2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期期末数学试题（解析版） 17页

2019-2020 学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一上学期期末 数学试题 一、单选题 1．已知  2 1 0A x x   ,  xB y y e  ，则 A B  （ ） A．  0 +， B． , 1  C． 1, D．   , 1 1,   【答案】C 【解析】求出集合 A ， B ，直接进行交集运算即可. 【详解】    2 1 0 1 1A x x x x x      或 ，    0xB y y e y y    ，  1A B x x   故选：C 【点睛】 本题考查集合的交集运算，指数函数的值域，属于基础题. 2．化简 cos480 的值是（ ） A． 1 2 B． 1 2  C． 3 2 D． 3 2  【答案】B 【解析】利用终边相同的角同名函数相同，可转化为求120 的余弦值即可. 【详解】 1cos480 cos(360 120 ) cos120 2          .故选 B. 【点睛】 本题主要考查了三角函数中终边相同的角三角函数值相同及特殊角的三角函数值，属于 容易题. 3．已知   sin 2 3 cos2f x x x  ，则  f x 的周期为（ ） A． B． 2 C．1 D．2 【答案】A 【解析】利用两角和的正弦公式化简函数， 2  代入周期计算公式 2T   即可求得 周期. 【详解】   sin 2 3 cos2 2sin(2 )3f x x x x     ，周期为： 2 2T    故选：A 【点睛】 本题考查两角和的正弦公式，三角函数的最小正周期，属于基础题. 4．已知扇形的周长为 6cm ，圆心角为 1 4 ，则扇形面积为（ ） A． 22cm B． 28 9 cm C． 29 8 cm D． 21cm 【答案】B 【解析】周长为 6cm 则 2 6R l  ，代入扇形弧长公式解得 8 3R  ，代入扇形面积公式 21 2S R 即可得解. 【详解】 由题意知 2 6R l  ， 1 4l R 代入方程解得 8 3R  ， 所以 1 1 64 8= =2 4 9 9S   故选：B 【点睛】 本题考查扇形的弧长、面积公式，属于基础题. 5．方程 2log 2x x  的解所在的区间为（ ） A． (0,1) B． (1,2) C． (2,3) D． (3,4) 【答案】B 【解析】令 2( ) log 2f x x x   ，由 (1) (2) 0f f  可知方程 2log 2x x  的解所在的 区间为 (1,2) . 【详解】 令 2( ) log 2f x x x   ， 2 1(1) log 1 2 1 0f       ， 2 2(2) log 2 2 1 0f =    ， 因为 (1) (2) 0f f  ，所以 ( )f x 在 (1,2) 上有零点， 因此方程 2log 2x x  的解所在的区间为 (1,2) . 故选：B 【点睛】 本题考查求函数零点范围，属于基础题. 6．已知 3sin( ) 2cos( ) sin2         ，则 22sin sin cos    （ ） A． 21 10 B． 3 2 C． 3 2 D． 2 【答案】A 【解析】由三角函数诱导公式化简等式可得 tan 3   ，利用 2 21 sin cos   将所 求等式化简为含 tan 的分式，代入 tan 3   即可得解. 【详解】 化简得 3cos sin   ，则 tan 3   2 2 2 2 2 2sin sin cos 2tan tan sin cos tan 1            = 21 10 故选：A 【点睛】 本题考查三角函数诱导公式二、六，同角三角函数的关系，属于基础题. 7．比较 1 3 3log 2a  , 1 51( )3b   , 1 52( )3c   的大小（ ） A． c b a  B． c a b  C． a b c  D． a c b  【答案】D 【解析】由对数函数的单调性判断出 1 3 3log 02a   ，再根据幂函数 1 5y x   在 (0, ) 上单调递减判断出 1 1 5 51 2( ) ( 0)3 3     ，即可确定大小关系. 【详解】 因为 1 3 3log 02a   ， 1 1 5 51 2( ) ( 0)3 3     ，所以 a c b  故选：D 【点睛】 本题考查利用对数函数及幂函数的单调性比较数的大小，属于基础题. 8．为了得到 sin(2 )6y x   的图象，可以将 sin 2y x 的图象（ ） A．向左平移 11 12  个单位 B．向左平移 12  个单位 C．向右平移 6  个单位 D．向右平移 3  个单位 【答案】A 【解析】根据左加右减原则，只需将函数 sin 2y x 向左平移 11 12  个单位可得到 sin(2 )6y x   . 【详解】 11 11sin 2( ) sin(2 ) sin[(2 ) 2 ] sin(2 )12 6 6 6y x x x x            ， 即 sin 2y x 向左平移 11 12  个单位可得到 sin(2 )6y x   . 故选：A 【点睛】 本题考查正弦型函数的图像与性质，三角函数诱导公式，属于基础题. 9．已知函数 ( ) 2tan(2 )f x x    ， (0 )2   ，其函数图象的一个对称中心是 ( ,0)12  ，则该函数的一个单调递减区间是（ ） A． 5( , )6 6   B． π π( , )6 3  C． ( , )3 6   D． 5( , )12 12   【答案】D 【解析】由正切函数的对称中心得 3=  ，得到 ( ) 2tan(2 )3f x x    ，令 22 2 3 2 2 k kx          可解得函数的单调递减区间. 【详解】 因为 ( ,0)12  是函数的对称中心，所以 = ( )12 22 k k Z   ，解得 ( )2 6 k k Z     因为 0 2   ，所以 3=  ， ( ) 2tan(2 )3f x x    ， 令 2 )2 3 (2k x k k Z          ，解得 )5 + + (12 2 12 2 k Zk kx      ， 当 0k  时，函数的一个单调递减区间是 5( , )12 12   故选：D 【点睛】 本题考查正切函数的图像与性质，属于基础题. 10．已知函数 2( ) sin( ) 2cos 22 6 4f x x x      ，则 ( )f x 在 3[0, ]2 上的最大值与最 小值之和为（ ） A． 9 2  B． 7 2  C． 0 D． 11 2  【答案】D 【解析】首先利用两角和与差的正弦公式将函数化简为 ( ) sin( ) 32 6f x x    ，当 3[0, ]2x 时， 7[ , ]2 6 6 12x      ，由正弦型函数的单调性即可求出最值. 【详解】 2 1 cos3 1 2( ) sin( ) 2cos 2= sin + cos 2 22 6 4 2 2 2 2 2 3 1sin cos 3 sin( ) 32 2 2 2 2 6 x f x x x x x x x x                         当 3[0, ]2x 时， 7[ , ]2 6 6 12x      ， max 7( ) (0) sin( ) 36 2f x f       min 4( ) ( ) sin( ) 3 23 2f x f      所以最大值与最小值之和为： 11 2  . 故选：D 【点睛】 本题考查两角和与差的正弦公式，正弦型函数的单调性与最值，属于基础题. 11．已知 siny x 的图象在[0,1] 上存在10个最高点，则 的范围（ ） A． 37 41[ , )2 2   B．[20 ,22 )  C． 37 41[ , ]2 2   D． (20 ,22 )  【答案】A 【解析】根据题意列出周期应满足的条件，解得 4 4 41 37T  ，代入周期计算公式即可 解得 的范围. 【详解】 由题可知 1(9 ) 14 1(10 ) 14 T T       ，解得 4 4 41 37T  ， 则 4 2 4 41 37    ， 37 41 2 2    故选：A 【点睛】 本题考查正弦函数图像的性质与周期，属于中档题. 12．定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足 ( 4) ( )f x f x   ，且当 [0,2]x 时， 2( )f x x ， 则方程 ( )f x m (1 4)m  在[ 2019,2019] 上的所有根的和为（ ） A． 1004 B．3028 C． 2019 D． 2020 【答案】D 【解析】首先由题所给条件计算函数的周期性与对称性，作出函数图像， ( )f x m (1 4)m  在[ 2019,2019] 上的所有根等价于函数 ( )f x 与 y m 图像的交 点，从两函数的交点找到根之间的关系，从而求得所有根的和. 【详解】 函数 ( )f x 为奇函数，所以 ( 4) ( ) ( )f x f x f x     ，则 ( )f x 的对称轴为： 2x   ， 由 ( 8) (( 4) 4) ( 4) ( )f x f x f x f x        知函数周期为 8，作出函数图像如下： ( )f x m (1 4)m  在[ 2019,2019] 上的所有根等价于函数 ( )f x 与 y m 图像的交 点，交点横坐标按如图所示顺序排列， 因为 (2019) (3) 1f f  ， ( 2019) ( 3) 1f f     ，所以两图像在 y 轴左侧有 504 个交点，在 y 轴右侧有 506 个 交点， 3 4 5 6 1009 10101 2 22 2 2 2 x x x x x xx x         1 2 3 4 5 6 1009 1010 4x x x x x x x x         1 2 3 4 5 6 1009 1010 2020x x x x x x x x         故选：D 【点睛】 本题考查函数的图像与性质，根据函数的解析式推出周期性与对称性，考查函数的交点 与方程的根的关系，属于中档题. 二、填空题 13．tan22°+tan23°+tan22°tan23°=_______ 【答案】1 【解析】解：因为 tan22°+tan23°+tan22°tan23°=tan(22°+23°)(1- tan22°tan23°)+ tan22°tan23°=tan45°=1 14．已知 log (1 )ay ax  在 (1,2) 上单调递增，则 a 的范围是_____ 【答案】 10 2a  【解析】令 ( ) 1g x ax  ，利用复合函数的单调性分论讨论函数 ( )g x 的单调性，列出 关于 a 的不等式组，求解即可. 【详解】 令 ( ) 1g x ax  当 1a  时，由题意知 ( ) 1g x ax  在 (1,2) 上单调递增且 1 0y ax   对任意的 (1,2)x 恒成立，则 1 0 (1) 1 0 a a g a        ，无解； 当 0 1a  时，由题意知 ( ) 1g x ax  在 (1,2) 上单调递减且 1 0y ax   对任意的 (1,2)x 恒成立，则 0 1 0 (2) 1 2 0 a a g a         ，解得 10 2a  . 故答案为： 10 2a  【点睛】 本题考查对数型复合函数的单调性，同增异减，求解时注意对数函数的定义域，属于基 础题. 15．函数 sin( )y A x b    ，其中 0A  , 0 ,| | 2   的图象如图所示，求 y 的 解析式____ 【答案】 14sin( ) 22 3y x    【解析】首先根据函数的最高点与最低点求出 A，b，然后由图像求出函数周期从而计 算出 1 2   ，再由函数过点 4( ,2)3  求出 3   . 【详解】 6 ( 2) 6 ( 2)4, 22 2A b       ， 4 2( ) 22 3 3 T       ， 24T    ，解得 1 2   ， 则 14sin( ) 22y x    ，因为函数过点 4( ,2)3  ， 所以 1 4sin( ) 02 3     ， 1 4 ( )2 3 k k Z      ，解得 2 ( )3 k k Z     因为| | 2   ，所以 3   ， 14sin( ) 22 3y x    . 故答案为： 14sin( ) 22 3y x    【点睛】 本题考查由图像确定正弦型函数的解析式，第一步通过图像的最值确定 A，b 的值，第 二步通过周期确定 的值，第三步通过最值点或者非平衡位置的点以及 16．已知函数 1 1 , [0,2] ( ) {1 ( 2), (2, )2 x x f x f x x        ，若 0x  时， ( ) kf x x  恒成立，则实 数 k 的取值范围是 . 【答案】 3[ , )2  【解析】试题分析：当 0 1x  时， ( ) 1 1 1 (1 )f x x x x       ， 当1 2x  时， ( ) 1 1 1 ( 1) 2f x x x x        ， 又 1 1 , [0,2] ( ) {1 ( 2), (2, )2 x x f x f x x        ， 如图所示： 当 [2( 1),2 ]x n n  时， ( )f x 在 2 1x n  处取得最大值，且 max( ) (2 1)f x f n  ， 令 (2 1)na f n  ，则数列 na 是以 1 为首项，以 1 2 为公比的等比数列， ∴ 1 1 1 11 ( )2 2 n n na     ，∴ 1 1(2 1) 2nf n   ， 若 0x  时， ( ) kf x x  恒成立，只需 *n N  ，当 [2( 1),2 ]x n n  上，均有 ( ) kf x x  恒成立， 结合图形知： (2 1) 2 1 kf n n    1 1 2 2 1n k n   ，∴ 1 2 1 2n nk   ，∴ max1 2 1( )2n nk   ， 令 1 2 1 2n n nb   ， 1 1 2 1 2 1 3 2 2 2 2n n n n n n n nb b        ， 当 1n  时， 1 0n nb b   ，∴ 1n nb b  ，∴ 1 2b b ， 当 2n  时， 1 0n nb b   ， 1n nb b  ，∴ 2 3 4b b b  ， ∴ 2b 最大，∴ max 2 2 1 2 2 1 3( ) 2 2nb b      ，∴ 3 2k  . 【考点】1.函数图像；2.恒成立问题；3.数列的最值. 三、解答题 17．求下列各式的值 （1） 22cos 10 1 sin35 cos35    ； （2） cos7 cos8 cos15 cos23 cos8 cos15         【答案】（1） 2 ；（2） 1 . 【解析】(1)首先利用公式 2 1 cos2cos 2   降幂，然后将 20 写为90 70  将 cos20 化为sin70 即可得解； (2)将 7 记为15 8  ， 23 记为15 8  ，再用公式 ( ) ( ),C C     展开，然后化简求值. 【详解】 (1)原式= 1 cos20 1 2sin70 21 sin70sin702         (2)原式= cos(15 8 ) cos8 cos15 cos8 cos15 sin8 sin15 cos8 c os15 cos(15 8 ) cos8 cos15 cos8 cos15 sin8 sin15 cos8 c os15                            sin15 sin8 1sin15 sin8        故答案为：2；-1 【点睛】 本题考查三角函数诱导公式，二倍角公式，两角和与差的余弦公式，属于基础题. 18．已知函数 ( ) 2sin(2 ) 13f x x    （1）写出函数 ( )f x 单调递减区间和其图象的对称轴方程； （2）用五点法作图，填表并作出 ( )f x 在 5[ , ]6 6   的图象. 2 3x  x y 【答案】（1）递减区间 7, ,12 12k k k Z        ，对称轴方程： ( )12 2 kx k Z    ； （2）见解析 【解析】(1)由正弦型函数的单调性与对称性即可求得 ( )f x 的单调区间与对称轴；(2)根 据五点作图法规则补充表格，然后在所给坐标中描出所取五点，以光滑曲线连接即可. 【详解】 (1) 令 32 2 2 ( )2 3 2k x k k Z         ，解得 7 ( )12 12k x k k Z       ， 令 2 ( )3 2x k k Z      ，解得 1 ( )12 2x k k Z    ， 所以函数的递减区间为 7, ,12 12k k k Z        ，对称轴方程： ( )12 2 kx k Z    ； (2) 2 3x  0 2   3 2  2 x 6  12  3  7 12  5 6  y 1 3 1 -1 1 【点睛】 本题考查正弦型函数的单调性与对称性，五点法作正(余)弦型函数的图像，属于基础题. 19．已知 2 2( ) log 2 axf x x   为奇函数，且 0a  （1）求 a 的值； （2）判断 ( )f x 在 2, 上的单调性，并用单调性定义证明． 【答案】（1） 1a  ；（2）递减，见解析 【解析】(1)函数 ( )f x 是奇函数，所以 ( ) ( )f x f x   ，得到 2 2 2 2log log2 2 ax ax x x      ，从而解得 1a  ； (2) 在区间  2, 上任取两个数 1 2,x x ， 且 1 2x x ，判断 2 1( ) ( )f x f x 的符号，得到 2 1( ) ( )f x f x ，由此证明函数 ( )f x 的单 调性. 【详解】 (1) 由题意知 ( ) ( )f x f x   ，则 2 2 2 2log log2 2 ax ax x x      2 2 2 2 ax x x ax     ，解得 1a  ； (2)函数 2 2( ) log 2 axf x x   在 2, 上单调递减，证明如下： 在区间 2, 上任取两个数 1 2,x x ，且 1 2x x ， 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ( 2)( 2)( ) ( ) log log log2 2 ( 2)( 2) x x x xf x f x x x x x           因为 1 22 x x  ，所以 2 1 2 1 2 1( 2)( 2) ( 2)( 2) 4( ) 0x x x x x x         即 2 1 2 10 ( 2)( 2) ( 2)( 2)x x x x      ， 2 1 2 1 ( 2)( 2)0 1( 2)( 2) x x x x     ， 所以 2 1 2 1 2 2 1 ( 2)( 2)( ) ( ) log 0( 2)( 2) x xf x f x x x      即 2 1( ) ( )f x f x ， 函数 2 2( ) log 2 axf x x   在 2, 上单调递减. 【点睛】 本题考查由函数的奇偶性求参数，利用定义证明函数的单调性，属于基础题. 20． 2( ) 2sin sin sin sin cos2 6 2 6 2 2 2 x x x x xf x                 （1）若 12 ( )4 2f x   ,求 x 的范围； （2）若 3 2( ) 10f   ， 3 12cos( )4 13     ，且 3 4 4    ， 3 7 4 4    ，求 sin( )  . 【答案】（1） 5{ | 2 2 , }6 6x k x k k Z       ；（2） 16sin( ) 65    . 【解析】(1)利用公式 1sin sin [cos( ) cos( )]2          化简函数解析式可得 2( ) sin( )2 4f x x   ，将函数解析式代入不等式得 1sin 2x  ，即可求得 x 的取值 范围；(2)由 3 2( ) 10f   求得 3sin( )4 5    ，根据 ,  的范围求出 2 4      ， 30 4     ，从而求得 4cos( )4 5     ， 5sin( )4 13    ，再利用两角差的余弦公 式即可得解. 【详解】 1 1 1 cos 1( ) 2 ( cos ) sin2 2 2 2 1 1 2cos sin sin( )2 2 2 4 xf x x x x x x            若 12 ( )4 2f x   ，则 2 1si22 n 2x  ， 1sin 2x  ， 5( 2 , 2 )( )6 6x k k k Z      (2) 2 3 2 3( ) sin( ) ,sin( )2 4 10 4 5f         因为 3 4 4    ，所以 2 4      ， 4cos( )4 5     ， 因为 3 7 4 4    ，所以 30 4     ， 5sin( )4 13    , 3sin( ) sin[( ) ( )]4 4 3 3 16sin( )cos( ) cos( )sin( )4 4 4 4 65                            , 16sin( ) sin( ) 65           【点睛】 本题考查三角函数和差化积公式，两角和与差的正弦公式，同角三角函数的平方关系， 计算时注意角的取值范围，属于中档题. 21．设函数     2 1( ) sin cos cos2 5 ,2 2 2 x xf x a x a R        . （1）求函数 ( )f x 在 R 上的最小值； （2）若方程 ( ) 0f x  在 50 6      ， 上有四个不相等的实根，求 a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2） 3( ,2 2 3)2   【解析】(1)将函数化简为 2( ) sin sin 2f x x a x a    ，令 sin [ 1,1]t x   ，则 2( ) 2f t t at a    ，求出对称轴，对区间[ 1,1] 与对称轴的位置关系进行分类讨论求 出最小值；(2) 要满足方程 ( ) 0f x  在 50 6      ， 上有四个不相等的实根，需满足 2( ) 2f t t at a    在 1( ,1)2 上有两个不等实根，列出相应的不等式组，求解即可. 【详解】 (1) 2 21 5( ) (1 sin ) (1 2sin ) sin sin 22 2f x a x x x a x a         ， 令 sin [ 1,1]t x   ，则 2( ) 2f t t at a    ，对称轴为： 2 ax   当1 2 a  即 2a   时， min( ) (1) 2 3f x f a   ， 当 1 2 a   即 2a  时， min( ) ( 1) 3f x f   ， 当 2 2a   时， 2 min( ) ( ) 22 4 a af x f a      ， 所以求函数 ( )f x 在 R 上的最小值 2 2 3, 2 ( ) 2, 2 24 3, 2 a a ag a a a a             ； (2) 要满足方程 ( ) 0f x  在 50 6      ， 上有四个不相等的实根，需满足 2( ) 2f t t at a    在 1( ,1)2 上有两个不等零点， 2 1 3 9( ) 02 2 4 (1) 2 3 0 4( 2) 0 1 12 2 f a f a a a a                 ，解得 3( ,2 2 3)2a   . 【点睛】 本题考查动轴定区间分类讨论二次函数最小值，正弦函数的单调性，二次函数的几何性 质，属于中档题. 22．设函数    2 2 2( ) log 2 loga af x x ak x a    （ 0a  且 1, 0a k  ） （1）若函数 ( )f x 存在零点，求实数 k 的最小值； （2）若函数 ( )f x 有两个零点分别是sin ， cos 且对于任意的  0,1x 时   12 1 2 4 2 1 x x x m a a     恒成立，求实数 m 的取值集合. 【答案】（1） 3 ；（2） 7 6m m   【解析】(1)由题意列出不等式组，令 2 2 2( ) (2 )g x x ak x a    ，求出对称轴，若 ( )g x 在区间 ( , )2 ak  上有解，则 2( ) 03 akg  解不等式即可求得 k 的范围；(2)由韦达定理计 算得 60 14a   ，利用指数函数单调性解不等式，化简得 2 3 2 1 2 2 x x xm    ，令 2 3 1( ) tg t t t   ，求出函数在区间 (1,2) 上的值域从而求得 m 的取值范围. 【详解】 (1)由题意知    2 2 2log 2 loga ax ak x a   有解，则 2 2 2 2 2 2 0(1) 0(2) (2 ) (3) x ak x a x ak x a          有解， ①③成立时，②显然成立，因此 令 2 2 2 2 2 2( ) (2 ) 3 4 ( 1)g x x ak x a x ax k a        ，对称轴为： 2 3 akx  当 2 akx  时， ( )g x 在区间 2( , )2 3 ak ak 上单调递减，在区间 2( , )3 ak  上单调递增， 因此若 ( )g x 在区间 ( , )2 ak  上有解， 则 2 2 2 2 22 4 2( ) 4 03 3 3 ak akg k a ak k a a      ，解得 2 3k  ， 又 0k  ，则 3k  ，k 得最小值为 3 ； (2)由题意知 sin ,cos  是方程 2 2 2(2 )x ak x a   的两根，则 4sin 3 akcos   ， 2 2( 1)sin 3 kcos a    ， 联立解得 2 2 2 6 9 310 ak a   ，解得 60 14a   ，所以 xy a 在定义域内单调递减， 由   12 1 2 4 2 1 x x x m a a     可得 2 12 2 2 1 x x xm    对任意的  0,1x 恒成立， 化简得 2 3 2 1 2 2 x x xm    ，令 2 (1,2)xt   ， 2 3 1( ) tg t t t   ， 2 2 3 2 1( ) 0( ) t tg t t t      对 (1,2)t  成立，所以 ( )g t 在区间 (1,2) 上单调递减， 7( ) (2) 6g t g  ，所以 7 6m  【点睛】 本题考查函数与方程，二次函数的图像与性质，考查韦达定理，求解指数型不等式，导 数证明不等式，属于较难题.