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  • 2021-06-16 发布

黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学(理)试题

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www.ks5u.com 双鸭山市第一中学2018-2019学年度下学期高一(理科)数学学科期末考试试题 一、选择题。‎ ‎1.已知一个平面,那么对于空间内的任意一条直线,在平面内一定存在一条直线,使得与( )‎ A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】当直线 与平面 相交时,平面 内的任意一条直线与直线 的关系只有两种:异面,相交,此时就不可能平行了,故 A错.  当直线 与平面 平行时,平面 内的任意一条直线与直线 的关系只有两种:异面,平行,此时就不可能相交了,故 B错.  当直线 在平面 内时,平面 内的任意一条直线与直线 的关系只有两种:平行,相交,此时就不可能异面了,故C 错.  不管直线 与平面 的位置关系相交,平行,还是在平面内,都可以在平面 内找到一条直线与直线 垂直,因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况,故 D正确.  故选 D.‎ ‎2.已知不等式解集是,则( )‎ A. B. 1 C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的两个解为-1和2.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】函数零点、一元二次等式的解、函数与x轴的交点之间的相互转换。‎ ‎3.在等差数列中,若,,则( )‎ A. 8 B. 16 C. 20 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为为等差数列,则也成等差数列,所以。‎ 故选C。‎ ‎4.直线过点,且与以为端点的线段总有公共点,则直线斜率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出 ,判断当斜率不存在时是否满足题意,满足两数之外;不满足两数之间。‎ ‎【详解】,当斜率不存在时满足题意,即 ‎【点睛】本题主要考查斜率公式的应用,属于基础题.‎ ‎5.如图,为正方体,下面结论错误的是(  )‎ A. 平面 B. ‎ C. 平面 D. 异面直线与所成的角为 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】在正方体中与 平行,因此有与平面 平行,A正确;在平面 内的射影垂直于,因此有,B正确;与B同理有与 垂直,从而 平面 ,C正确;由知与所成角为45°,D错.故选D.‎ ‎6. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a•cosA=bcosB,则△ABC的形状为( )‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:利用正弦定理由a•cosA=bcosB可得sinAcosA=sinBcosB,再利用二倍角的正弦即可判断△ABC的形状.‎ 解:在△ABC中,∵a•cosA=bcosB,‎ ‎∴由正弦定理得:sinAcosA=sinBcosB,‎ 即sin2A=sin2B,‎ ‎∴2A=2B或2A=π﹣2B,‎ ‎∴A=B或A+B=,‎ ‎∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.‎ 故选:C.‎ 考点:三角形的形状判断.‎ ‎7.关于的不等式对一切实数都成立,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 特值,利用排除法求解即可.‎ ‎【详解】因为当时,满足题意,所以可排除选项B、C、A,故选D ‎【点睛】不等式恒成立问题有两个思路:‎ 求最值,说明恒成立 参变分离,再求最值。‎ ‎8.在空间四边形中,分别是的中点.若,且与所成的角为,则四边形的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】连接EH,因为EH是△ABD的中位线,所以EH∥BD,且EH=BD.‎ 同理,FG∥BD,且FG=BD,‎ 所以EH∥FG,且EH=FG.‎ 所以四边形EFGH为平行四边形.‎ 因为AC=BD=a,AC与BD所成的角为60°‎ 所以EF=EH.所以四边形EFGH为菱形,∠EFG=60°.‎ ‎∴四边形EFGH的面积是2××()2=a2‎ 故答案为a2,故选A.‎ 考点:本题主要是考查的知识点简单几何体和公理四,公理四:和同一条直线平行的直线平行,证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等,以及面积公式属于基础题.‎ 点评:解决该试题关键是先证明四边形EFGH为菱形,然后说明∠EFG=60°,最后根据三角形的面积公式即可求出所求.‎ ‎9.直线(,)过点(-1,-1),则的最小值为 ( )‎ A. 9 B. 1 C. 4 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点的坐标代入直线方程:,再利用乘1法求最值 ‎【详解】将点的坐标代入直线方程:,‎ ‎,当且仅当时取等号 ‎【点睛】已知和为定值,求倒数和的最小值,利用乘1法求最值。‎ ‎10.一个体积为的正三棱柱(底面为正三角形,且侧棱垂直于底面的棱柱)的三视图如图所示,则该三棱柱的侧视图的面积为( )‎ A. B. 3 C. D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据侧视图的宽为 求出正三角形的边长为4,再根据体积求出正三棱柱的高,再求侧视图的面积。‎ ‎【详解】侧视图的宽即为俯视图的高,即三角形的边长为4,‎ 又 ‎ 侧视图的面积为:‎ ‎【点睛】理解:侧视图的宽即为俯视图的高,即可求解本题。‎ ‎11.若数列满足(,为常数),则称数列为“调和数列”.已知数列为调和数列,且,则的最大值是( )‎ A. 50 B. 100 C. 150 D. 200‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据调和数列定义知为等差数列,再由前20项的和为200知,最后根据基本不等式可求出的最大值。‎ ‎【详解】因为数列为调和数列,所以,‎ 即为等差数列 又,‎ ‎ ‎ 又大于0‎ 所以 ‎【点睛】本题考查了新定义“调和数列”的性质、等差数列的性质及其前n项公式、基本不等式的性质,属于难题。‎ ‎12.长方体中,已知,,棱在平面内,则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题等价于求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。‎ ‎【详解】长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围等价于,‎ 求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。‎ 由图形知 , ,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】将问题等价转换为可视的问题。‎ 二、填空题。‎ ‎13.已知正方体中,,分别为,的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 异面直线所成角,一般平移到同一个平面求解。‎ ‎【详解】连接DF, ‎ ‎ 异面直线与所成角等于 ‎ ‎【点睛】异面直线所成角,一般平移到同一个平面求解。不能平移时通常考虑建系,利用向量解决问题。‎ ‎14.设,,为三条不同的直线,,为两个不同的平面,下列命题中正确的是______.‎ ‎(1)若,,,则;‎ ‎(2)若,,,则;‎ ‎(3)若,,,,则;‎ ‎(4)若,,,则.‎ ‎【答案】(1)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线线平行的传递性、线面垂直的判定定理判定。‎ ‎【详解】(1) , ,,则,正确 ‎(2)若,,,则,错误 ‎(3)若,则不成立,错误 ‎(4)若,,,则,错误 ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理判定,考查了空间想象能力,属于中档题.‎ ‎15.设的内角,,所对的边分别为,,.已知,,‎ 如果解此三角形有且只有两个解,则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理写出c与x的等式,再由有两个正解,解出x的取值范围 ‎【详解】根据余弦定理: 代入数据并整理有,有且仅有两个解,记为 则:‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理以及韦达定理,属于中档题。‎ ‎16.在三棱锥中,已知,,则三棱锥内切球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出三棱锥的体积,利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径,再求出内切球的表面积。‎ ‎【详解】取CD中点为E,并连接AE、BE 在中,由等腰三角形的性质可得,同理 则在中点A到边BE的距离即为点A到平面BCD的距离h,‎ 在中,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题综合考查了三棱锥的体积、三棱锥内切圆的求法、球的表面积,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知直线经过两条直线:和:的交点,直线:;‎ ‎(1)若,求的直线方程;‎ ‎(2)若,求的直线方程.‎ ‎【答案】(1) ; (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出与的交点,再利用两直线平行斜率相等求直线l ‎(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l ‎【详解】(1)由,得,‎ ‎∴与的交点为.‎ 设与直线平行的直线为,‎ 则,∴.‎ ‎∴所求直线方程为.‎ ‎(2)设与直线垂直的直线为,‎ 则,解得。‎ ‎∴所求直线方程为.‎ ‎【点睛】两直线平行斜率相等,两直线垂直斜率乘积等于-1。‎ ‎18.已知数列是等差数列,且,。‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若等比数列满足,,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ; (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将、用和表示,联立方程组,解出和,再写出数列的通项公式;‎ ‎(2)根据第一问写出,求出公比q,写出 ‎【详解】(1)设等差数列的公差,因为,,‎ 所以 解得,,所以。‎ ‎(2)设等比数列的公比为,因为,,‎ 所以,即。‎ 所以的前项和公式为。‎ ‎【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础公式应用,属于简单题。‎ ‎19.在中,角,,对应的边分别为,,且有.‎ ‎(1)求的值.‎ ‎(2)若的面积,,求的值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用 ,将等式中的变量全部化为A,再化简等式。‎ ‎(2)根据已知条件求出c的值,再利用余弦定理求出比值,角化边得出答案 ‎【详解】(1)由已知条件得:,‎ 所以,解得,角。‎ ‎(2),‎ 由余弦定理得:,,‎ ‎,故。‎ ‎【点睛】本题主要考查利用正弦定理进行角化边的运算。‎ ‎20.如图已知平面,,,,,,点,分别为,的中点.‎ ‎(1)求证://平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】(1)见证明;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要证线面平行即证线线平行,本题连接A1B, ‎ ‎(2)取中点,连接证明平面,再求出,得到 ‎。‎ ‎【详解】(1)如图,连接,在中,因为和分别是和中点,‎ 所以。又因为平面,所以平面;‎ 取中点和中点,连接,,。‎ 因为和分别为和,所以,,‎ 故且,所以,且。‎ 又因为平面,所以平面,‎ 从而为直线与平面所成的角。‎ 在中,可得,所以。‎ 因为,,所以,,,‎ 所以,,又由,有。‎ 在中,可得 ‎;‎ 在中,,因此。‎ 所以直线与平面所成角为。‎ ‎【点睛】求线面角一般有两个方法:‎ 几何法做出线上一点到平面的高,求出高;或利用等体积法求高 向量法。‎ ‎21.已知数列为单调递增数列,,其前项和为,且满足 ‎.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列,其前项和为,若成立,求的最小值.‎ ‎【答案】(1);(2)10‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系,再根据等差数列定义及其通项公式得数列的通项公式;(2)先根据裂项相消法求,再解不等式得,即得的最小值.‎ 试题解析:(1)由知:,‎ 两式相减得: ,‎ 即,又数列为单调递增数列,,∴,‎ ‎∴,‎ 又当时,,即,解得或 (舍),‎ 符合,∴是以1为首项,以2为公差的等差数列,‎ ‎∴.‎ ‎(2),‎ ‎∴,‎ 又 ∵,即,解得,‎ 又,所以的最小值为10.‎ 点睛:裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.‎ ‎22.如图,在四棱锥中,丄平面,,,,,.‎ ‎(1)证明丄;‎ ‎(2)求二面角的正弦值;‎ ‎(3)设为棱上的点,满足异面直线与所成的角为,求的长.‎ ‎【答案】(1)见证明;(2) ;(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要证异面直线垂直,即证线面垂直,本题需证平面 ‎(2)作于点,连接。 为二面角的平面角,在中解出即可。‎ ‎(3)过点作的平行线与线段相交,交点为,连接,;计算出AF、BF,再在中利用的余弦公式,解出EF,即可求出AE的长 ‎【详解】(1)证明:由平面,可得,‎ 又由,,故平面。‎ 又平面,所以。‎ ‎(2)如图,作于点,连接。‎ 由,,可得平面。‎ 因此,从而为二面角的平面角。‎ 在中,,,由此得 由(1)知,故在中,‎ 因此所以二面角 的正弦值为。‎ ‎(3)因为,故过点作的平行线必与线段相交,‎ 设交点为,连接,;‎ ‎∴或其补角为异面直线与所成的角;‎ 由于,故;‎ 在中,,;‎ ‎∴;‎ ‎∴在中,由,,‎ 可得:;‎ 由余弦定理,可得,,‎ 解得:,设;‎ 在中,;‎ 在中,;‎ ‎∴在中,,∴;‎ ‎;‎ 解得;∴‎ ‎【点睛】本题主要考查线线垂直、二面角的平面角、异面直线所成角的。属于中档题。‎ ‎ ‎

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