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- 2021-06-16 发布
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第6练 计数原理
[明晰考情] 1.命题角度:考查两个计数原理的简单应用;二项式定理主要考查特定项、系数和系数和.2.题目难度:中低档难度.
考点一 两个计数原理
要点重组 (1)分类加法计数原理中分类方法中的每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的.
(2)分步乘法计数原理中每步中的某一方法只能完成这件事的一部分,步与步之间是相关联的.
1.在100,101,102,…,999这些数中,各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是( )
A.120 B.204
C.168 D.216
答案 B
解析 由题意知本题是一个计数原理的应用,首先对数字分类,当数字不含0时,从9个数字中选三个,则这三个数字递增或递减的顺序可以确定两个三位数,共有2C=168(个),当三个数字中含有0时,从9个数字中选2个数,它们只有递减一种结果,共有C=36(个),
根据分类加法计数原理知共有168+36=204(个),故选B.
2.如图,正五边形ABCDE中,若把顶点A,B,C,D,E染上红、黄、绿三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同,则不同的染色方法共有( )
A.30种 B.27种
C.24种 D.21种
答案 A
解析 由题意知本题需要分类来解答,
首先A选取一种颜色,有3种情况.
如果A的两个相邻点颜色相同,有2种情况;
这时最后两个点也有2种情况;
如果A的两个相邻点颜色不同,有2种情况;
这时最后两个点有3种情况.
所以共有3×(2×2+2×3)=30(种)方法.
3.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7中,使相邻两数都互质的排列方式共有( )
A.576种 B.720种
C.864种 D.1 152种
答案 C
解析 由题意可知,2,4,6不能相邻,且6与3也不能相邻,所以先排1,3,5,7四个数字,有A种排法;再插入6,由于1,3,5,7四个数字产生5个空位,所以6只有3个空位可以插,2和4则是从其余4个空位中选择2个空位插入,所以共有AAA=24×3×12=864(种)排法,故选C.
4.某校开设5门不同的数学选修课,每位同学可以从中任选1门或2门课学习,甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的,则不同的选法共有( )
A.330种 B.420种 C.510种 D.600种
答案 A
解析 由题意知,就甲、乙、丙三位同学总共所选课程数进行分类计数:第一类,甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为3时,满足题意的方法共有C·A=60(种);第二类,甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为4时,满足题意的方法有C·C·A=180(种);第三类,甲、乙、丙三位同学总共所选课程数为5时,满足题意的方法有·A=90(种).因此满足题意的方法共有60+180+90=330(种).
考点二 排列组合问题
方法技巧 (1)解排列组合问题的三大原则:先特殊后一般,先取后排,先分类后分步.
(2)排列组合问题的常用解法:
①特殊元素(特殊位置)优先安排法.
②相邻问题捆绑法.
③不相邻问题插空法.
④定序问题缩倍法.
5.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每所学校分配1名医生和2名护士,则不同的分配方法共有( )
A.90种 B.180种
C.270种 D.540种
答案 D
解析 不同的分配方法共有CCCC=540(种),故选D.
6.张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这六人的入园顺序排法种数为( )
A.12 B.24 C.36 D.48
答案 B
解析 将两位爸爸排在两端,有2种排法;将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上,有2A种排法,故总的排法有2×2×A=24(种).
7.《红海行动》是一部现代海军题材影片,该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中,海军舰长要求队员们依次完成六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位,且任务E,F必须排在一起,则这六项任务的不同安排方案共有( )
A.240种 B.188种
C.156种 D.120种
答案 D
解析 当E,F排在前三位时有(AA)·A=24(种)方法;当E,F排在后三位时,有(ACA)·A=72(种)方法;当E,F排3,4位时有(CA)·AA=24(种)方法,
∴共有24+72+24=120(种)方案.
8.为促进城乡一体化进程,某单位选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活,要求将6户家庭分成4组,其中2组各有2户家庭,另外2组各有1户家庭,则不同的分配方案的种数是( )
A.216 B.420 C.720 D.1 080
答案 D
解析 先分组,每组含有2户家庭的有2组,则有种分组方法,剩下的2户家庭可以直接看成2组,然后将分成的4组进行全排列,故有×A=1 080(种).
考点三 二项式定理的应用
方法技巧 (1)求二项展开式的特定项的实质是通项公式Tk+1=Can-kbk的应用,可通过确定k的值再代入求解.
(2)二项展开式各项系数和可利用赋值法解决.
(3)求二项展开式系数最大的项,一般采用不等式组法:设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,则最大的系数Ak满足
9.(2018·全国Ⅲ)5的展开式中x4的系数为( )
A.10 B.20 C.40 D.80
答案 C
解析 5的展开式的通项公式为Tk+1=C·(x2)5-k·k=C·2k·x10-3k,
令10-3k=4,得k=2.
故展开式中x4的系数为C·22=40.
10.使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 B
解析 Tk+1=C(3x)n-kk=C3n-k,当Tk+1是常数项时,n-k=0,当k=2,n=5时满足题意.
11.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8等于( )
A.-5 B.5 C.90 D.180
答案 D
解析 ∵(1+x)10=[2-(1-x)]10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,∴a8=C·22·(-1)8=180.
12.(1+x2)6的展开式中项的系数为( )
A.-12 B.12 C.-172 D.172
答案 C
解析 因为6的通项公式为C6-k(-1)k=26-kC(-1)kxk-6.故展开式中项的系数为
2C(-1)5+23C(-1)3=-172.故选C.
1.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C在实施时必须相邻,则在该实验中程序顺序的编排方法共有( )
A.34种 B.48种
C.96种 D.144种
答案 C
解析 由题意知,程序A只能出现在第一步或最后一步,所以有A=2(种)结果.因为程序B和C在实施时必须相邻,所以把B和C看作一个元素,有AA=48(种)结果,根据分步乘法计数原理可知,共有2×48=96(种)结果,故选C.
2.某公司有五个不同的部门,现有4名在校大学生来该公司实习,要求安排到该公司的两个部门,且每部门安排两名,则不同的安排方案种数为( )
A.60 B.40 C.120 D.240
答案 A
解析 由题意得,先将4名大学生平均分为两组,共有=3(种)不同的分法.
再将两组安排在其中的两个部门,共有3×A=60(种)不同的安排方法,故选A.
3.若(1+y3)n (n∈N*)的展开式中存在常数项,则常数项为________.
答案 -84
解析 n展开式的通项为Cxn-kk=C(-1)kxn-3ky-k,
(1+y3)n展开式的通项为C(-1)kxn-3ky-k和y3C(-1)kxn-3ky-k=C(-1)kxn-3ky3-k,
若存在常数项则有(舍)或
解得k=3,n=9,
常数项为C(-1)3=-84.
解题秘籍 (1)解有限制条件的排列组合问题,要按照元素(或位置)的性质进行分类,按事件发生的顺序进行分步.
(2)平均分组问题中,平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况.
(3)求各项系数和要根据式子整体结构,灵活赋值;对复杂的展开式的指定项,可利用转化思想,通过二项展开式的项解决.
1.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
答案 D
解析 由题意可得,其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为C·C·A=36(种),或列式为C·C·C=3××2=36(种).故选D.
2.某大型花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,其中的小李和小王不在一起,则不同的安排方案共有( )
A.168种 B.156种 C.172种 D.180种
答案 B
解析 小李和小王分别去甲、乙展区有ACC=12(种)方案;
小王、小李中有一人去甲、乙展区,有CCCCC=96(种)方案;
小王、小李都不去甲、乙展区,有AA=48(种)方案,
∴共有12+96+48=156(种)方案.
3.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校,要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等,则不同的分配方法种数为( )
A.96 B.114 C.128 D.136
答案 B
解析 由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C=136,分配名额相等有22种(可以逐个数),则满足题意的方法有136-22=114(种).
4.(1+x)6的展开式中x2的系数为( )
A.15 B.20 C.30 D.35
答案 C
解析 因为(1+x)6的通项为Cxk,
所以(1+x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.
因为C+C=2C=2×=30,
所以(1+x)6的展开式中x2的系数为30.故选C.
5.从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班实习班主任工作,每班派一名,要求这3位实习教师中男女都要有,则不同的选派方案共有( )
A.210种 B.420种 C.630种 D.840种
答案 B
解析 (用间接法)9人中选3人到3个班实习班主任工作共A种结果,其中均为男教师的有A种,均为女教师的有A种.
∴满足条件的方案有A-A-A=420(种).
6.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a等于( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
答案 D
解析 因为(1+x)5的二项展开式的通项为Cxk(0≤k≤5,k∈Z),
则含x2的项为Cx2+ax·Cx=(10+5a)x2,所以10+5a=5,a=-1.
7.(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,则a2+a3+…+a9+a10的值为( )
A.-20 B.0 C.1 D.20
答案 D
解析 令x=1,得a0+a1+a2+…+a9+a10=1,
再令x=0,得a0=1,所以a1+a2+…+a9+a10=0,
又因为a1=C×21×(-1)9=-20,
所以a2+a3+…+a9+a10=20.
8.登山运动员10人,平均分为两组,其中熟悉道路的有4人,每组都需要2人,那么不同的分配方法种数是( )
A.30 B.60 C.120 D.240
答案 B
解析 先将4个熟悉道路的人平均分成两组,有种,再将余下的6人平均分成两组,有种,然后这四个组自由搭配还有A种,故最终分配方法有=60(种).
9.(2018·浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
答案 1 260
解析 不含有0的四位数有C×C×A=720(个).
含有0的四位数有C×C×C×A=540(个).
综上,四位数的个数为720+540=1 260.
10.(2018·浙江)二项式8的展开式的常数项是________.
答案 7
解析 由题意,得Tk+1=C·()8-k·k
=C·k··x-k=C·k·.
令=0,得k=2.
因此T3=C×2=×=7.
11.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=________.
答案 6
解析 由题意可知,a=C,b=C,
又∵13a=7b,∴13·=7·,
即=,解得m=6.
12.公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后,小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排.某人欲选由A,B,C,D,E中的两个不同的字母和1,2,3,4,5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌,则他选择号牌的方法种数为________.
答案 3 600
解析 三个数字相邻,则共有A种情况,在A,B,C,D,E中选两个不同的字母,共有A种不同的情况,这两个字母形成三个空,将数字整体插空,共C种情况,综上所述,此人选择号牌的方法种数为AAC=60×20×3=3 600.