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- 2021-06-16 发布
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湖南省株洲市醴陵四中2018-2019学年高一下学期期末考试数学试卷
总分:150分 时量:120分钟
一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线x-=0的倾斜角是( )
A.45° B.60°
C.90° D.不存在
2.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2,则实数x的值是( )
A.-3或4 B.-6或2
C.3或-4 D.6或-2
3.圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2-2x-6y-6=0的位置关系是( )
A.相交 B.相离
C.外切 D.内切
4.在同一个直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )
5.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图1所示的几何体,则它的俯视图是( )
6.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2y-2=0相切,则实数m=( )
A.或- B.-或3
C.-3或 D.-3或3
7、已知m是平面α的一条斜线,点A ∉α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形中可能出现的是( )
A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α
C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α
8.已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,若l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1,则m,n的值分别为( )
A.2,7 B.0,8
C.-1,2 D.0,-8
9.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
10.设α、β是两个不同的平面,给出下列命题:
①若平面α内的直线l垂直于平面β内的任意直线,则α⊥β;
②若平面α内的任一直线都平行于平面β,则α∥β;
③若平面α垂直于平面β,直线l在平面α内,则l⊥β;
④若平面α平行于平面β,直线l在平面α内,则l∥β.
其中正确命题的个数是(( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
11 . 一个四面体如图所示,若该四面体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,则它的体积V=( )
A.
B. C. D.
12.过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A、B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( )
A. B.-
C.± D.-
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将正确答案填在题中的横线上)
13.若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点,MN与过直线BC的平面β(不包括△ABC所在平面)的位置关系是________.
14.设m > 0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为________.
15.两条平行线2x+3y-5=0和x+y=1间的距离是________.
16.一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是
____________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知直线l过点A(1,2),且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4,求直线l的方程.
18.(本小题满分12分)右下图是某几何体的三视图,请你指出这个几何体的结构特征,并求出它的表面积与体积.
.19.(本小题满分12分)已知,正三棱柱ABC- A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点.
求证:AB1⊥平面A1BD.
20.(本小题满分12分)已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,
QB分别切⊙M于A,B两点.
(1)若|AB|=,求|MQ|及直线MQ的方程;
(2)求证:直线AB恒过定点.
21.(本小题满分12分)如图,△ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为a的正方形,平面ABED⊥平面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点.
(1)求证:GF∥平面ABC;
(2)求BD与平面EBC所成角的大小;
(3)求几何体EFBC的体积.
22.(12分)已知圆C过坐标原点O,且与x轴、y轴分别交于点A,B,圆心坐标C (t∈R,t≠0).
(1)求证:△AOB的面积为定值;
(2)直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
答案
总分:150分 时量:120分钟
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线x-=0的倾斜角是(C)
A.45° B.60°
C.90° D.不存在
2.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2,则实数x的值是(D)
A.-3或4 B.-6或2
C.3或-4 D.6或-2
3.圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2-2x-6y-6=0的位置关系是(D)
A.相交 B.相离
C.外切 D.内切
4.在同一个直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是(C)
5.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图1所示的几何体,则它的俯视图是(B)
6.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2y-2=0相切,则实数m=(B)
A.或- B.-或3
C.-3或 D.-3或3
7.已知m是平面α的一条斜线,点A ∉α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形中可能出现的是( C )
A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α
C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α
8.已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,若l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1,则m,n的值分别为(B)
A.2,7 B.0,8
C.-1,2 D.0,-8
9.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(A)
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
10.设α、β是两个不同的平面,给出下列命题:
①若平面α内的直线l垂直于平面β内的任意直线,则α⊥β;
②若平面α内的任一直线都平行于平面β,则α∥β;
③若平面α垂直于平面β,直线l在平面α内,则l⊥β;
④若平面α平行于平面β,直线l在平面α内,则l∥β.
其中正确命题的个数是(B)
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
解析:①②④正确,③错,故选B.
11. 一个四面体如图所示,若该四面体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,则它的体积V=(C)
A. B.
C. D.
12.过点(,0)引直线l与曲线y=相交于A、B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( B )
A. B.-
C.± D.-
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将正确答案填在题中的横线上)
13.若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点,MN与过直线BC的平面β(不包括△ABC所在平面)的位置关系是________.
答案:平行
14.设m>0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为________.
解析:圆心到直线的距离为d=,圆的半径为r=,
∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,
∴直线与圆的位置关系是相切或相离.
答案:相切或相离
15.两条平行线2x+3y-5=0和x+y=1间的距离是________.
答案:
16.一个四棱锥的底面为菱形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是
___________.
答案:4
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知直线l过点A(1,2),且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4,求直线l的方程.
解析:解法一 设l:y-2=k(x-1)(k<0),
令x=0,y=2-k.令y=0,x=1-,
S=(2-k)=4,
即k2+4k+4=0.
∴k=-2,
∴l:y-2=-2(x-1),
即l:2x+y-4=0.
解法二 设l:+=1(a>0,b>0),
则
a2-4a+4=0⇒a=2,∴b=4.
直线l:+=1.
∴l:2x+y-4=0.
18.(本小题满分12分)右下图是某几何体的三视图,请你指出这个几何体的结构特征,并求出它的表面积与体积.
解析:此几何体是一个组合体,下半部是长方体,上半部是半圆柱,其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致.
表面积为S.则
S=32+96+48+4π+16π=176+20π,
体积为V,则
V=192+16π,
所以几何体的表面积为176+20π(cm2),体积为192+16π(cm3).
19.(本小题满分12分)已知,正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点.
求证:AB1⊥平面A1BD.
证明:如图,取BC中点O,连接AO.
∵△ABC为正三角形,
∴AO⊥BC.
∵正三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1.
连接B1O,在正方形BB1C1C中,O,D分别为BC,CC1的中点,
∴B1O⊥BD,
∴AB1⊥BD.
又∵在正方形ABB1A1中,AB1⊥A1B,BD∩A1B=B,
∴AB1⊥平面A1BD.
21.(本小题满分12分)已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切⊙M于A,B两点.
(1)若|AB|=,求|MQ|及直线MQ的方程;
(2)求证:直线AB恒过定点.
解:(1)设直线MQ交AB于点P,则|AP|=,
又|AM|=1,AP⊥MQ,AM⊥AQ,
得|MP|==.(2分)
又∵|MQ|=,∴|MQ|=3.(4分)
设Q(x,0),而点M(0,2),由=3,得x=±,
则Q点的坐标为(,0)或(-,0).(6分)
从而直线MQ的方程为2x+y-2=0或2x-y+2=0.(8分)
(2)设点Q(q,0),由几何性质,可知A,B两点在以MQ为直径的圆上,此圆的方程为x(x-q)+y(y-2)=0,而线段AB是此圆与已知圆的公共弦,相减可得AB的方程为qx-2y+3=0,所以直线AB恒过定点.(12分)
21.(本小题满分12分)如图,△ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为a的正方形,平面ABED⊥平面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点.
(1)求证:GF∥平面ABC;
(2)求BD与平面EBC所成角的大小;
(3)求几何体EFBC的体积.
(1)证明:如图
连接EA交BD于F,
∵F是正方形ABED对角线BD的中点,
∴F是EA的中点,
∴FG∥AC.
又FG⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,
∴FG∥平面ABC.
(2)解析:
∵平面ABED⊥平面ABC,
BE⊥AB,∴BE⊥平面ABC.
∴BE⊥AC.
又∵AC=BC=AB,
∴BC⊥AC,
又∵BE∩BC=B,
∴AC⊥平面EBC.
由(1)知,FG∥AC,
∴FG⊥平面EBC,
∴∠FBG就是线BD与平面EBC所成的角.
又BF=BD=,FG=AC=,sin ∠FBG==.
∴∠FBG=30°.
(3)解析:VEFBC=VFEBC=S△EBC·FG=··a···=.
22.(12分)已知圆C过坐标原点O,且与x轴、y轴分别交于点A,B,圆心坐标C(t∈R,t≠0).
(1)求证:△AOB的面积为定值;
(2)直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
(1)证明:由题设知,圆C的方程为
(x-t)2+=t2+,
化简得x2-2tx+y2-y=0.
当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);
当x=0时,y=0或,则B,
∴S△AOB=|OA|·|OB|=|2t|·=4为定值.
(2)解:∵|OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上.
设MN的中点为H,则CH⊥MN,
∴C,H,O三点共线,
则直线OC的斜率k=,∴t=2或t=-2,
∴圆心为C(2,1)或C(-2,-1),
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.
由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去,
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(3)解:点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B'(-4,-2),
则|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|.
又B'到圆上点Q的最短距离为
|B'C|-r==3=2,
∴|PB|+|PQ|的最小值为2,直线B'C的方程为y=x,
则直线B'C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为.