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- 2021-06-16 发布
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2018-2019学年甘肃省天水市第一中学高一上学期第一学段考试数学试题
一、单选题
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:根据集合可直接求解.
详解:,
,
故选C
点睛:集合题也是每年高考的必考内容,一般以客观题形式出现,一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式,如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决,若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据二次根式的定义可知x﹣1≥0且根据对数函数定义得3﹣x>0,联立求出解集即可.
【详解】
∵函数f(x)=+lg(3﹣x),
根据二次根式定义得x﹣1≥0①,
根据对数函数定义得3﹣x>0②,
联立①②解得:1≤x<3.
∴函数f(x)=+lg(3﹣x)的定义域为:[1,3).
故选:D.
【点睛】
本题考查了函数的定义域及其求法,考查了不等式的解法,属于基础题.
3.已知函数 ,则
A. 0 B. –2 C. –1 D. 1
【答案】C
【解析】
分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同,因此分段函数求函数值时,一定要看清楚自变量所处阶段,例如本题中,5∈{x|x>0},而f(5)=﹣2∈{x|x≤0},分别代入不同的对应法则求值即可得结果.
【详解】
因为5>0,代入函数解析式f(x)=得f(5)=3﹣5=﹣2,
所以f(f(5))=f(﹣2),因为﹣2<0,代入函数解析式f(x)=得f(﹣2)=(﹣2)2+4×(﹣2)+3=﹣1
故选:C.
【点睛】
本题考查了分段函数的定义,求分段函数函数值的方法,解题时要认真细致,准确运算.
4.指数函数的图像经过点(3,27),则a的值是( )
A. 3 B. 9 C. D.
【答案】A
【解析】
把点代入指数函数的解析式可求得.
【详解】
把点代入指数函数的解析式,则有,故,选A.
【点睛】
指数函数的一般形式是,注意前面的系数为1且.它与幂函数容易混淆,前者底数是常数,后者底数是自变量.
5.下列函数中,与相同的函数是( )
A. B. y=lg10x C. D.
【答案】B
【解析】
A.与的对应关系和值域不同,不是相同函数,B. ,是相同函数,C. 与的定义域不同,D.函数的三要素都不相同,不是相同函数,故选B.
6.若,则集合的个数是( )
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】
由题意得集合中必定含有元素,然后再根据可得集合的个数.
【详解】
由可得可为,
,故满足条件的集合共8个.
故选A.
【点睛】
本题考查集合子集的求法,解题的关键时根据集合子集的定义求解,考查学生的判断能力,属容易题.
7.已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是( )
A. 3x+2 B. 3x+1 C. 3x-1 D. 3x+4
【答案】C
【解析】试题分析:.
【考点】复合函数求解析式.
8.已知函数为奇函数,当时, ,则( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. -2
【答案】D
【解析】
根据函数的奇偶性得到,将1代入解析式可得到函数值.
【详解】
函数为奇函数,将1代入解析式,故=-2.
故答案为:D.
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性,和已知函数解析式求函数值的方法,通常是利用函数的奇偶性和周期性将自变量化到所给的区间上,再将自变量代入解析式即可得到函数值.
9.函数的图像可能是( ).
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】试题分析:∵,∴,∴函数需向下平移个单位,不过(0,1)点,所以排除A,
当时,∴,所以排除B,
当时,∴,所以排除C,故选D.
【考点】函数图象的平移.
10.已知定义在上的函数在上是减函数,若是奇函数,且,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】试题分析:是奇函数,由已知在是减函数,则它在上也是减函数,所以在和上是减函数,又,所以,又,所以,因此 或或,即或或或或,综上或.故选C.
【考点】函数的单调性与奇偶性.
【名师点睛】函数是奇函数,如它在区间上单调递增,则它在上也单调递增,函数是偶函数,如它在区间上单调递增,则它在上也单调递减.
二、填空题
11.与的大小关系是__________(用“”或“”表示).
【答案】
【解析】
根据指数函数的单调性进行判断即可.
【详解】
∵函数在上单调递增,且,
∴.
【点睛】
本题考查幂的大小的比较,由于两个幂的底数相同,故可构造指数函数,然后根据指数函数的单调性进行判断.
12.函数在上是单调函数,则实数的取值范围是____.
【答案】
【解析】
就对称轴的位置分两种情况讨论即可.
【详解】
因为在是单调函数,故或,所以或者,故填.
【点睛】
本题考察二次函数的单调性,是基础题.
13.函数的单调增区间是___________________.
【答案】
【解析】分析:先求得函数的定义域,然后根据复合函数单调性的判断方法可求得答案.
详解:由题可得:定义域:,令=t,而单调递减,=t在递增,在递减,有复合函数的单调性可得:函数在递增,故递增区间为:
点睛:本题考查复合函数单调性的判断,属中档题,正确理解“同增异减”的含义是解决该类题目的关键,要注意求单调区间必须先求函数定义域.
14.已知函数 .设为实数,若存在实数,使得成立,则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
首先求得函数的值域,然后结合题意得到关于的不等式,求解不等式即可求得最终结果.
【详解】
当时,,函数的解析式,
结合二次函数的性质可得的值域为,
当时,,则,
据此可知,函数的值域为,
由可得,
即:,解得:,
即的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查分段函数的性质,函数值域的求解,二次不等式的解法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
15.计算:
①;
②
【答案】①2;②3
【解析】试题分析:对数运算与指数运算的运算法则一定要搞清.
试题解析:
解:①原式=="2" , 6分
②原式=2=2=3. 12分
【考点】对数运算,指数运算.
16.设集合,,.若,求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】试题分析:求出,对进行分类,当①时和当②时分别讨论.
试题解析:当时,,
当,,且.
∴,解得:.
综上实数的取值范围是.
【考点】集合的运算.
17.函数是定义在(-1,1)上的奇函数,且 ,
(1)求的值;
(2)利用定义证明在(-1,1)上是增函数;
(3)求满足的t的范围.
【答案】(1)b=0,a=1;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)由函数f(x)是奇函数可得f(0)=0可求b,由可求a;
(2)运用函数的单调性的定义证明:设自变量,作差,变形,定符号,下结论;
(3)由奇函数的定义,得到f(t)<f(1﹣t),再由函数的单调性,得到不等式组,解出即可.
【详解】
解:(1)∵f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,
∴f(0)=0,即有b=0,
又,则=,解得a=1.
∴a=1,b=0.
∴f(x)=
(2)证明:由于f(x)=,
可设﹣1<x1<x2<1,
f(x1)﹣f(x2)=﹣=,
∵﹣1<x1<x2<1,
∴x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0,(x12+1)(x22+1)>0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,则f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(﹣1,1)上是增函数;
(3)∵f(t﹣1)+f(t)<0,
∴f(t﹣1)<﹣f(t),
∵f(﹣t)=﹣f(t),
∴f(t﹣1)<f(﹣t),
又∵f(x)在(﹣1,1)上是增函数,
∴0<t<.
则t的取值范围是(0,).
【点睛】
对于比较大小、求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调性脱去函数的符号“f”,转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题,若为偶函数,则 ,若函数是奇函数,则.
18.已知函数,.
(1) 若,求的最大值与最小值;
(2)的的最小值记为,求的解析式以及 的最大值.
【答案】(1)最小值为0,最大值为4;
(2),的最大值为.
【解析】
(1)将a=1代入,分析函数在给定区间上的单调性,进而可得f(x)的最大与最小值;
(2)讨论对称轴的位置,然后求解函数f(x)的最小值为g(a),进而由g(a)的单调性得到最大值.
【详解】
(1) 时,,
则当时,的最小值为0,
时,的最大值为4.
(2),
当时,的最小值为
当时,的最小值为
当时,的最小值为
则
可知,在单调递增,在单调递减,的最大值为
【点睛】
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到;常见题型有:(1)轴固定区间也固定;(2)轴动(轴含参数),区间固定;(3)轴固定,区间动(区间含参数). 找最值的关键是:(1)图象的开口方向;(2)对称轴与区间的位置关系;(3)结合图象及单调性确定函数最值.