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- 2021-06-16 发布
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2019-2020学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(文科)
一、选择题
1.下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义,可得A,B,D是偶函数,再利用函数单调性的性质,即可得出结论.
【详解】根据偶函数的定义,可得A,B,D是偶函数,B在上单调递减,D在上有增有减,A在上单调递增,
故选A.
【点睛】本题考查函数单调性的性质,考查函数的奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.
2.等差数列的前项和为,已知.则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设等差数列的公差为,又,
所以,解得,
所以,故选C.
3.已知曲线在点处的切线与直线垂直,则实数的值为( )
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出在点处的切线斜率,然后利用两直线垂直的条件可求出的值.
【详解】由题意,,,则曲线在点处的切线斜率为4,由于切线与直线垂直,则,解得.
故选C.
【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了两直线垂直的性质,考查了计算能力,属于基础题.
4.在中,是边上一点,,且,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据,用基向量表示,然后与题目条件对照,即可求出.
【详解】由在中,是边上一点,,
则,
即,故选.
【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用及向量的线性运算.
5.已知双曲线离心率,与椭圆有相同的焦点,则该双曲线渐近线方程是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出椭圆的焦点和,所以双曲线方程可设为,所以其渐近线方程为,由题意得双曲线的,再根据其离心率,求出,根据,得到,从而得到双曲线的渐近线方程,求出答案.
【详解】因为椭圆,其焦点为和,
因为双曲线与椭圆有相同的焦点,
所以设双曲线的方程为,则其渐近线方程为,
且双曲线中
因为双曲线的离心率,所以,
又因双曲线中
所以,即,
所以双曲线的渐近线方程为
故选C项.
【点睛】本题考查根据双曲线的离心率和焦点求,双曲线的渐近线,属于简单题.
6.已知角满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知利用诱导公式可求,,再由二倍角公式化简,即可得结果.
【详解】,
.
故选D.
【点睛】本题主要考查了诱导公式,二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.三角函数求值有三类,(1)“给角求值”;(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种系;(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.
7.已知函数的部分图象如图所示,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像最低点求得,根据函数图像上两个特殊点求得的值,由此求得函数解析式,进而求得的值.
【详解】根据图像可知,函数图像最低点为,故,所以,将点代入解析式得
,解得,故,所以,故选C.
【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式,并求三角函数值,属于中档题.
8.已知各项不为0的等差数列满足,数列是等比数列且,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可得:,
,则:.
本题选择C选项.
9.已知点P为双曲线右支上一点,点F1,F2分别为双曲线的左右焦点,点I是△PF1F2的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有成立,则双曲线的离心率取值范围是( )
A. (1,) B. (1,2)
C. (1,2] D. (1,]
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件和三角形的面积公式,求得的关系式,从而得出离心率的取值范围,得到答案.
【详解】设的内切圆的半径为,则
,
因为,所以,
由双曲线定义可知,
所以,即,
又由,所以双曲线的离心率的取值范围是,
故选D.
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解,其中求双曲线的离心率(或范围),常见有两种方法:①求出 ,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程,即可得的值(范围).
10.函数向右平移个单位后得到函数,若在上单调递增,则的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求函数,再求函数的单调递增区间,区间是函数单调递增区间的子集,建立不等关系求的取值范围.
【详解】,
令
解得 ,
若上单调递增,
,解得:
时,.
故选D.
【点睛】本题考查了三角函数的性质和平移变换,属于中档题型.
11.已知函数,若当 时,有解,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求得函数的导数,得到函数的单调性,以及的取值,再由导数的几何意义,即可求解.
【详解】由题意,函数,则导数,
所以函数在上递减,在上递增,
当时,,又由,,,
当 时,有解,即函数和的图象有交点,如图所示,
又因为在点的切线的斜率为,所以.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及方程的有解问题,着重考查了转化与化归思想、数形结合思想和推理、运算能力,对于方程的有解问题,通常转化为两个函数图象的交点个数,结合图象求解.
12.在平面直角坐标系中,圆:,圆:,点,动点,分别在圆和圆上,且,为线段的中点,则的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
由得,根据向量的运算和两点间的距离公式,求得点的轨迹方程,再利用点与圆的位置关系,即可求解的最小值,得到答案.
【详解】设,,,
由得,即,
由题意可知,MN为Rt△AMB斜边上的中线,所以,
则
又由,则,
可得,化简得,
∴点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆C3,
∵M在圆C3内,∴ MN的最小值即是半径减去M到圆心的距离,
即,故选A.
【点睛】本题主要考查了圆的方程及性质的应用,以及点圆的最值问题,其中解答中根据圆的性质,求得点的轨迹方程,再利用点与圆的位置关系求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
二、填空题
13.已知向量,,则在方向上的投影为___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据,,得在上的投影为,,求出,代入投影的公式计算即可.
【详解】向量,,,,
,,
在方向上的投影为,.
故答案为:1.
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义,属于基础题.
14.若函数只有一个极值点,则k的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数求导函数,只有一个极值点时只有一个实数解有,设新函数设,,等价转化数形结合法即可得出结论,
【详解】函数只有一个极值点,
,
若函数只有一个极值点,只有一个实数解,
则:,
从而得到:,
当 时,成立.
当时,设,,
当两函数相切时,,此时得到的最大值,但时不成立.
故的取值范围为:,
综上:的取值范围为:.
故答案为:.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式问题的等价转化方法,考查数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想的综合运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,属于中档题.
15.已知抛物线E:的焦点为F,准线为l,过F的直线m与E交于A,B两点,过A作,垂足为M,AM的中点为N,若,则___________.
【答案】16
【解析】
【分析】
由题意画出图形,得到直线的斜率,进一步求得直线的方程,与抛物线方程联立求解即可得答案.
【详解】,为的中点,且,
,则直线的倾斜角为,斜率为.
由抛物线,得,则直线的方程为.
联立,得.
则,
.
故答案为:16.
【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用,属于中档题.
16.数列为1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4,…,首先给出,接着复制该项后,再添加其后继数2,于是,,然后再复制前面所有的项1,1,2,再添加2的后继数3,于是,,,,接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3,再添加4,…,如此继续,则______.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据数列构造方法可知:,即;根据变化规律可得,从而得到结果.
【详解】由数列的构造方法可知,,,,可得:
即:
本题正确结果:
【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项,关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系,考查学生的归纳总结能力.
三、解答题
17.已知的面积为,且且.
(1)求角的大小;
(2)设为的中点,且,的平分线交于,求线段的长度.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件求出角的正切值,再结合角的范围即可求解;
(2)先根据条件求出,,;再借助于面积之间的关系求出,之间的比例关系,结合题中条件即可求解.
【详解】(1),
又,即,
∴,
又,∴.
(2)如下图所示:
在中,为中线,∴,
∴
∴.
由(1)知:,
又, ∴,,
由余弦定理可得:,
,
,
又,
∴,又,∴,
在中,有:
,
所以.
【点睛】本题考查向量的数量积的应用、正余弦定理的应用,考查函数与方程思想、数形结合思想,考查运算求解能力,属于中档题.
18.已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,且,,.
(1)若,求的通项公式;
(2)若,求
【答案】(1);(2)5或.
【解析】
【分析】
(1)设等差数列公差为,等比数列公比为,由已知条件求出,再写出通项公式;(2)由,求出的值,再求出的值,求出.
【详解】设等差数列公差为,等比数列公比为有,即.
(1)∵,结合得,
∴.
(2)∵,解得或3,
当时,,此时;
当时,,此时.
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式,属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基本量一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,另外,解等差数列问题要注意应用等差数列的性质()与前 项和的关系.
19.已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,且.
(Ⅰ)求抛物线方程;
(Ⅱ)已知点,延长交抛物线于点,证明:以点为圆心且与直线相切的圆,必与直线相切.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
解法一:(Ⅰ)由抛物线的定义得.
因为,即,解得,所以抛物线的方程为.
(Ⅱ)因为点在抛物线上,
所以,由抛物线的对称性,不妨设.
由,可得直线的方程为.
由,得,
解得或,从而.
又,
所以,,
所以,从而,这表明点到直线,的距离相等,
故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为.
因为点在抛物线上,
所以,由抛物线的对称性,不妨设.
由,可得直线的方程为.
由,得,
解得或,从而.
又,故直线的方程为,
从而.
又直线的方程为,
所以点到直线的距离.
这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.
考点:1、抛物线标准方程;2、直线和圆的位置关系.
【此处有视频,请去附件查看】
20.已知数列的各项均为正数,对任意,它的前项和满足,并且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,为数列的前项和,求.
【答案】(1),(2)
【解析】
【分析】
(1)根据与的关系,利用临差法得到,知公差为3;再由代入递推关系求;
(2)观察数列的通项公式,相邻两项的和有规律,故采用并项求和法,求其前项和.
【详解】(1)对任意,有,①
当时,有,解得或.
当时,有.②
①-②并整理得.
而数列的各项均为正数,.
当时,,
此时成立;
当时,,此时,不成立,舍去.
,.
(2)
.
【点睛】已知与的递推关系,利用临差法求时,要注意对下标与分两种情况,即;数列求和时要先观察通项特点,再决定采用什么方法.
21.已知函数,.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)令两个零点,证明:.
【答案】(Ⅰ)在上单调递减,在上单调递增.(Ⅱ)见证明
【解析】
【分析】
(Ⅰ)求得函数的导数,且,进而利用导数的符号,即可求得函数单调区间;
(Ⅱ)由有两个零点,利用导数求得函数的单调性与最值,结合图象,即可得出证明.
【详解】(Ⅰ)由题意,函数,则,且,
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增;
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
(Ⅱ)由有两个零点可知
由且可知,
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调增;
即的最小值为,
因此当时,,
可知在上存在一个零点;
当时,,
可知在上也存在一个零点,
因此,即.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
22.在平面直角坐标系中,已知椭圆的焦距为4,且过点.
(1)求椭圆的方程
(2)设椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与椭圆交于、两点,问是否存在直线,使得为的垂心,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在直线满足题设条件,详见解析
【解析】
分析】
(1)由已知列出关于,,的方程组,解得,,,写出结果即可;
(2)由已知可得,,.所以,因为,所以可设直线的方程为,代入椭圆方程整理,得.设,,,,由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式,再由垂心的性质列出方程求解即可.
【详解】(1)由已知可得,
解得,,,所以椭圆的方程为.
(2)由已知可得,,∴.∵,
∴可设直线的方程为,代入椭圆方程整理,
得.设,
则,∵.
即
∵
即,∵
∴或.
由,得
又时,直线过点,不合要求,∴,
故存在直线满足题设条件.
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关系应用,以及垂心的定义应用.意在考查学生的数学运算能力.