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- 2021-06-16 发布
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2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期期中考试数学试题
一、 选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)
1.命题“存在R,0”的否定是.
A.不存在R,>0 B.存在R,0
C.对任意的,0 D.对任意的,>0
2.已知全集为,集合,,则集合( )
3.如果,那么下列各式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4. 已知函数,则=( )
A. B. C. D.
5.矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将三角形ABC折起,得到的四面体A﹣BCD的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
6.的一个充分但不必要的条件是( )
A. B. C. D.
7.已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题,正确命题的个数是
①若,,,则
②若,,则
③若,,,则
④若,,则//
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知,则的 ( )
A. 最大值为 B.最小值为
C. 最大值为 D.最小值为
9.已知直线m、n及平面,其中m∥n,那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是:(1)一条直线;(2)一个平面;(3)一个点;(4)空集。其中正确的是( )
A.(1)(2)(3) B.(1)(4) C.(1)(2)(4) D.(2)(4)
10.函数,若,,,则有( )
A. B. C. D.
11.设函数,,若,使得和同时成立,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.将边长为2的正△ABC沿着高AD折起,使∠BDC=120°,若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上,则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)
13.已知圆锥的母线长为4cm,圆锥的底面半径为1cm,一只蚂蚁从圆锥的底面A点出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A,则蚂蚁爬行的最短路程长为 cm
14. 已知,则的最小值是
15.若函数在区间上为单调递减函数,则实数的取值范围为___________
16.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17. (本题满分10分)
已知幂函数在上单调递增,函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)当时,记,的值域分别为集合,设命题,命题,若命题是成立的必要条件,求实数的取值范围.
18. (本题满分12分)
解关于的不等式
19.(本题满分12分)
如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是AC的中点,A1D⊥平面ABC,AB=BC,平面BB1D与棱A1C1交于点E.
(Ⅰ)求证:AC⊥A1B;
(Ⅱ)求证:平面BB1D⊥平面AA1C1C;
20. (本题满分12分)
某厂家拟在2019年举行促销活动,经过调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)
(单位:万件)与年促销费用()(单位:万元)满足(为常数). 如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件. 已知2019年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).
(Ⅰ)将该厂家2019年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数;
(Ⅱ)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?
21. (本题满分12分)
如图C,D是以AB为直径的圆上的两点,,F是AB上的一点,且,将圆沿AB折起,使点C在平面ABD的射影E在BD上,已知
(1)求证:AD平面BCE
(2)求证AD//平面CEF;
(3)求三棱锥A-CFD的体积
22.(本题满分12分)
已知函数,若同时满足以下条件:
①在D上单调递减或单调递增;
②存在区间,使在 上的值域是,那么称为闭函数.
(1)求闭函数符合条件②的区间 ;
(2)判断函数是不是闭函数?若是请找出区间;若不是请说明理由;
(3)若是闭函数,求实数的取值范围.
答案和解析
1.D
2. 【答案】D
【解析】
试题分析:,,选D
3.C【分析】根据不等式的性质判断即可.
【解答】解:∵a<b<0,
∴a﹣b<0,a+b<0,>,
∴(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2>0,即a2>b2,
故C正确,A,D不正确
当c=0时,ac=bc,故B不一定正确,
故选:C.
【点评】本题考查了不等式的性质,掌握基本性质是关键,属于基础题.
4.解:由题,选B.
5.【分析】当平面ABC⊥平面ACD时,得到的四面体A﹣BCD的体积取最大值,由此能求出四面体A﹣BCD的体积的最大值.
【解答】解:矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将三角形ABC折起,
当平面ABC⊥平面ACD时,
得到的四面体A﹣BCD的体积取最大值,
此时点B到平面ACD的距离d===,
S△ADC==6,
∴四面体A﹣BCD的体积的最大值为:
V===.
故选:C.
6.B
7. C
8.解析:===≤. 选 A
9.C
10.D
11.【答案】A
【解析】
试题分析:函数的图象恒过定点(1,4),的图象恒过定点(2,0),利用这两个定点,结合图象解决.
由知 ,又存在,使得,
知即或,另中恒过(2,0),
故由函数的图象知:
a=0时,恒大于0,显然不成立.
若时,,;
若a<0时,,
此时函数图象的对称,故函数在区间为增函数,
又不成立.故选A.
考点:一元二次不等式的解法
12.【分析】由题意,将边长为2的正△ABC沿着高AD折起,使∠BDC=120°,可得三棱锥A﹣BCD,且AD垂直于底面△BCD,求解底面△BCD外接圆,利用球心与圆心垂直构造直角三角形即可求解球O的半径,可得球O的表面积.
【解答】解:由题意,将边长为2的正△ABC沿着高AD折起,使∠BDC=120°,可得三棱锥A﹣BCD,且AD垂直于底面△BCD,
底面△BCD中∠BDC=120°,DC=DB=1,那么BC=,
∴底面△BCD外接圆半径:2r=,即r=1.
AD垂直于底面△BCD,AD=,
∴球心与圆心的距离为,
球心与圆心垂直构造直角三角形,
∴球O的半径R2==.
球O的表面积S=4πR2=7π.
故选:B.
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离,需将圆锥的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果.
13.【解答】解:由题意知,底面圆的直径为2,
故底面周长等于2π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°,
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得,2π=,
解得n=90°,
所以展开图中圆心角为90°,
根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是:.
【点评】本题考查蚂蚁爬行的最短路程长的求法,考查圆锥的展开图等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
14.
15. 【分析】因为函数f(x)=loga(x2﹣ax+2)为函数y=logax与y=x2﹣ax+2的复合函数,复合函数的单调性是同则增,异则减,讨论a>1,0<a<1,结合二次函数的单调性,同时还要保证真数恒大于零,由二次函数的图象和性质列不等式即可求得a的范围.
【解答】解:∵函数在区间(﹣∞,1]上为单调递减函数,
∴a>1时,y=x2﹣ax+2在(﹣∞,1]上为单调递减函数,
且x2﹣ax+2>0在(﹣∞,1)上恒成立,
∴需y=x2﹣ax+2在(﹣∞,1]上的最小值1﹣a+2=3﹣a>0,
且对称轴x=a≥1,∴2≤a<3;
0<a<1时,y=x2﹣ax+2在(﹣∞,1]上为单调递增函数,不成立.
综上可得a的范围是[2,3).
16.
17解:(Ⅰ)依题意得:或
当时,在上单调递减,与题设矛盾,舍去
. ……………4分
(Ⅱ)当时,,单调递增,,
由命题是成立的必要条件,得,. ……………10分
18.解:原不等式等价于
(1)当时,解集为
(2)当时,原不等式可化为,
因为,所以解集为
(3)当时,,解集为
(4)当时,原不等式等价于,即,
解集为
(5)当时,,解集为
综上所述,当时,解集为;当时,解集为;
当时,解集为;当时,解集为
说明:每种情况2分,最后综上2分
19.【分析】(Ⅰ)推导出A1D⊥AC,BD⊥AC,从而AC⊥平面A1BD,由此能证明AC⊥A1B.
(Ⅱ)推导出A1D⊥BD,BD⊥AC,从而BD⊥平面A1ACC1,由此能证明平面BB1D⊥平面AA1C1C.
(Ⅲ)推导出B1B∥A1A,从而B1B∥平面A1ACC1,由此能证明B1B∥DE.
【解答】
证明:(Ⅰ)因为 A1D⊥平面ABC,所以 A1D⊥AC.
因为△ABC中,AB=BC,D是AC的中点,所以 BD⊥AC.
因为 A1D∩BD=D,…………………(3分)
所以 AC⊥平面A1BD.
所以 AC⊥A1B.
(Ⅱ) 因为 A1D⊥平面ABC,
因为 BD⊂平面ABC,所以 A1D⊥BD.
由(Ⅰ)知 BD⊥AC.
因为 AC∩A1D=D,
所以 BD⊥平面A1ACC1.
因为 BD⊂平面BB1D,
所以 平面BB1D⊥平面AA1C1C.
20.解:(Ⅰ)由题意有,得 ……………………1分
故
∴
……………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:
当且仅当即时,有最大值. ………11分
答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时,该厂家利润最大. ………12分
21.(本小题满分12分)
(1)证明:依题意:
平面 ∴
∴平面. ………………4分
(2)证明:中,, ∴
中,, ∴.
∴ . ∴
在平面外,在平面内,
∴平面. ………………8分
(3)解:由(2)知,,且
∴到的距离等于到的距离为1. .
平面
∴. ………………12分
22.【分析】(1)由y=﹣x3在R上单减,可得,可求a,b
(2)由函数y=2x+lgx在(0,+∞)单调递增可知即,结合对数函数的单调性可判断
(3)易知y=k+在[﹣2,+∞)上单调递增.设满足条件B的区间为[a,b],则方程组有解,方程x=k+至少有两个不同的解,即方程x2﹣(2k+1)x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根.结合二次方程的实根分布可求k的范围
另解:(1)易知函数f(x)=﹣x3是减函数,则有,可求
(2)取特值说明即可,不是闭函数.
(3)由函数f(x)=k+是闭函数,易知函数是增函数,则在区间[a,b]上函数的值域也是[a,b],说明函数f(x)图象与直线y=x有两个不同交点,结合函数的 图象可求
【解答】解:(1)∵y=﹣x3在R上单减,所以区间[a,b]满足
解得a=﹣1,b=1
(2)∵函数y=2x+lgx在(0,+∞)单调递增
假设存在满足条件的区间[a,b],a<b,则
即
∴lgx=﹣x在(0,+∞)有两个不同的实数根,但是结合对数函数的单调性可知,y=lgx与y=﹣x只有一个交点
故不存在满足条件的区间[a,b],函数y=2x+lgx是不是闭函数
(3)易知y=k+在[﹣2,+∞)上单调递增.设满足条件B的区间为[a,b],则方程组
有解,方程x=k+至少有两个不同的解
即方程x2﹣(2k+1)x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根.
∴得,即所求.
另解:(1)易知函数f(x)=﹣x3是减函数,则有,解得,
(2)∵函数y=2x+lgx在(0,+∞)单调递增
假设存在满足条件的区间[a,b],a<b,则
即
∴lgx=﹣x在(0,+∞)有两个不同的实数根,
但是结合对数函数的单调性可知,y=lgx与y=﹣x只有一个根,
所以,函数y=2x+lgx是不是闭函
(3)由函数f(x)=k+是闭函数,
易知函数是增函数,
则在区间[a,b]上函数的值域也是[a,b],
说明函数f(x)图象与直线y=x有两个不同交点,
令k+
则有k=x﹣=,
(令t=),如图
则直线若有两个交点,则有k.
【点评】本题主要考查了函数的单调性的综合应用,方程的解与函数的交点的相互转化关系的应用,综合应用了函数的知识及数形结合思想、转化思