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  • 2021-06-16 发布

河北省衡水市衡水中学2020届高三上学期期中考试数学(文)试题

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‎2019-2020学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(文科)‎ 一、选择题 ‎1.下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是  ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的定义,可得A,B,D是偶函数,再利用函数单调性的性质,即可得出结论.‎ ‎【详解】根据偶函数的定义,可得A,B,D是偶函数,B在上单调递减,D在上有增有减,A在上单调递增,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性的性质,考查函数的奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.‎ ‎2.等差数列的前项和为,已知.则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 设等差数列的公差为,又,‎ 所以,解得,‎ 所以,故选C.‎ ‎3.已知曲线在点处的切线与直线垂直,则实数的值为(  )‎ A. -4 B. ‎-1 ‎C. 1 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出在点处的切线斜率,然后利用两直线垂直的条件可求出的值.‎ ‎【详解】由题意,,,则曲线在点处的切线斜率为4,由于切线与直线垂直,则,解得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了两直线垂直的性质,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎4.在中,是边上一点,,且,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,用基向量表示,然后与题目条件对照,即可求出.‎ ‎【详解】由在中,是边上一点,,‎ 则,‎ 即,故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用及向量的线性运算.‎ ‎5.已知双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出椭圆的焦点和,所以双曲线方程可设为,所以其渐近线方程为,由题意得双曲线的,再根据其离心率,求出,根据,得到,从而得到双曲线的渐近线方程,求出答案.‎ ‎【详解】因为椭圆,其焦点为和,‎ 因为双曲线与椭圆有相同的焦点,‎ 所以设双曲线的方程为,则其渐近线方程为,‎ 且双曲线中 因为双曲线的离心率,所以,‎ 又因双曲线中 所以,即,‎ 所以双曲线的渐近线方程为 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求,双曲线的渐近线,属于简单题.‎ ‎6.已知角满足,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用诱导公式可求,,再由二倍角公式化简,即可得结果.‎ ‎【详解】,‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式,二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.三角函数求值有三类,(1)“给角求值”;(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种系;(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.‎ ‎7.已知函数的部分图象如图所示,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像最低点求得,根据函数图像上两个特殊点求得的值,由此求得函数解析式,进而求得的值.‎ ‎【详解】根据图像可知,函数图像最低点为,故,所以,将点代入解析式得 ‎,解得,故,所以,故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式,并求三角函数值,属于中档题.‎ ‎8.已知各项不为0的等差数列满足,数列是等比数列且,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可得:,‎ ‎,则:.‎ 本题选择C选项.‎ ‎9.已知点P为双曲线右支上一点,点F1,F2分别为双曲线的左右焦点,点I是△PF‎1F2的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有成立,则双曲线的离心率取值范围是(  )‎ A. (1,) B. (1,2)‎ C. (1,2] D. (1,]‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件和三角形的面积公式,求得的关系式,从而得出离心率的取值范围,得到答案.‎ ‎【详解】设的内切圆的半径为,则 ‎,‎ 因为,所以,‎ 由双曲线定义可知,‎ 所以,即,‎ 又由,所以双曲线的离心率的取值范围是,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中求双曲线的离心率(或范围),常见有两种方法:①求出 ,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程,即可得的值(范围).‎ ‎10.函数向右平移个单位后得到函数,若在上单调递增,则的取值范围是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求函数,再求函数的单调递增区间,区间是函数单调递增区间的子集,建立不等关系求的取值范围.‎ ‎【详解】,‎ 令 ‎ 解得 , ‎ 若上单调递增,‎ ‎ ,解得: ‎ ‎ ‎ 时,.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换,属于中档题型.‎ ‎11.已知函数,若当 时,有解,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数,得到函数的单调性,以及的取值,再由导数的几何意义,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,函数,则导数,‎ 所以函数在上递减,在上递增,‎ 当时,,又由,,,‎ 当 时,有解,即函数和的图象有交点,如图所示,‎ 又因为在点的切线的斜率为,所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及方程的有解问题,着重考查了转化与化归思想、数形结合思想和推理、运算能力,对于方程的有解问题,通常转化为两个函数图象的交点个数,结合图象求解.‎ ‎12.在平面直角坐标系中,圆:,圆:,点,动点,分别在圆和圆上,且,为线段的中点,则的最小值为 A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得,根据向量的运算和两点间的距离公式,求得点的轨迹方程,再利用点与圆的位置关系,即可求解的最小值,得到答案.‎ ‎【详解】设,,,‎ 由得,即,‎ 由题意可知,MN为Rt△AMB斜边上的中线,所以,‎ 则 ‎ 又由,则,‎ 可得,化简得,‎ ‎∴点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆C3,‎ ‎∵M在圆C3内,∴ MN的最小值即是半径减去M到圆心的距离,‎ 即,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用,以及点圆的最值问题,其中解答中根据圆的性质,求得点的轨迹方程,再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13.已知向量,,则在方向上的投影为___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,,得在上的投影为,,求出,代入投影的公式计算即可.‎ ‎【详解】向量,,,,‎ ‎,,‎ 在方向上的投影为,.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义,属于基础题.‎ ‎14.若函数只有一个极值点,则k的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数求导函数,只有一个极值点时只有一个实数解有,设新函数设,,等价转化数形结合法即可得出结论,‎ ‎【详解】函数只有一个极值点,‎ ‎,‎ 若函数只有一个极值点,只有一个实数解,‎ 则:,‎ 从而得到:,‎ 当 时,成立.‎ 当时,设,,‎ 当两函数相切时,,此时得到的最大值,但时不成立.‎ 故的取值范围为:,‎ 综上:的取值范围为:.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式问题的等价转化方法,考查数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,属于中档题.‎ ‎15.已知抛物线E:的焦点为F,准线为l,过F的直线m与E交于A,B两点,过A作,垂足为M,AM的中点为N,若,则___________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形,得到直线的斜率,进一步求得直线的方程,与抛物线方程联立求解即可得答案.‎ ‎【详解】,为的中点,且,‎ ‎,则直线的倾斜角为,斜率为.‎ 由抛物线,得,则直线的方程为.‎ 联立,得.‎ 则,‎ ‎.‎ 故答案为:16.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用,属于中档题.‎ ‎16.数列为1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4,…,首先给出,接着复制该项后,再添加其后继数2,于是,,然后再复制前面所有的项1,1,2,再添加2的后继数3,于是,,,,接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3,再添加4,…,如此继续,则______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列构造方法可知:,即;根据变化规律可得,从而得到结果.‎ ‎【详解】由数列的构造方法可知,,,,可得:‎ 即:‎ 本题正确结果:‎ ‎【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项,关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系,考查学生的归纳总结能力.‎ 三、解答题 ‎17.已知的面积为,且且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)设为的中点,且,的平分线交于,求线段的长度.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据已知条件求出角的正切值,再结合角的范围即可求解;‎ ‎(2)先根据条件求出,,;再借助于面积之间的关系求出,之间的比例关系,结合题中条件即可求解.‎ ‎【详解】(1),‎ 又,即,‎ ‎∴,‎ 又,∴.‎ ‎(2)如下图所示:‎ 在中,为中线,∴,‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 由(1)知:,‎ 又, ∴,,‎ 由余弦定理可得:,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,‎ ‎∴,又,∴,‎ 在中,有:‎ ‎ ‎ ‎,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的应用、正余弦定理的应用,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查运算求解能力,属于中档题.‎ ‎18.已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,且,,.‎ ‎(1)若,求的通项公式;‎ ‎(2)若,求 ‎【答案】(1);(2)5或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设等差数列公差为,等比数列公比为,由已知条件求出,再写出通项公式;(2)由,求出的值,再求出的值,求出.‎ ‎【详解】设等差数列公差为,等比数列公比为有,即.‎ ‎(1)∵,结合得,‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵,解得或3,‎ 当时,,此时;‎ 当时,,此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式,属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基本量一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,另外,解等差数列问题要注意应用等差数列的性质()与前 项和的关系.‎ ‎19.已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,且.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线方程;‎ ‎(Ⅱ)已知点,延长交抛物线于点,证明:以点为圆心且与直线相切的圆,必与直线相切.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.‎ ‎【解析】‎ 解法一:(Ⅰ)由抛物线的定义得.‎ 因为,即,解得,所以抛物线的方程为.‎ ‎(Ⅱ)因为点在抛物线上,‎ 所以,由抛物线的对称性,不妨设.‎ 由,可得直线的方程为.‎ 由,得,‎ 解得或,从而.‎ 又,‎ 所以,,‎ 所以,从而,这表明点到直线,的距离相等,‎ 故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.‎ 解法二:(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为.‎ 因为点在抛物线上,‎ 所以,由抛物线的对称性,不妨设.‎ 由,可得直线的方程为.‎ 由,得,‎ 解得或,从而.‎ 又,故直线的方程为,‎ 从而.‎ 又直线的方程为,‎ 所以点到直线的距离.‎ 这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.‎ 考点:1、抛物线标准方程;2、直线和圆的位置关系.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎20.已知数列的各项均为正数,对任意,它的前项和满足,并且,,成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,为数列的前项和,求.‎ ‎【答案】(1),(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据与的关系,利用临差法得到,知公差为3;再由代入递推关系求;‎ ‎(2)观察数列的通项公式,相邻两项的和有规律,故采用并项求和法,求其前项和.‎ ‎【详解】(1)对任意,有,①‎ 当时,有,解得或.‎ 当时,有.②‎ ‎①-②并整理得.‎ 而数列的各项均为正数,.‎ 当时,,‎ 此时成立;‎ 当时,,此时,不成立,舍去.‎ ‎,.‎ ‎(2)‎ ‎.‎ ‎【点睛】已知与的递推关系,利用临差法求时,要注意对下标与分两种情况,即;数列求和时要先观察通项特点,再决定采用什么方法.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间; ‎ ‎(Ⅱ)令两个零点,证明:.‎ ‎【答案】(Ⅰ)在上单调递减,在上单调递增.(Ⅱ)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)求得函数的导数,且,进而利用导数的符号,即可求得函数单调区间;‎ ‎(Ⅱ)由有两个零点,利用导数求得函数的单调性与最值,结合图象,即可得出证明.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意,函数,则,且,‎ 当时,,函数单调递减;‎ 当时,,函数单调递增;‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递增. ‎ ‎(Ⅱ)由有两个零点可知 由且可知,‎ 当时,,函数单调递减;‎ 当时,,函数单调增;‎ 即的最小值为,‎ 因此当时,,‎ 可知在上存在一个零点;‎ 当时,,‎ 可知在上也存在一个零点,‎ 因此,即.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,已知椭圆的焦距为4,且过点.‎ ‎(1)求椭圆的方程 ‎(2)设椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与椭圆交于、两点,问是否存在直线,使得为的垂心,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)存在直线满足题设条件,详见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)由已知列出关于,,的方程组,解得,,,写出结果即可;‎ ‎(2)由已知可得,,.所以,因为,所以可设直线的方程为,代入椭圆方程整理,得.设,,,,由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式,再由垂心的性质列出方程求解即可.‎ ‎【详解】(1)由已知可得,‎ 解得,,,所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)由已知可得,,∴.∵,‎ ‎∴可设直线的方程为,代入椭圆方程整理,‎ 得.设,‎ 则,∵.‎ 即 ‎∵‎ 即,∵‎ ‎∴或.‎ 由,得 又时,直线过点,不合要求,∴,‎ 故存在直线满足题设条件.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系应用,以及垂心的定义应用.意在考查学生的数学运算能力.‎