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- 2021-06-16 发布
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双鸭山市第一中学2018-2019学年度下学期高一(理科)数学学科期末考试试题
一、选择题。
1.已知一个平面,那么对于空间内的任意一条直线,在平面内一定存在一条直线,使得与( )
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直
【答案】D
【解析】
【详解】当直线 与平面 相交时,平面 内的任意一条直线与直线 的关系只有两种:异面,相交,此时就不可能平行了,故 A错.
当直线 与平面 平行时,平面 内的任意一条直线与直线 的关系只有两种:异面,平行,此时就不可能相交了,故 B错.
当直线 在平面 内时,平面 内的任意一条直线与直线 的关系只有两种:平行,相交,此时就不可能异面了,故C 错.
不管直线 与平面 的位置关系相交,平行,还是在平面内,都可以在平面 内找到一条直线与直线 垂直,因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况,故 D正确.
故选 D.
2.已知不等式解集是,则( )
A. B. 1 C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
的两个解为-1和2.
【详解】
【点睛】函数零点、一元二次等式的解、函数与x轴的交点之间的相互转换。
3.在等差数列中,若,,则( )
A. 8 B. 16 C. 20 D. 28
【答案】C
【解析】
因为为等差数列,则也成等差数列,所以。
故选C。
4.直线过点,且与以为端点的线段总有公共点,则直线斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出 ,判断当斜率不存在时是否满足题意,满足两数之外;不满足两数之间。
【详解】,当斜率不存在时满足题意,即
【点睛】本题主要考查斜率公式的应用,属于基础题.
5.如图,为正方体,下面结论错误的是( )
A. 平面
B.
C. 平面
D. 异面直线与所成的角为
【答案】D
【解析】
【详解】在正方体中与 平行,因此有与平面 平行,A正确;在平面 内的射影垂直于,因此有,B正确;与B同理有与 垂直,从而 平面 ,C正确;由知与所成角为45°,D错.故选D.
6. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a•cosA=bcosB,则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形
D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
试题分析:利用正弦定理由a•cosA=bcosB可得sinAcosA=sinBcosB,再利用二倍角的正弦即可判断△ABC的形状.
解:在△ABC中,∵a•cosA=bcosB,
∴由正弦定理得:sinAcosA=sinBcosB,
即sin2A=sin2B,
∴2A=2B或2A=π﹣2B,
∴A=B或A+B=,
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.
故选:C.
考点:三角形的形状判断.
7.关于的不等式对一切实数都成立,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
特值,利用排除法求解即可.
【详解】因为当时,满足题意,所以可排除选项B、C、A,故选D
【点睛】不等式恒成立问题有两个思路:
求最值,说明恒成立
参变分离,再求最值。
8.在空间四边形中,分别是的中点.若,且与所成的角为,则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】连接EH,因为EH是△ABD的中位线,所以EH∥BD,且EH=BD.
同理,FG∥BD,且FG=BD,
所以EH∥FG,且EH=FG.
所以四边形EFGH为平行四边形.
因为AC=BD=a,AC与BD所成的角为60°
所以EF=EH.所以四边形EFGH为菱形,∠EFG=60°.
∴四边形EFGH的面积是2××()2=a2
故答案为a2,故选A.
考点:本题主要是考查的知识点简单几何体和公理四,公理四:和同一条直线平行的直线平行,证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等,以及面积公式属于基础题.
点评:解决该试题关键是先证明四边形EFGH为菱形,然后说明∠EFG=60°,最后根据三角形的面积公式即可求出所求.
9.直线(,)过点(-1,-1),则的最小值为 ( )
A. 9 B. 1 C. 4 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】
将点的坐标代入直线方程:,再利用乘1法求最值
【详解】将点的坐标代入直线方程:,
,当且仅当时取等号
【点睛】已知和为定值,求倒数和的最小值,利用乘1法求最值。
10.一个体积为的正三棱柱(底面为正三角形,且侧棱垂直于底面的棱柱)的三视图如图所示,则该三棱柱的侧视图的面积为( )
A. B. 3 C. D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】
根据侧视图的宽为 求出正三角形的边长为4,再根据体积求出正三棱柱的高,再求侧视图的面积。
【详解】侧视图的宽即为俯视图的高,即三角形的边长为4,
又
侧视图的面积为:
【点睛】理解:侧视图的宽即为俯视图的高,即可求解本题。
11.若数列满足(,为常数),则称数列为“调和数列”.已知数列为调和数列,且,则的最大值是( )
A. 50 B. 100 C. 150 D. 200
【答案】B
【解析】
分析】
根据调和数列定义知为等差数列,再由前20项的和为200知,最后根据基本不等式可求出的最大值。
【详解】因为数列为调和数列,所以,
即为等差数列
又,
又大于0
所以
【点睛】本题考查了新定义“调和数列”的性质、等差数列的性质及其前n项公式、基本不等式的性质,属于难题。
12.长方体中,已知,,棱在平面内,则长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题等价于求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。
【详解】长方体在平面内的射影所构成的图形面积的取值范围等价于,
求过BC直线的平面截长方体的面积的取值范围。
由图形知 , ,
故选A.
【点睛】将问题等价转换为可视的问题。
二、填空题。
13.已知正方体中,,分别为,的中点,那么异面直线与所成角的余弦值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
异面直线所成角,一般平移到同一个平面求解。
【详解】连接DF,
异面直线与所成角等于
【点睛】异面直线所成角,一般平移到同一个平面求解。不能平移时通常考虑建系,利用向量解决问题。
14.设,,为三条不同的直线,,为两个不同的平面,下列命题中正确的是______.
(1)若,,,则;
(2)若,,,则;
(3)若,,,,则;
(4)若,,,则.
【答案】(1)
【解析】
【分析】
利用线线平行的传递性、线面垂直的判定定理判定。
【详解】(1) , ,,则,正确
(2)若,,,则,错误
(3)若,则不成立,错误
(4)若,,,则,错误
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理判定,考查了空间想象能力,属于中档题.
15.设的内角,,所对的边分别为,,.已知,,
如果解此三角形有且只有两个解,则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由余弦定理写出c与x的等式,再由有两个正解,解出x的取值范围
【详解】根据余弦定理: 代入数据并整理有,有且仅有两个解,记为 则:
【点睛】本题主要考查余弦定理以及韦达定理,属于中档题。
16.在三棱锥中,已知,,则三棱锥内切球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先计算出三棱锥的体积,利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径,再求出内切球的表面积。
【详解】取CD中点为E,并连接AE、BE
在中,由等腰三角形的性质可得,同理
则在中点A到边BE的距离即为点A到平面BCD的距离h,
在中,
【点睛】本题综合考查了三棱锥的体积、三棱锥内切圆的求法、球的表面积,属于中档题.
三、解答题
17.已知直线经过两条直线:和:的交点,直线:;
(1)若,求的直线方程;
(2)若,求的直线方程.
【答案】(1) ; (2)
【解析】
【分析】
(1)先求出与的交点,再利用两直线平行斜率相等求直线l
(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l
【详解】(1)由,得,
∴与的交点为.
设与直线平行的直线为,
则,∴.
∴所求直线方程为.
(2)设与直线垂直的直线为,
则,解得。
∴所求直线方程为.
【点睛】两直线平行斜率相等,两直线垂直斜率乘积等于-1。
18.已知数列是等差数列,且,。
(1)求数列的通项公式;
(2)若等比数列满足,,求数列的前项和.
【答案】(1) ; (2)
【解析】
【分析】
(1)将、用和表示,联立方程组,解出和,再写出数列的通项公式;
(2)根据第一问写出,求出公比q,写出
【详解】(1)设等差数列的公差,因为,,
所以
解得,,所以。
(2)设等比数列的公比为,因为,,
所以,即。
所以的前项和公式为。
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础公式应用,属于简单题。
19.在中,角,,对应的边分别为,,且有.
(1)求的值.
(2)若的面积,,求的值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)利用 ,将等式中的变量全部化为A,再化简等式。
(2)根据已知条件求出c的值,再利用余弦定理求出比值,角化边得出答案
【详解】(1)由已知条件得:,
所以,解得,角。
(2),
由余弦定理得:,,
,故。
【点睛】本题主要考查利用正弦定理进行角化边的运算。
20.如图已知平面,,,,,,点,分别为,的中点.
(1)求证://平面;
(2)求直线与平面所成角的大小.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
【分析】
(1)要证线面平行即证线线平行,本题连接A1B,
(2)取中点,连接证明平面,再求出,得到
。
【详解】(1)如图,连接,在中,因为和分别是和中点,
所以。又因为平面,所以平面;
取中点和中点,连接,,。
因为和分别为和,所以,,
故且,所以,且。
又因为平面,所以平面,
从而为直线与平面所成的角。
在中,可得,所以。
因为,,所以,,,
所以,,又由,有。
在中,可得
;
在中,,因此。
所以直线与平面所成角为。
【点睛】求线面角一般有两个方法:
几何法做出线上一点到平面的高,求出高;或利用等体积法求高
向量法。
21.已知数列为单调递增数列,,其前项和为,且满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列,其前项和为,若成立,求的最小值.
【答案】(1);(2)10
【解析】
试题分析:(1)先根据和项与通项关系得项之间递推关系,再根据等差数列定义及其通项公式得数列的通项公式;(2)先根据裂项相消法求,再解不等式得,即得的最小值.
试题解析:(1)由知:,
两式相减得: ,
即,又数列为单调递增数列,,∴,
∴,
又当时,,即,解得或 (舍),
符合,∴是以1为首项,以2为公差的等差数列,
∴.
(2),
∴,
又 ∵,即,解得,
又,所以的最小值为10.
点睛:裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或.
22.如图,在四棱锥中,丄平面,,,,,.
(1)证明丄;
(2)求二面角的正弦值;
(3)设为棱上的点,满足异面直线与所成的角为,求的长.
【答案】(1)见证明;(2) ;(3)
【解析】
【分析】
(1)要证异面直线垂直,即证线面垂直,本题需证平面
(2)作于点,连接。 为二面角的平面角,在中解出即可。
(3)过点作的平行线与线段相交,交点为,连接,;计算出AF、BF,再在中利用的余弦公式,解出EF,即可求出AE的长
【详解】(1)证明:由平面,可得,
又由,,故平面。
又平面,所以。
(2)如图,作于点,连接。
由,,可得平面。
因此,从而为二面角的平面角。
在中,,,由此得
由(1)知,故在中,
因此所以二面角
的正弦值为。
(3)因为,故过点作的平行线必与线段相交,
设交点为,连接,;
∴或其补角为异面直线与所成的角;
由于,故;
在中,,;
∴;
∴在中,由,,
可得:;
由余弦定理,可得,,
解得:,设;
在中,;
在中,;
∴在中,,∴;
;
解得;∴
【点睛】本题主要考查线线垂直、二面角的平面角、异面直线所成角的。属于中档题。