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- 2021-06-16 发布
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牡一中2017级高三学年线上线下教学检测性考试
数学文科试题
一、选择题(每题5分,共60分)
1.已知集合,则满足条件的集合B的个数为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
2.已知为虚数单位,,复数,则( )
A B. C. D.
3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称,旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系,共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来,“一带一路”建设成果显著.下图是2013-2017年,我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图.下列描述错误的是( )
A. 这五年,2013年出口额最少
B. 这五年,出口总额比进口总额多
C. 这五年,出口增速前四年逐年下降
D. 这五年,2017年进口增速最快
4.已知,,,若,则( )
A. 6 B. C. 16 D. 20
5.已知命题p:“,”的否定是“,”;命题q:“”的一个充分不必要条件是“”,则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
6.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支,其中的
“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷,最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示),按上述操作7次后,“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为( )
A. B. C. D.
7、已知双曲线与椭圆有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.已知函数,,,为图象的对称中心,, 是该图象上相邻的最高点和最低点,若,则的单调递增区间是
A.,, B.,,
C.,, D.,,
9、函数的图像大致为( ).
A. B. C. D.
10、已知正方形的边长为2,点为边中点,点为边中点,将,分别沿 ,折起,使三点重合于M点,则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
11.(5分)一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄元一年定期,若年利率为保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁生日时不再存入,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为( )
A. B. C. D.
12.(5分)已知函数,,,曲线上总存在两点,,,,使曲线在,两点处的切线互相平行,则的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题(每题5分,共20分)
13.已知,则___________.
14. 如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,
则a=________,该几何体的表面积为________.
15. 在中,内角所对的边分别为,若,
则________,的最大值为_________.
16、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为,若为直角三角形,则
三、解答题
17.已知等差数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若(),求的值.
18.如图,多面体是正三棱柱沿平面切除一部分所得,,点为的中点.
(1)求证:平面;(2)求点到平面的距离.
19.某校在一次期末数学测试中,为统计学生的考试情况,从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩,被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分),将统计结果按如下方式分成八组:第一组,,第二组,,第八组,,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
(1)求第七组的频率,并完成频率分布直方图;
(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值);
(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,求他们的分差的绝对值小于10分的概率.
20.设椭圆()的左右焦点分别为,椭圆的上顶点为点,点为椭圆上一点,且.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若,过点直线交椭圆于两点,求线段的中点的轨迹方程.
21.已知函数,.
(1)求直线与曲线相切时,切点的坐标;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
选修4-4:坐标系与参数方程(10分)
22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线普通方程和的直角坐标方程;
(2)若分别为曲线和曲线上的动点,求的最大值.
选修4-5:不等式选讲(10分)
23.已知函数.
(1)若时,解不等式;
(2)若关于的不等式在上有解,求实数的取值范围.
选择题
1、 D 2、B 3、C
对于选项A:观察五个灰色的条形图,可得2013年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年,2013年出口额最少.故选项A正确;
对于选项B:观察五组条形图可得,2013年出口额比进口额稍低,但2014年—2017年都是出口额高于进口额,并且2015年和2016年都是出口额明显高于进口额,故这五年,出口总额比进口总额多.故选项B正确;
对于选项C:从图中可知,红色的折线图是先上升后下降,即2013年到2014年出口增速是上升的.故选项C错误;
对于选项D:从图中可知,蓝色的折线图2017年是最高的,即2017年进口增速最快.故选项D正确;
4、D
解:,,
,
又,,
解得,,.
5、D
命题p:“,”的否定是“,或”.则命题是假命题.
命题q:“”的一个充分不必要条件是“”,为真命题.
则为真命题,其余为假命题.
6、 C
如图,根据题意第1次操作后,图形中有3个小正三角.
第2次操作后,图形中有3×3=个小正三角.
第3次操作后,图形中有9×3=个小正三角.
…………………………
所以第7次操作后,图形中有 个小正三角.
故选:C
6、 A
8、C
解:函数,,
,为图象的对称中心,,是该图象上相邻的最高点和最低点,若,
,即,求得.
再根据,,可得,.
令,求得,
故的单调递增区间为,,,
9、A
对于选项D:由题意可得, 令函数 ,
则,;
即.故选项D排除;
对于选项C:因为,故选项C排除;
对于选项B:当,且无限接近于0时,接近于,,此时.故选项B排除;
10、 C
作图如下:
由题意可得为等腰直角三角形,且平面MEF,
将三棱锥的底面MEF扩展为边长为1的正方形,然后扩展为正四棱柱,
三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一球,正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径,直径为:,所以球的半径为,
所以三棱锥的外接球的表面积为,
11、 D
解:根据题意,
当孩子18岁生日时,孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为,
同理:孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为,
孩子在3周岁生日时存入的元产生的本利合计为,
孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为,
可以看成是以为首项,为公比的等比数列的前17项的和,
此时将存款(含利息)全部取回,
则取回的钱的总数:
;
12、B
解:函数,导数.
由题意可得,,且.即有,
化为,而,
,化为对,都成立,
令,,,,对,恒成立,
即在,递增,(4),,
,即的取值范围是,.
一、 填空
13、
14. 答案 1 3+
解析 如图所示,此几何体是四棱锥,底面是边长为a的正方形,平面SAB⊥平面ABCD,并且∠SAB=90°,SA=2,所以体积是V=×a2×2=,解得a=1,四个侧面都是直角三角形,所以计算出表面积是S=12+×1×2+×1×+×1×2+×1×=3+.
15.答案为:3;
因为,由正余弦定理可得,
,整理可得,
,即3;
因为,所以,
由题意可得,,当时,C角有最大值,有最大值,
所以,即.
16.3
17.(1)设等差数列的公差为,
由得,,整理得.
又∵,∴,∴().
(2)可化为,
解得.
18.(1)设与交于点E,连接.
∵多面体是正三棱柱沿平面切除部分所得, ,∴四边形是正方形,四边形、均为直角梯形,其中,.
∵点D为的中点,平行且等于,∴.
又,∴
.∵E为的中点,∴.又∵,,∴平面;
(2)设点到平面的距离为d, ∵,
点D到平面的距离即为边上的高,即为,
∴.又∵,,
∴,.
∴,即点到平面的距离为.
19.解:(1)由频率分布直方图得第七组的频率为:
.
完成频率分布直方图如下:
(2)用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为:
(3)样本成绩属于第六组的有人,样本成绩属于第八组的有人,
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,
基本事件总数10,
他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数4,
他们的分差的绝对值小于10分的概率.
20.(1) 设(),, ,
所以,得
,即,
又∵()在椭圆上,
∴,得,即椭圆的离心率为.
(2) 由(1)知,.又∵,,
解得,,∴椭圆的方程为.
当线段在轴上时,线段的中点为坐标原点(0,0).
当线段不在轴上时,设直线的方程为,,,
将直线的方程为代入椭圆方程中,得.
∵点在椭圆内部,∴,,则,
∴点的坐标满足,,消去得,().
综上所述,点的轨迹方程为.
21.因为函数,所以,
设直线与曲线相切的切点的坐标为,
则,整理化简得.
令,则,
∴在上单调递减,
∴由零点存在性定理可得,在最多有一个实数根.
又∵,∴,此时,
即切点的坐标为(1,0).
(2)当时,恒成立,等价于对恒成立.
令,则,.
①当,时,,
∴,在上单调递增,因此符合题意.
②当时,令得.
由与得,.
∴当时,,单调递减,
∴当时,,不符合题意;
综上所述得,的取值范围是.
22.(1)曲线的直角坐标方程为.
由,,,
得,
即的直角坐标方程为:.
(2)由(1)得的圆心为,半径,
设,
则,
∴当时,,∴的最大值为.
23.解:(1)若时,,
当时,原不等式可化为解得,所以,
当时,原不等式可化为得,所以,
当时,原不等式可化为解得,所以,
综上述:不等式的解集为;
(2)当,时,由得,即,
故得,
又由题意知:,即,故的范围为,.