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  • 2021-06-16 发布

内蒙古自治区乌兰察布市集宁一中2020届高三上学期期中考试数学(理)试题

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集宁一中西校区2019—2020年第一学期期中考试 高三年级理科数学试卷 第Ⅰ卷客观题(共60分)‎ 一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)‎ ‎1.下列各组集合中,表示同一集合的是( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合相等的要求,对四个选项进行判断,得到答案.‎ ‎【详解】A选项中,,,集合、都是点集,但集合里的元素是点,集合里的元素是点,所以集合、不是同一集合;‎ B选项中,集合、都是数集,并且它们的元素都相同,所以时同一集合;‎ C选项中,集合是点集、集合是数集,所以集合、不是同一集合;‎ D选项中,集合数集、集合是点集,集合、不是同一集合.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查相同集合的判断,属于简单题.‎ ‎2.已知复数 (其中是虚数单位),那么的共轭复数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 复数 的共轭复数是.‎ 故选A.‎ ‎3.下列命题错误的是 A. 命题“若则”与命题“若,则”互为逆否命题 B. 命题“R, ”否定是“,”‎ C. 且,都有 D. “若,则”的逆命题为真 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对给出的四个选项分别进行判断可得结果.‎ ‎【详解】对于选项A,由逆否命题的定义可得,命题“若则”的逆否命题为“若,则”,所以A正确.‎ 对于选项B,由含量词的命题的否定可得,命题“R, ”的否定是“,”,所以B正确.‎ 对于选项C,当且时,由基本不等式可得.所以C正确.‎ 对于选项D,命题“若,则”当时不成立,所以D不正确.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】由于类似问题考查的内容较多,解题的关键是根据每个命题对应的知识解决,要求对相关知识要有一个整体性的掌握,本题考查综合运用知识解决问题的能力.‎ ‎4.已知,,,则实数,,的大小关系为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ 故选.‎ ‎5.设向量,,则“”是“”的 A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用充要条件的判断方法进行判断即可.‎ ‎【详解】若,则,,则;但当时, ‎ 故“”是“”的充分但不必要条件.‎ 选A.‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件条件的判断,属基础题.‎ ‎6.要得到的图象,只需将的图象 ( )‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先明确变换前后的解析式,然后按照平移规则可求.‎ ‎【详解】将的图象向左平移个单位后,得到的图象,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数图象的变换,注意x的系数对平移单位的影响.‎ ‎7.函数的图象如图所示,则y的表达式为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像最大值和最小值可得,根据最大值和最小值的所对应的的值,可得周期,然后由,得到,代入点,结合的范围,得到答案.‎ ‎【详解】根据图像可得,,即,‎ 根据,得,‎ 所以,‎ 代入,得,‎ 所以,,‎ 所以,‎ 又因,所以得,‎ 所以得到,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式,属于简单题.‎ ‎8.函数在R上单调递减,且为奇函数.若,则满足的x的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据奇函数,可得,再由单调性,求得的范围,解得的范围.‎ ‎【详解】因为为奇函数,且,‎ 所以,‎ 因为函数在R上单调递减,‎ 所以,‎ 可得,‎ 所以,‎ 故满足要求的的取值范围为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的性质,根据函数的单调性解不等式,属于简单题.‎ ‎9.若,则=( )‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所求的关系式的分母“‎1”‎化为(cos2α+sin2α),再将“弦”化“切”即可得到答案.‎ ‎【详解】tanα,‎ ‎∴cos2α+2sin2α ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简求值,“弦”化“切”是关键,是基础题.‎ ‎10.已知等比数列的公比,且,,则数列的前n项和( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的下标公式,得到,结合,解得和的值,然后得到公比和首项,从而得到其前项和.‎ ‎【详解】等比数列中,有,‎ 而,‎ 可得或者 根据公比可知{}是递增数列,‎ 所以,‎ 可得,,‎ 所以前n项和,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列下标公式,等比数列通项基本量计算,等比数列求和公式,属于简单题.‎ ‎11.函数的极值点所在的区间为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数,然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间.‎ ‎【详解】∵,‎ ‎∴,且函数单调递增.‎ 又,‎ ‎∴函数在区间内存在唯一的零点,‎ 即函数的极值点在区间内.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用,解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零点,同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时,该零点才为极值点,否则导函数的零点就不是极值点.‎ ‎12.定义在上的偶函数满足,且当时,,函数是定义在上的奇函数,当时,,则函数的零点的的个数是( )‎ A. 9 B. ‎10 ‎C. 11 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,得出,转化为函数与函数图象的交点个数,然后作出两个函数的图象,观察图像即可。‎ ‎【详解】由于,所以,函数的周期为,且函数为偶函数,‎ 由,得出,问题转化为函数与函数图象的交点个数,作出函数与函数的图象如下图所示,‎ 由图象可知,,当时,,‎ 则函数与函数在上没有交点,‎ 结合图像可知,函数与函数图象共有11个交点,故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点个数,有两种做法:一是代数法,解代数方程;二是图象法,转化为两个函数的公共点个数,在画函数的图象是,要注意函数的各种性质,如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现,属于中等题。‎ 第Ⅱ卷主观题(共90分)‎ 二、填空题(每小题5分共20分)‎ ‎13.已知数列满足,,则数列的通项公式为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 待定系数得到,得到 ‎【详解】因为满足,‎ 所以,‎ 即,得到,‎ 所以,‎ 而,‎ 故是以为首项,为公比的等比数列,‎ 所以,‎ 故.‎ 故答案为:.‎ 点睛】本题考查由递推关系求数列通项,待定系数法构造新数列求通项,属于中档题.‎ ‎14.已知,则=_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 换元法:令,解出,再将代入,得,从而可得.‎ ‎【详解】令,则,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了用换元法求函数解析式,换元时,一定要注意新元的取值范围,属中档题.‎ ‎15.若函数的定义域是R, 则的取值范围是.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数的定义域是R,则在R上恒成立,‎ 当时满足题意;‎ 当时,,解得.‎ 综上:的取值范围是.‎ ‎16.函数在上单调递增,则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据单调性及最值可得,分为和两种情形,求出函数的导数,根据函数的单调性得到关于的不等式,解出取并集即可.‎ ‎【详解】由题意得,,‎ ‎①时,,‎ 即,,‎ 因此;‎ ‎②时,,‎ 即,‎ 因此,‎ 综上可得,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,分类讨论的数学思想,是一道综合题.‎ 三、简答题:(共70分)‎ ‎17.已知函数 ‎(1)求函数的最小正周期;‎ ‎(2)求函数在区间上的最大最小值及相应的值.‎ ‎【答案】(1);(2)当时,;当时,。‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析:(1直接利用二倍角公式变形,再由辅助角公式化简即可求函数的最小正周期; (II)结合已知条件求出,进而可求出函数在区间上的最大最小值及相应的值.‎ 详解:‎ ‎(1)‎ 所以的最小正周期是 ‎(2)因为,‎ 所以,‎ 所以 当时,‎ 当时,‎ 点睛:本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,是基础题.‎ ‎18.已知等差数列的前项和为,且,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)记,求.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由基本量法,得到,解得,所以;(2),利用裂项相消法,求得。‎ 试题解析:‎ ‎(1),解得,所以;‎ ‎(2),‎ 所以。‎ 点睛:本题考查等差数列的基本性质与裂项相消求和。等差数列的基本题型中,熟悉掌握基本量法的应用,求得基本量,得到相关求解答案。裂项相消求和主要掌握其基本结构,知道哪些求和可以利用裂项来处理的。‎ ‎19.已知、、分别为的三边、、所对的角,向量,,且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,,成等差数列,且,求边的长.‎ ‎【答案】(1);(2)6‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:(1)利用两个向量的数量积公式求得,再由已知可得从而求得C的值;(2)由,,成等差数列,得,由条件利用正弦定理、余弦定理求得c边的长.‎ 试题解析:(1),‎ ‎,‎ ‎;‎ ‎(2)由成等差数列,得,由正弦定理得.‎ ‎,‎ 由余弦定理,‎ ‎.‎ 考点:等差数列的性质;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.‎ ‎20.已知函数, ,曲线的图象在点处的切线方程为.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)当时,求证: ;‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析;‎ ‎【解析】‎ 试题分析:‎ ‎(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.‎ ‎(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.‎ 试题解析:(1)根据题意,得,则.‎ 由切线方程可得切点坐标为,将其代入,得,‎ 故.‎ ‎(2)令.‎ 由,得,‎ 当, , 单调递减;‎ 当, , 单调递增.‎ 所以,所以.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)当时,求在区间上的最值;‎ ‎(2)讨论函数的单调性;‎ ‎(3)当时,有恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)最小值为,最大值为;‎ ‎(2)见解析;‎ ‎(3)(﹣1,0)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数在区间上的极值和端点值,比较后可得最值;(2)根据的不同取值进行分类讨论,得到导函数的符号后可得函数的单调性;(3)当时,求出函数的最小值为,故问题转化为当时恒成立,整理得到关于的不等式,解不等式可得所求范围.‎ ‎【详解】(1)当时,,‎ ‎∴.‎ ‎∴当时,单调递减;当时,单调递增.‎ ‎∴当时,函数取得极小值,也为最小值,且最小值为.‎ 又,,‎ ‎∴.‎ 所以函数在区间上的最小值为,最大值为.‎ ‎(2)由题意得,.‎ ‎①当,即时,恒成立,‎ ‎∴在上单调递减.‎ ‎②当时,恒成立,‎ ‎∴在上单调递增.‎ ‎③当时,,‎ 由得,或(舍去),‎ ‎∴在上单调递减,在上单调递增.‎ 综上可得,当,在上单调递增;‎ 当时,在上单调递减,在单调递增;‎ 当时,在上单调递减.‎ ‎(3)由(2)可得,当时,,‎ 若不等式恒成立,则只需,‎ 即,‎ 整理得,‎ 解得,‎ ‎∴,‎ 又,‎ ‎∴.‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】(1)涉及含参数的单调性或单调区间的问题,一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.‎ ‎(2)解决关于恒成立问题时,一般转化为求函数最值的问题处理.对于含有多个变量的恒成立问题,则可采取逐步消去变量的方法求解,此时需要分清谁是主变量谁是次变量,一般情况下,知道谁的范围谁就是主变量,求谁的范围谁就是参数.‎ ‎22.已知数列的前n项和,其中.‎ ‎(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若,求.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)首先利用公式,得到数列的递推公式,即可得到是等比数列及的通项公式;(Ⅱ)利用(Ⅰ),用表示前项和,结合的值,建立方程可求得的值.‎ 试题解析:(Ⅰ)由题意得,故,,.‎ 由,得,即.由,得,所以.‎ 因此是首项为,公比为的等比数列,于是.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得.由得,即.‎ 解得.‎ ‎【考点】数列的通项与前项和的关系,等比数列的定义、通项公式及前项和.‎ ‎【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法:(1)定义法,即证明(常数);(2)中项法,即证明.根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形,转化为等比数列或等差数列来求解.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎