2019届二轮复习第1讲　等差数列与等比数列课件（26张）（全国通用） 26页

第 1 讲　等差数列与等比数列 高考定位　 高考对本内容的考查主要有： (1) 数列的概念是 A 级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前 n 项和等概念，一般不会单独考查； (2) 等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是 C 级 . 真 题 感 悟 4. (2017· 江苏卷 ) 对于给定的正整数 k ，若数列 { a n } 满足 a n － k ＋ a n － k ＋ 1 ＋ … ＋ a n － 1 ＋ a n ＋ 1 ＋ … ＋ a n ＋ k － 1 ＋ a n ＋ k ＝ 2 ka n 对任意正整数 n ( n > k ) 总成立，则称数列 { a n } 是 “ P ( k ) 数列 ”. (1) 证明：等差数列 { a n } 是 “ P (3) 数列 ” ； (2) 若数列 { a n } 既是 “ P (2) 数列 ” ，又是 “ P (3) 数列 ” ，证明： { a n } 是等差数列 . 证明　 (1) 因为 { a n } 是等差数列，设其公差为 d ， 则 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d ，从而，当 n ≥ 4 时， a n － k ＋ a n ＋ k ＝ a 1 ＋ ( n － k － 1) d ＋ a 1 ＋ ( n ＋ k － 1) d ＝ 2 a 1 ＋ 2( n － 1) d ＝ 2 a n ， k ＝ 1 ， 2 ， 3 ， 所以 a n － 3 ＋ a n － 2 ＋ a n － 1 ＋ a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 ＋ a n ＋ 3 ＝ 6 a n ， 因此等差数列 { a n } 是 “ P (3) 数列 ”. (2) 数列 { a n } 既是 “ P (2) 数列 ” ，又是 “ P (3) 数列 ” ， 因此，当 n ≥ 3 时， a n － 2 ＋ a n － 1 ＋ a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 ＝ 4 a n ， ① 当 n ≥ 4 时， a n － 3 ＋ a n － 2 ＋ a n － 1 ＋ a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 ＋ a n ＋ 3 ＝ 6 a n . ② 由 ① 知， a n － 3 ＋ a n － 2 ＝ 4 a n － 1 － ( a n ＋ a n ＋ 1 ) ， ③ a n ＋ 2 ＋ a n ＋ 3 ＝ 4 a n ＋ 1 － ( a n － 1 ＋ a n ). ④ 将 ③④ 代入 ② ，得 a n － 1 ＋ a n ＋ 1 ＝ 2 a n ，其中 n ≥ 4 ， 所以 a 3 ， a 4 ， a 5 ， … 是等差数列，设其公差为 d ′. 在 ① 中，取 n ＝ 4 ，则 a 2 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ a 6 ＝ 4 a 4 ，所以 a 2 ＝ a 3 － d ′ ， 在 ① 中，取 n ＝ 3 ，则 a 1 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 4 a 3 ， 所以 a 1 ＝ a 3 － 2 d ′ ，所以数列 { a n } 是等差数列 . 1. 等差数列 考 点 整 合 2. 等比数列 热点一　等差、等比数列的基本运算 【例 1 】 (1) (2018· 苏、锡、常、镇四市调研 ) 设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，若 a 2 ＋ a 4 ＝ 2 ， S 2 ＋ S 4 ＝ 1 ，则 a 10 ＝ ________. 探究提高　 (1) 等差、等比数列的基本运算是利用通项公式、求和公式求解首项 a 1 和公差 d ( 公比 q ) ，在列方程组求解时，要注意整体计算，以减少计算量 . (2) 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用 “ 巧用性质、整体考虑、减少运算量 ” 的方法 . 【训练 1 】 (1) (2014· 江苏卷 ) 在各项均为正数的等比数列 { a n } 中，若 a 2 ＝ 1 ， a 8 ＝ a 6 ＋ 2 a 4 ，则 a 6 的值是 ________. (2) (2018· 全国 Ⅰ 卷改编 ) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 3 S 3 ＝ S 2 ＋ S 4 ， a 1 ＝ 2 ，则 a 5 ＝ ________. (3) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 a 4 ＋ a 5 ＝ 24 ， S 6 ＝ 48 ，则 { a n } 的公差为 ________. 热点二　等差、等比数列的判定与证明 热点三　等差与等比数列的综合问题 探究提高 　 1. 等差数列与等比数列交汇的问题，常用 “ 基本量法 ” 求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便 . 2. 数列的项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题 . 【训练 3 】 已知等差数列 { a n } 的公差为－ 1 ，且 a 2 ＋ a 7 ＋ a 12 ＝－ 6. (1) 求数列 { a n } 的通项公式 a n 与前 n 项和 S n ； (2) 将数列 { a n } 的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 { b n } 的前 3 项，记 { b n } 的前 n 项和为 T n ，若存在 m ∈ N * ，使对任意 n ∈ N * ，总有 S n ＜ T m ＋ λ 恒成立，求实数 λ 的取值范围 . 1. 在等差 ( 比 ) 数列中， a 1 ， d ( q ) ， n ， a n ， S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个 . 解这类问题时，一般是转化为首项 a 1 和公差 d ( 公比 q ) 这两个基本量的有关运算 . 2. 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用 . 但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形 .