云南省昆明市东川区明月中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题 12页

‎2019年春季学期高二年级期中考试理科数学试题 ‎（考试时间：120分钟 满分：150分）‎ 第I卷（选择题)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,　x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（ ）‎ A．｛0，1，2｝ B．｛-1，0，1，2｝　‎ C．{-1，0，2，3} D．{0，1，2，3}‎ ‎2．若复数，其中为虚数单位，则它的共轭复数为（ ）‎ A．　　　　B．　　　　‎ C．　　　　D．‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）‎ A．　　 B． C．　　　 D．‎ ‎4．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A．20 ‎ B．24 ‎ C．28 ‎ D．32‎ ‎5．已知满足的约束条件则的最小值等于（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如11=2（mod3）.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎7．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩近似服从正态分布，且.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ）‎ A．60 B．80 C．100 D．120‎ ‎8．下列选项中，说法正确的是（ ） ‎ A．命题“，”的否定为“，”；‎ B．命题“在中，，则”的逆否命题为真命题；‎ C．已知、m是两条不同的直线，是个平面，若，则；‎ D．已知定义在R上的函数，则“为奇函数”是“”的充分必要条件。‎ ‎9．已知直线与圆 相交于两点，且（其中为原点），那么的值是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．已知都为锐角，若，，则的值为（　　）‎ A. 　　 B. 　　‎ C. 　　 D. ‎ ‎11．公差不为0的等差数列的部分项构成等比数列，且，，，则为（ ）‎ A．20 B．22 ‎ C．24 D．28‎ ‎12.已知F1，F2为双曲线C的左，右焦点，过F1的直线分别交C的左，右两支于A，B两点，若△AF2B为等腰直角三角形，且∠AF2B=90°，那么C的离心率为（ ）‎ A．2 B． ‎ C．3 D．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．的展开式中，x3的系数是__________.（用数字填写答案）‎ ‎14．设，向量，，，且，，则=__________‎ ‎15．若是抛物线上的动点，点在以点为圆心，半径等于1的圆上运动．则的最小值为__________．‎ ‎16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________。‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本题10分）设的内角的对边分别为已知 ‎（1）求；‎ ‎（2）若求的面积.‎ ‎18．（本题12分）在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户.‎ 若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；‎ 若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.‎ ‎（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；‎ ‎（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3‎ 户中乙村的户数，求的分布列和数学期望；‎ ‎（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）.‎ ‎19．（本题12分）如下图，在四棱柱中，点分别为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若四棱柱是长方体，且，求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎20．（本题12分）已知数列的前项和为，若，且．‎ ‎（1）求证：为等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎21．（本题12分）已知函数，直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．‎ ‎（1）求的表达式；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．‎ ‎22．（本题12分）已知点，点是圆上的一个动点，线段的垂直平分线与直线的交点为.‎ ‎（1）求点的轨迹C的方程；‎ ‎（2）过点且斜率不为0的直线与C交于两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求面积的最大值.‎ ‎2019年春季学期高二年级期中考试理科数学答案 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D C A C D C C A B D 二、填空题（本大题共小题，共分）‎ ‎13. 14. 15‎ ‎15. 3 16. ‎ ‎17.解析:‎ ‎（1）由已知以及正弦定理可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（I）以及余弦定理可得 . ‎ ‎ . ‎ ‎18.解析：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，‎ 所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为 ‎（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，‎ 的可能值为0，1，2，3.从而 ‎， ，‎ ‎， .‎ 所以的分布列为：‎ 故的数学期望.‎ ‎（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.‎ ‎19.解析：（1）设的中点为，连接、.‎ ‎∵为的中点，∴，且.‎ 又∵为四棱柱的棱的中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形.∴.‎ 又∵平面， 平面，∴平面.‎ ‎（2）根据四棱柱是长方体，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由已知得.‎ ‎，设平面的一个法向量为，‎ 则.‎ ‎∴取，解得 ‎∴是平面的一个法向量.‎ 由已知容易得到是平面的一个法向量.‎ 设平面与平面所成二面角的大小为，则.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴平面与平面所成二面角的正弦值为.‎ 20. 解析：（1）当n=1时，‎ ‎，得：，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴是以为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1）得，即，‎ ‎∴‎ ‎∴ ①‎ ‎ ②‎ ‎①- ②得：‎ ‎∴．‎ ‎21.解析：（1），‎ 由的最小值为可得 最小正周期，，∴，∴． ‎ ‎（2）将的图象向右平移个单位后，得到 的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象．∴ 令，∵，∴，，在区间上有且只有一个实数解，即函数与在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图像可知或，∴或． ‎ ‎22．解：（1）由已知得： ，所以 又,所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，‎ 所以点轨迹C的方程是.‎ ‎（2）当存在时，设直线， ，则，‎ 联立直线与椭圆得，‎ 得，∴，‎ ‎∴，所以直线，‎ 令，得，‎ 所以直线过定点，（当不存在时仍适合）‎ 的面积 ，当且仅当 时，等号成立.‎ 所以面积的最大值是.‎