2019届二轮复习第1讲　等差数列、等比数列的基本问题课件（37张）（全国通用） 37页

第 1 讲　等差数列、等比数列的基本问题 高考定位　 1. 等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现； 2. 数列的通项也是高考热点，难度中档以下 . 1. (2017· 浙江卷 ) 已知等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，则 “ d ＞ 0” 是 “ S 4 ＋ S 6 ＞ 2 S 5 ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 真 题 感 悟 解析 　由 S 4 ＋ S 6 － 2 S 5 ＝ S 6 － S 5 － ( S 5 － S 4 ) ＝ a 6 － a 5 ＝ d ，当 d ＞ 0 时，则 S 4 ＋ S 6 － 2 S 5 ＞ 0 ，即 S 4 ＋ S 6 ＞ 2 S 5 ，反之， S 4 ＋ S 6 ＞ 2 S 5 ，可得 d ＞ 0 ，所以 “ d ＞ 0 ” 是 “ S 4 ＋ S 6 ＞ 2 S 5 ” 的充要条件 . 答案 　 C 2. (2018· 浙江卷 ) 已知 a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 成等比数列，且 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ ln( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ). 若 a 1 >1 ，则 ( 　　 ) A. a 1 < a 3 ， a 2 < a 4 B. a 1 > a 3 ， a 2 < a 4 C. a 1 < a 3 ， a 2 > a 4 D. a 1 > a 3 ， a 2 > a 4 解析 　 法一 　因为 ln x ≤ x － 1( x >0) ，所以 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ ln( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ) ≤ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 － 1 ，所以 a 4 ≤ － 1 ，又 a 1 >1 ，所以等比数列的公比 q <0. 若 q ≤ － 1 ，则 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ a 1 (1 ＋ q )(1 ＋ q 2 ) ≤ 0 ，而 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ≥ a 1 >1 ，所以 ln( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 )>0 ，与 ln( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ) ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ≤ 0 矛盾， 所以－ 1< q <0 ，所以 a 1 － a 3 ＝ a 1 (1 － q 2 )>0 ， a 2 － a 4 ＝ a 1 q (1 － q 2 )<0 ，所以 a 1 > a 3 ， a 2 < a 4 ，故选 B. 法二 　因为 e x ≥ x ＋ 1 ， a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ ln( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ) ，所以 e a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ≥ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ 1 ，则 a 4 ≤ － 1 ，又 a 1 >1 ，所以等比数列的公比 q <0. 若 q ≤ － 1 ，则 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ a 1 (1 ＋ q )(1 ＋ q 2 ) ≤ 0 ，而 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ≥ a 1 >1 ，所以 ln( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 )>0 ，与 ln( a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ) ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ≤ 0 矛盾，所以－ 1< q <0 ，所以 a 1 － a 3 ＝ a 1 (1 － q 2 )>0 ， a 2 － a 4 ＝ a 1 q (1 － q 2 )<0 ，所以 a 1 > a 3 ， a 2 < a 4 . 故选 B. 答案 　 B 3. (2016· 浙江卷 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 S 2 ＝ 4 ， a n ＋ 1 ＝ 2 S n ＋ 1 ， n ∈ N * . (1) 求通项公式 a n ； (2) 求数列 {| a n － n － 2|} 的前 n 项和 . 考 点 整 合 热点一　等差、等比数列的判定与证明 【例 1 】 记 S n 为等比数列 { a n } 的前 n 项和 . 已知 S 2 ＝ 2 ， S 3 ＝－ 6. (1) 求 { a n } 的通项公式； (2) 求 S n ，并判断 S n ＋ 1 ， S n ， S n ＋ 2 是否成等差数列 . 解　 (1) 设 { a n } 的公比为 q ，由题设可得 解得 q ＝－ 2 ， a 1 ＝－ 2. 故 { a n } 的通项公式为 a n ＝ ( － 2) n . 热点二　求数列的通项 [ 考法 1] 　由 S n 与 a n 的关系求 a n 【例 2 － 1 】 (1) (2018· 宁波模拟节选 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且满足 a n ＋ 2 S n · S n － 1 ＝ 0( n ≥ 2 ， n ∈ N * ) ， a 1 ＝ . 求数列 { a n } 的通项公式； (2) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ，且 a n ＋ 2 ＝ 3 S n － S n ＋ 1 ＋ 3, n ∈ N * . 证明： a n ＋ 2 ＝ 3 a n ；并求 a n . 解　 (1) 由 a n ＋ 2 S n · S n － 1 ＝ 0( n ≥ 2 ， n ∈ N * ) ，得 S n － S n － 1 ＋ 2 S n · S n － 1 ＝ 0 ， 探究提高 　 给出 S n 与 a n 的递推关系求 a n ，常用思路是：一是利用 S n － S n － 1 ＝ a n ( n ≥ 2) 转化为 a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 S n 的递推关系，先求出 S n 与 n 之间的关系，再求 a n . 探究提高 　 (1) 形如 b n ＋ 1 － b n ＝ f ( n ) ，其中 f ( n ) ＝ k 或多项式 ( 一般不高于三次 ) ，用累加法即可求得数列的通项公式： (2) 形如 a n ＋ 1 ＝ a n · f ( n ) ，可用累乘法； (3) 形如 a n ＋ 1 ＝ pa n ＋ q ( p ≠1 ， q ≠0) ，可构造一个新的等比数列； (4) 形如 a n ＋ 1 ＝ qa n ＋ q n ( q 为常数，且 q ≠0 ， q ≠±1) ，解决方法是在递推公式两边同除以 q n ＋ 1 . 热点三　等差、等比数列的函数性质问题 【例 3 】 已知等差数列 { a n } 的公差为－ 1 ，且 a 2 ＋ a 7 ＋ a 12 ＝－ 6. (1) 求数列 { a n } 的通项公式 a n 与前 n 项和 S n ； (2) 将数列 { a n } 的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 { b n } 的前 3 项，记 { b n } 的前 n 项和为 T n ，若存在 m ∈ N * ，使对任意 n ∈ N * ，总有 S n ＜ T m ＋ λ 恒成立，求实数 λ 的取值范围 . 探究提高 　 (1) 以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题 . (2) 判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小 . (3) 数列的项或前 n 项和可以看作关于 n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题 .