ 方法三:由得,∴‎ ‎∴‎ 当且仅当时取等号,‎ ‎∴的最小值是16.‎ 类型二:利用基本不等式证明不等式 例2.已知,,,求证:,,中至少有一个小于等于.‎ 证明:假设 则有 ‎ 〔*〕‎ ‎ 又∵‎ 与〔*〕矛盾 举一反三:‎ ‎【变式1】已知、、都是正数,求证:‎ ‎【解析】∵、、都是正数 ‎∴ (当且仅当时,取等号) ‎ ‎ (当且仅当时,取等号)‎ ‎ (当且仅当时,取等号) ‎ ‎∴(当且仅当时,取等号)‎ 即.‎ ‎【变式2】已知、都是正数,求证:。‎ ‎【解析】∵、都是正数 ,∴,,‎ ‎∴(当且仅当即时,等号成立)‎ 故.‎ 类型三:基本不等式在实际问题中的应用 ‎【例4】(2015春 贵阳校级期末)某单位建造一间靠墙的小房,地面面积为,房屋正面每平方米造价为1200元,房屋侧面每平方米造价为800元,屋顶的造价为5800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面和地面的费用,设房屋正面地面的边长为xm,房屋的总造价为y元.‎ ‎ (1)求y用x表示的函数关系式.‎ ‎(2)怎样设计房屋能使总造价最低?最低造价是多少?‎ ‎【解析】(1)如图所示,设底面的长为xm,宽为ym,则 设房屋总造价为由题意可得:‎ ‎ ‎ ‎(2)‎ 当且仅当x=4时取等号.‎ 答:当底面的长宽分别为4m,3m时,可使房屋总造价最低,总造价是34600元.‎ 举一反三:‎ ‎【变式】(2018 南昌其中)新建一个娱乐场的费用时50万元,每年的固定费用(水、电费、员工工资等)4.5万元,年维修费用第一年1万元,以后逐年递增1万元,问该娱乐场使用多少年时,它的平均费用最少?‎ ‎【解析】设使用x年时,平均费用最少,平均费用为y万元,所以总维修费用为万元,则:‎ 当且仅当时,即x=10时等号成立.所以娱乐场使用10年时,它的平均费用最少.‎ 类型四:利用绝对值不等式求最值 例5. 不等式对恒成立,则实数的取值范围是 ;‎ ‎【解析】设,则对恒成立,‎ ‎∵ , ‎ ‎∴的最小值为,‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】求的最值 ‎【解析】由得:,‎ ‎∴‎ ‎∴的最小值为,最大值为6. ‎ ‎【变式2】不等式对恒成立,则常数的取值范围是 ;‎ ‎【解析】设,则对恒成立,‎ ‎∵ , ‎ ‎∴的最大值为,‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ 类型五:利用柯西不等式求最值 例6. 设,求函数的最大值.‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴根据柯西不等式 ‎ ‎,‎ 故.‎ 当且仅当,即时等号成立,‎ 此时,‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】求函数的最大值.‎ ‎【解析】函数的定义域为[1,5],且y>0,‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当时,等号成立, ‎ ‎ 即时函数取最大值,最大值为.‎

相关文档