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  • 2021-06-16 发布

浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期第一次月考数学试题

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杭州二中高三第一学期第一次月考数学试题 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵集合 ‎∴集合或 ‎∵集合 ‎∴集合 ‎∴‎ 故选B.‎ ‎2.若,则的大小关系是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用对数函数和指数函数的单调性求解.‎ ‎【详解】∵0<a=,b=log0.51.2<log0.51=0,c=1.20.5>1.20=1,‎ ‎∴b<a<c.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查对数值大小的比较,考查了对数函数和指数函数的单调性,是基础题.‎ ‎3.已知复数对应复平面上的点,复数满足,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用复数代数形式的乘除运算化简求得z2,再求模长即可.‎ ‎【详解】由已知可得z1=﹣1+i,‎ ‎∴,‎ ‎∴|z2|.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.‎ ‎4.函数,的值域是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角的余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后求解函数的值域.‎ ‎【详解】因为函数y=cos2x+sin2x=cos2xcos2xcos2x.因为x∈R,所以cos2x∈[﹣1,1],‎ 所以cos2x∈[0,1].‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换,二倍角的余弦函数的应用,求三角函数的值域是解题的关键,考查计算能力.‎ ‎5.函数的大致图象为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由,所以函数为奇函数,图象关于原点对称, ‎ ‎ 又,所以函数的图象应对应选项B,故选B.‎ ‎6.下列命题中正确的是( )‎ A. 函数的图象恒过定点 B. “,”是“”的充分必要条件 C. 命题“若,则或”的逆否命题为“若或,则”‎ D. 若,则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数过定点判断A;利用基本不等式判断B,利用逆否命题判断C,构造函数判断D ‎【详解】对A,因为恒过(0,1),故函数的图象恒过定点 ‎,故A错误;‎ 对B, 的充分必要条件是,故B错误;‎ 对C, 命题“若,则或”的逆否命题为“若且,则”,故C错误;‎ 对D,令,则,易得函数为单调递减函数,故,则D正确 故选:D ‎【点睛】本题考查命题真假,熟练掌握函数单调性,基本不等式,逆否命题等知识是关键,是中档题 ‎7.已知内角的对边分别为,若,,则的形状是( )‎ A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理将化边代入,结合求解即可 ‎【详解】由题 当,三角形直角三角形 当,则,又,则三角形为等腰三角形 故选:D ‎【点睛】本题考查余弦定理,注意角化边的应用,是基础题,注意等式两边不能随便约分,是易错题 ‎8.函数(),满足,且对任意,都有,则以下结论正确的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】解:函数f(x)满足,‎ ‎∴f(x)关于点(,0)对称,‎ 且对任意x∈R,都有,‎ ‎∴x是f(x)的对称轴,‎ 令x=0,得﹣f(0)=asin0+bcos0=b=f()=0,‎ ‎∴b=0,f(x)=asinωx,A正确;‎ ‎∴f(x)是定义域R上的奇函数,B错误;‎ 可得a≠0,b=0,ab,C错误;‎ 由题意,ω=6k+3,k∈Z,∴D错误;‎ 综上,正确的结论是A.‎ 故选:A.‎ ‎9.若不等式组(为常数),表示的平面区域的面积8,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出满足条件的(a为常数)表示的平面区域,根据目标函数z=x2+y的几何意义是曲线y=﹣x2+z与y轴交点的纵坐标,利用数形结合可以得到答案.‎ ‎【详解】满足约束条件的可行域如下图所示,‎ 若可行域的面积为8,则a=2‎ 设z=x2+y 由图可得当z=x2+y与直线相切时z最小,联立两曲线得x2-x-z=0,,得 ,此时x,y,故x2+y取最小值,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划,其中画出约束条件对应的可行域是解答本题的关键.‎ ‎10.已知函数在区间上满足,且.设,,则当时,下列不等式成立的是( )‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导数,利用f(x)+f′(x)<0,可得F(x)=exf(x)的单调性,根据0<x<1,x,由已知F(x)>F(),即可得出结论.‎ ‎【详解】令F(x)=exf(x),∴F′(x)=ex[f(x)+f′(x)];‎ 又∵f(x)+f′(x)<0,∴F′(x)<0,‎ ‎∴F(x)是(0,+∞)上的减函数;‎ 令0<x<1,则x,由已知F(x)>F(),可得f(x)f(),‎ 下面证明:,即证明x+2lnx>0,‎ 令g(x)x+2lnx,则:‎ g′(x)0,g(x)在(0,1)↓,g(x)>g(1),‎ 即,‎ ‎∴xf(x)f(),即 故选:A ‎【点睛】本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查大小比较,正确构造函数求导是关键.‎ 二、填空题。‎ ‎11.在中,,,,,则的最小值为______ , 又若,则________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量数量积的运算律和定义计算,将其转化为有关于的二次函数的最小值,可得出的最小值,由,得出,利用平面向量数量积的运算律和定义可求出实数的值.‎ ‎【详解】 ,‎ 所以当时, 取最小值;‎ 因为,所以,解得,故答案为:;.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算以及垂直向量数量积的转化,解题时应充分转化为平面向量数量积,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎12.已知函数,则函数的增区间是____,最小值是_____‎ ‎【答案】 (1). (2). 4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 去绝对值分段,得的解析式,则增区间和最小值可求 ‎【详解】易知,则函数的增区间是,‎ 又,则函数的最小值为4‎ 故答案为 ; 4‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的性质,考查函数增减性及最值,是基础题 ‎13.若锐角满足,则______;函数的单调增区间为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意由同角三角函数和二倍角求出φ的值,利用降幂公式化简函数f(x),‎ 再求出它的单调增区间.‎ ‎【详解】锐角φ满足sinφ﹣cosφ,‎ ‎∴1﹣2sinφcosφ,‎ ‎∴sin2φ;‎ 又sinφ,‎ ‎∴2φ,‎ 解得φ;‎ ‎∴函数f(x)=sin2(x+φ)‎ ‎ ‎ cos(2x),‎ ‎∴2kπ≤2x2kπ+π,k∈Z;‎ 解得kπx≤kπ,k∈Z;‎ ‎∴f(x)的单调增区间为[kπ,kπ](k∈Z).‎ 故答案为 ;‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,准确利用三角变换化简是关键,是中档题.‎ ‎14.已知函数,若,则____;有_________个零点 ‎【答案】 (1). 1或或 (2). 4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分情况讨论正负解方程即可求解,则其乘积可求,利用换元法结合内外层函数求解根的个数即可 ‎【详解】当均大于0,则或或或,此时1或或 当均小于0,不合题意舍去.‎ 又令,则,故 或 解得 ‎ 则与交点个数分别1个,0个,3个,综上有4个零点 故答案为1或或 ; 4‎ ‎【点睛】本题考查分段函数及性质,函数的零点,注意函数复合的应用,是难题 ‎15.已知函数,则不等式的解集是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性和单调性,再构造函数解不等式即可 ‎【详解】,故为奇函数,且单调递减,则令,故 为奇函数且单调递减,故 等价于,即 ,即,解得 故答案为 ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,准确判断的奇偶性和单调性,构造新函数是关键,是中档题 ‎16.已知都为正实数,且,则的最小值为______.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将通分整理代入所求式子,配凑基本不等式形式求解即可 ‎【详解】则 且,则=,当且仅当等号成立 故答案为9‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值,将条件灵活变形是关键,是中档题 ‎17.已知是平面上两个定点,平面上的动点满足,若对于任意的,不等式恒成立,则实数的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立坐标系,得点的轨迹方程,分离参量求范围即可求解 ‎【详解】不妨设,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则 ,‎ 设 ‎ 故动点的轨迹为圆,由恒成立,则 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查圆的轨迹方程,平面问题坐标化的思想,是难题 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18.已知函数 ‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)当时,求函数的值域. ‎ ‎【答案】(1)1;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用二倍角公式结合辅助角公式化简解析式,即可求值;(2)由正弦函数的性质求值域即可 详解】(1) ‎ ‎(2)由(1)知,, ‎ 当时 由,得的值域为.‎ ‎【点睛】本题考查三角变换,熟记公式准确化简是关键,是基础题 ‎19.已知两个非零向量,且,‎ ‎(1)求的夹角;‎ ‎(2)若,求的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由垂直结合数量积运算得,再利用模长公式结合得,即可求解夹角;(2)利用模长公式计算结合基本不等式求最值即可 ‎【详解】(1)由可得 ‎ ,即 又 则 所以 故 ‎(2)若 则的最小值为,当时,即时,取得最小值。‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积,模长夹角运算,其中模长最值是易错点,是中档题 ‎20.已知锐角中,角的对边分别为,向量,‎ ‎,且. ‎ ‎(1)求角;‎ ‎(2)求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由结合二倍角公式求解即可;(2)利用正弦定理边化角,再利用内角和为,结合三角变换化为的函数求解即可 详解】(1)∵,∴,∴ ,由锐角故 ‎(2).‎ ‎ 为锐角三角形,则 ‎ ‎∴,所以.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查数量积垂直的坐标运算,三角恒等变换,及正弦定理,准确计算是关键,是中档题 ‎21.已知函数,()‎ ‎(1)当时,若存在实数,当时,恒成立,求实数的最大值。‎ ‎(2)若对任意,总存在唯一,使得成立.求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)4;(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)不等式恒成立,转化为()恒成立,换元转化为二次函数求最值即可求解;(2)对讨论求值域,由的值域为值域的子集,利用集合的包含关系列不等式求解即可 ‎【详解】(1),∵存在实数,当时,恒成立;‎ 即恒成立.()恒成立.‎ 设,则 ‎ ‎∴,‎ 即,且 ‎ ‎,∴实数最大值是4。‎ ‎(2),∵∴ ‎ ‎∴函数的值域为 其次,由题意知:,且对任意,总存在唯一,使得.以下分三种情况讨论: ‎ ‎①当时,则,解得; ‎ ‎②当时,则,解得;‎ ‎③当时,则或,解得;‎ 综上:a的取值范围是a≤﹣2或a.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数不等式恒成立问题,双变元问题,注意题目的等价转化是关键,是中档题 ‎22.已知函数, . ‎ ‎(1)若与的图象在公共点处有相同的切线,求切线方程;‎ ‎(2)若为整数,且恒成立,求的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设公共点为,利用切线斜率相等,及点在两个函数上列方程组求解即可求解切线方程;(2)分离参数,构造函数求最值即可求解 ‎【详解】(1)设公共点为,则有,解得,故切线方程是 ‎(2) ∵恒成立,∴恒成立 恒成立,令,,‎ 令,,单调递增,‎ ‎,所以存在使,‎ 所以在上单调递增,在单调递减,‎ ‎,因为为整数,所以的最小值为2.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,利用导数解决不等式恒成立问题,函数最值问题,准确转化是关键,是中档题 ‎ ‎