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- 2021-06-16 发布
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基本不等式
【考纲要求】
1.了解基本不等式的证明过程,理解基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;
2.会用基本不等式解决最大(小)值问题.
3.会应用基本不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题
【知识网络】
基本不等式
重要不等式
最大(小)值问题
基本不等式
基本不等式的应用
扩充不等式
绝对值不等式
柯西不等式
【考点梳理】
考点一:两个重要不等式及几何意义
1.重要不等式:
如果,那么(当且仅当时取等号“=”).
2.基本不等式:
如果是正数,那么(当且仅当时取等号“=”).
要点诠释:和两者的异同:
(1)成立的条件是不同的:前者只要求都是实数,而后者要求都是正数;
(2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当时取等号”。
(3)可以变形为:,可以变形为:.
3.如图,是圆的直径,点是上的一点,,,过点作交圆于点D,连接、.
易证,那么,即.
这个圆的半径为,它大于或等于,即,其中当且仅当点与圆心重合,即时,等号成立.
要点诠释:1.在数学中,我们称为的算术平均数,称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把看作是正数的等差中项,看作是正数的等比中项,那么基本不等式可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
要点二、用基本不等式求最大(小)值
在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等。
① 一正:函数的解析式中,各项均为正数;
② 二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;
③ 三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值。
要点三、几个常见的不等式
1),当且仅当a=b时取“=”号。
2),当且仅当a=b 时取“=”号。
3);特别地:;
4)
5);
6);
7)
要点四、绝对值不等式的性质
1.;
2.;
要点五、柯西不等式
1. 二维形式的柯西不等式:
(1)向量形式:
设是两个向量,则,当且仅当是零向量或存在实数k,使时,等号成立。
(2)代数形式:
①若a、b、c、d都是实数,则,当且仅当ac=bd时,等号成立;
②若a、b、c、d都是正实数,则,当且仅当ac=bd时,等号成立;
③若a、b、c、d都是实数,则,当且仅当ac=bd时,等号成立;
要点诠释:柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示;
(3)三角形式:
设,则。
2. 三维形式的柯西不等式(代数形式):
若都是实数,则,当且仅当或存在实数k,使得时,等号成立。
3. 一般形式的柯西不等式(代数形式):
若都是实数,则
,
当且仅当或存在实数k,使得时,等号成立。
【典型例题】
类型一:基本不等式求最值问题
基本不等式394847 基础练习二】
例1.设,则的最小值是
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】
当且仅当即时取等号.
【答案】D
举一反三:
【变式1】已知, 且,求的最小值及相应的值.
【解析】∵, ∴, 又,
∴
当且仅当即时取等号
∴ 当时,取最小值.
【变式2】求下列函数的最大(或最小)值.
(1);
(2), ;
(3) ,
(4) , ;
(5),
【解析】(1)∵ ,∴,∴
当且仅当,即时取等号
∴时,
(2) ∵,∴
当且仅当即时,.
(3) ∵,∴
∴
当且仅当即时,.
(4) ∵,∴
∴
当且仅当 即时,.
(5) ∵,∴
∴
当且仅当即时,
【变式3】已知且,求的最小值.
【解析】方法一:且
∴
(当且仅当即时等号成立).
∴的最小值是16.
方法二:由,得,
∵,∴
∴
当且仅当即时取等号,此时
∴的最小值是16.
方法三:由得,∴
∴
当且仅当时取等号,
∴的最小值是16.
类型二:利用基本不等式证明不等式
例2.已知,,,求证:,,中至少有一个小于等于.
证明:假设 则有
〔*〕
又∵
与〔*〕矛盾
举一反三:
【变式1】已知、、都是正数,求证:
【解析】∵、、都是正数
∴ (当且仅当时,取等号)
(当且仅当时,取等号)
(当且仅当时,取等号)
∴(当且仅当时,取等号)
即.
【变式2】已知、都是正数,求证:。
【解析】∵、都是正数 ,∴,,
∴(当且仅当即时,等号成立)
故.
类型三:基本不等式在实际问题中的应用
【例4】(2015春 贵阳校级期末)某单位建造一间靠墙的小房,地面面积为,房屋正面每平方米造价为1200元,房屋侧面每平方米造价为800元,屋顶的造价为5800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面和地面的费用,设房屋正面地面的边长为xm,房屋的总造价为y元.
(1)求y用x表示的函数关系式.
(2)怎样设计房屋能使总造价最低?最低造价是多少?
【解析】(1)如图所示,设底面的长为xm,宽为ym,则
设房屋总造价为由题意可得:
(2)
当且仅当x=4时取等号.
答:当底面的长宽分别为4m,3m时,可使房屋总造价最低,总造价是34600元.
举一反三:
【变式】(2018 南昌其中)新建一个娱乐场的费用时50万元,每年的固定费用(水、电费、员工工资等)4.5万元,年维修费用第一年1万元,以后逐年递增1万元,问该娱乐场使用多少年时,它的平均费用最少?
【解析】设使用x年时,平均费用最少,平均费用为y万元,所以总维修费用为万元,则:
当且仅当时,即x=10时等号成立.所以娱乐场使用10年时,它的平均费用最少.
类型四:利用绝对值不等式求最值
例5. 不等式对恒成立,则实数的取值范围是 ;
【解析】设,则对恒成立,
∵ ,
∴的最小值为,
∴实数的取值范围是.
举一反三:
【变式1】求的最值
【解析】由得:,
∴
∴的最小值为,最大值为6.
【变式2】不等式对恒成立,则常数的取值范围是 ;
【解析】设,则对恒成立,
∵ ,
∴的最大值为,
∴实数的取值范围是.
类型五:利用柯西不等式求最值
例6. 设,求函数的最大值.
【解析】∵
∴根据柯西不等式
,
故.
当且仅当,即时等号成立,
此时,
举一反三:
【变式1】求函数的最大值.
【解析】函数的定义域为[1,5],且y>0,
当且仅当时,等号成立,
即时函数取最大值,最大值为.