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- 2021-06-16 发布
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理 科 数 学 试 题 卷
第I卷(选择题)
一、选择题:(本大题 12个小题,每小题5分,共60分,每小题有且只有一项是正确的).
1.已知复数,则 ( )
A. B. C. D.
2.已知非空集合,则满足条件的集合的个数是 ( )
A. B. C. D.
3.函数过点的切线方程为 ( )
A. B. C. D.
4.双曲线的渐近线与圆的位置关系是 ( )
A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定
5.已知,则 ( )
A. B.
C. D.
6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)
人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶
算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了
利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入,的
值分别为,,则输出的值为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙、丁4人排成一纵列,现已知甲不排首位,则乙不
排末位的概率为 ( )
A. B. C. D.
8.下列说法中正确的个数是 ( )
①若三个平面两两相交有三条交线,则三交线相互平行
②三个平面最多将空间分为8个部分
③一平面截一正方体,则截面不可能为五边形
④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直
A. B. C. D.
9.已知点在以为左,右焦点的椭圆上,在中,若
,则 ( )
A. B. C. D.
10.函数的单调递减区间是 ( )
A. B. C. D.
11.(原创)某中学高三年级在返校复学后,为了做好疫情防护工作,一位防疫督察员要将2盒完全相同的
口罩和3盒完全相同的普通医用口罩全部分配给3个不同的班,每个班至少分得一盒,则不同的
分法种数是 ( )
A. B. C. D.
12.(原创)锐角的内角的对边分别为 且 ,若变化时,存在最大值,则正数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
二、填空题:(本大题4个小题,每小题5分,共20分).
13.若定义在上的函数满足,且当时,,则________.(结果用分数表示)
14.已知且,则的最小值为________.
15.(原创)且 ,则______.
16.(原创)已知半径为的球面上有三点,,球心为,二面角的大小为
,当直线与平面所成角最大时,三棱锥的体积为_______.
三、解答题:本大题6个小题,共70分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内.必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.
17.王先生家住杏坛小区,他工作在科学城,从家开车到公司上班路上有两条路线,路线上有
三个路口,遇到红灯的概率均为;路线上有两个路口,遇到红灯的概率依次为.各路口遇到红灯情况相互独立.
(1)若走路线,求最多遇到次红灯的概率;
(2)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助王先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.
18.数列满足,且.
(1)设,证明:数列是等差数列;
(2)设,求数列的前项和为.
19. 如图,在三棱台中,分别为上的点,
平面
(1)
(2)
20. (原创)已知抛物线 : 的焦点为,准线为,过焦点的直线交抛物线于,
(1)若 垂直于点 ,且 ,求的长;
(2)为坐标原点,求的外心的轨迹方程.
21.(原创)已知
(1)当时,求在上的最大值;
(2)若对任意均有两个极值点,
(i)
(ii)
注:
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果都做,则按所做的第一题记分.
22.选修4 - 4 坐标系与参数方程(10分)
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)射线:()与曲线交于两点,并与曲线交于点,
求的取值范围.
23.选修4 - 5 不等式选讲(10分)
已知函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若,求证:
理科数学参考答案
一.选择题:CCDADB;DBBBCA.
二.填空题:13. 14. 15. 16.
三.解答题:
17.解 (1)设走路线最多遇到1次红灯为A事件,
则
(2)设选择路线遇到红灯次数为,随机变量服从二项分布,~,
所以
设选择路线遇到红灯次数为,的可能取值为.
随机变量的分布列为
因为,所以选择路线上班最好.
18.解:(1)
即,所以数列是公差为1的等差数列.
(2) ,即,累乘可得
19.证明:因为平面,,
,所以.
因为,所以四边形为平行四边形,所以,
因为所以,为的中点.
同理为的中点,所以,因为,所以,
又且,所以四边形是平行四边形,所以,
又,所以.
又
所以
.
分别以所在的直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则
设平面的一个法向量为,
因为
则,取.
设平面的一个法向量为,
因为
则,取
,
21.解
22解:(1)曲线的直角坐标方程为,曲线的极坐标方程
(2)
所以,
所以
23解:(1)
(2)证明: