2019届二轮复习平面向量平面向量的数量积学案（全国通用） 9页

‎2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎32 平面向量 平面向量的数量积 ‎ 【考点讲解】‎ 一、 具本目标：‎ ‎1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.‎ ‎2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.‎ ‎3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.‎ ‎4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ 考纲解读：‎ ‎1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低； ‎ ‎2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键； ‎ ‎(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.‎ 二、知识概述：‎ 一）主要公式：‎ ‎1.向量的数量积：已知两个非零向量、，它们的夹角为，则·=.‎ 若=(,),=(,)，则·=.‎ ‎2.向量的模：若=，则||=.‎ ‎3.两向量的夹角余弦值：.‎ ‎4.向量垂直的等价条件：.‎ 二）主要知识点：‎ ‎1.两个向量的夹角 ‎（1）定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB＝θ 叫做向量与的夹角．‎ （2） 夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，‎ 夹角θ＝180°.‎ ‎（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥.学 ]‎ ‎2.平面向量数量积：‎ ‎（1）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，‎ 即＝，其中θ是与的夹角．‎ 规定. ‎ 当⊥时，θ＝90°，这时.‎ ‎（2）的几何意义：‎ 数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．‎ ‎3.向量数量积的性质：‎ ‎（1），.‎ ‎（2）(θ为与的夹角).‎ ‎（3）.‎ ‎4.数量积的运算律 ‎（1）交换律：. ‎ ‎（2）分配律：‎ ‎（3）对.‎ ‎5.数量积的坐标运算：设，有下面的结论：‎ ‎（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎（3）‎ ‎（4）(θ为与的夹角).‎ ‎【真题分析】1.【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，‎ 已知,则的值为（ ）‎ A.-15 B.-9 C.-6 D. 0‎ ‎【答案】C ‎2.【2017北京，理6】设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】如果存在负数，使得，此时两向量方向相反，夹角为180°，一，两向量的数量积为：‎ 成立.如果，此时两向量的夹角在90°到180°‎ 之间，两向量不一定是相反方向，也就是不一定存在一个负数，使得成立，所以是充分不必要条件.‎ ‎【答案】A 学 ‎ ‎3.【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎4.【2014天津，理8】已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】， ，‎ 即①，同理可得②，①+②得，故选C．‎ ‎【答案】C．‎ ‎5.【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且 则的值为 ．‎ ‎【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算，‎ 在等腰梯形ABCD中,由∥,‎ 得,, ,‎ 所以=‎ ‎【答案】 ‎ ‎6.【2016·江苏卷】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，‎ ·＝－1，则·的值是 ．‎ 则【答案】 ‎7.【2017课标1，理13】已知向量的夹角为60°，，，则 .‎ ‎【解析】本题考点是平面向量的数量积公式的运用，‎ 法一：由题意可知 所以.‎ ‎【答案】‎ 法二：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，由平面几何的知识可以求出菱形对角线的长为. 学 ‎ ‎【答案】‎ ‎8.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【模拟考场】‎ ‎1.已知向量，，则（ ）‎ A．2 B．-2 C．-3 D．4‎ ‎【解析】因，故，应选A.‎ ‎【答案】A 2. 已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=.若n⊥（tm+n），‎ 则实数t的值为（ ）‎ A.4 B.–4 C. D.–‎ ‎【答案】B ‎3.已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的投影为（ ）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【解析】由已知条件可知，在方向上的投影为，其中.‎ 所以.‎ ‎【答案】A ‎4.在中，已知，当时，的面积为 .‎ ‎【解析】本题考点是平面向量的数量积、三角函数同角关系、三角形的面积公式的应用.由题意可知 得，，‎ 所以，.‎ ‎【答案】 学 ]‎ ‎5.【2017广西5月考前联考】设向量，，且，则的值为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎6.【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，则的值为 . ‎ ‎【解析】由题意可知：，‎ ‎， ]‎ ‎=，‎ 所以可得.‎ ‎【答案】‎ ‎7.已知， ， ，若向量满足，则的取值范围是 ．‎ ‎【解析】易知，由，且，可得：‎ ‎.‎ 所以或，由此可得的取值范围是.‎ ‎【答案】‎ ‎8.已知两个不共线的向量，它们的夹角为θ，且，x为正实数．‎ ‎(1)若与垂直，求tanθ；‎ ‎(2)若θ＝，求的最小值及对应的x的值，并判断此时向量与是否垂直．‎ 又θ∈(0，π)，sinθ＝＝，所以tanθ＝＝.‎ ‎(2)‎ ‎＝‎ 故当x＝时，取最小值为，‎ 此时 ‎＝×9－3×1×cos＝0，‎ 故向量与垂直.‎