2020年（新课标Ⅱ卷）高三最新信息卷 理科数学（五） 12页

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 绝密 ★ 启用前 ‎2020年高三最新信息卷 理 科 数 学（五）‎ 注意事项：‎ ‎1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。‎ ‎2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。‎ ‎3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。‎ ‎4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集为实数集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点为，将向量绕原点按顺时针旋转，所得向量对应的复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图，四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，已知，则原平面图形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的图像大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．已知抛物线的焦点为，抛物线上任意一点，且垂直于直线，交于点，则的最小值（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．黄金三角形有两种，一种是顶角为的等腰三角形，另一种是顶角为的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为的黄金三角形，如图所示，在黄金三角形中，，根据这些信息，可得（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量进行回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程为，则变量的最小 估计值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．双曲线的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且的周长不小于，则双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知，，当时，则最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数满足，，则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎12．一个正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，点是棱的中点，分别是线段（不包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ）‎ A．在点的运动过程中，存在 B．在点的运动过程中，不存在 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的体积不为定值 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知，则 ．‎ ‎14．函数在处的切线斜率为 ．‎ ‎15．已知函数，则 ．‎ ‎16．记表示数列的前项的积，例如，‎ 若递增数列的满足，则 ．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）在中，角所对应的边分别是，若满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求面积的取值范围．‎ ‎18．（12分）如图，在三棱柱中，平面，是中点，是边长为的等边三角形．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求二面角的大小．‎ ‎19．（12分）生活垃圾分类工作是一项需要政府推动、全民参与的综合性系统工程，各区市、各单位共同协作，落实好各自的工作职责和任务，坚持党建引领，健全体制机制，落实经费保障，加强科技支撑，切实增强人民群众参与生活垃圾分类的获得感和幸福感。某小学班主任为了让本班学生能够分清厨余垃圾、可回收物、其他垃圾和有害垃圾，展开了《垃圾分类我最行》的有奖竞答活动，班主任将本班学生分为两组，规定每组答对一题得分，答错得分，将每组得分分别逐次累加，当其中一组得分比另一组得分多分或道题目全部答完时，有奖竞答活动结束，得分多的一组的每一位学生都将获得奖品一份．设每组每一道题答对的概率为，组学生抢到答题权的概率为．‎ ‎（1）若答完了题时活动结束，求组获奖的概率；‎ ‎（2）设活动结束时总共答了道题，求的分布列及其期望．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的离心率，左右焦点为，到过椭圆上顶点和右顶点的直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四边形，是否存在直线，使得点落在椭圆上，若存在求出直线的方程；若不存在说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）若点在直线上，且，求直线的斜率；‎ ‎（2）若，求曲线上的点到直线的距离的最大值．‎ ‎23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知，．‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．‎ 绝密 ★ 启用前 ‎2020年高三最新信息卷 理科数学（五）答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】由题意知，或，，∴．‎ ‎2．【答案】C ‎【解析】由题意知，的坐标为，则，‎ ‎∵向量绕原点按顺时针旋转，∴旋转后得到的向量为，‎ 故旋转后所得向量对应的复数是．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】∵，‎ ‎∴四边形为直角梯形，且，，，‎ 可得四边形直观图的面积，‎ ‎∵直观图面积与原平面图形的面积关系为，∴．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】∵，可得，∴在方向上的投影为．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】当时，函数是增函数，排除B，D；‎ 当时，，此时没有取到最大值，排除C，故选A．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】设点，则，‎ ‎∵为抛物线的焦点，∴，‎ ‎∴，，‎ 则，即的最小值．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】由正弦定理得，‎ 即，解得，‎ 则．‎ ‎8．【答案】D ‎【解析】令，则，‎ 当和时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎∵，且，∴，则，‎ ‎∵，，∴，解得，‎ 即变量的最小估计值为．‎ ‎9．【答案】D ‎【解析】∵，点的坐标为，∴，‎ ‎∵的周长不小于，∴，‎ ‎∵为双曲线右焦点，点为双曲线左支上的动点，设为双曲线左焦点，‎ ‎∴，则，‎ 当三点共线时，取的最小值为，‎ 即有，解得，‎ ‎∵，∴，故离心率．‎ ‎10．【答案】C ‎【解析】由，可得，‎ 当时，的最小值可转化为函数图像上的点与直线上的点的距离的最小值的平方，‎ 由，可得，‎ 与直线平行的直线斜率为，‎ 则令，解得，可得切点为，‎ 所以到直线的距离为，‎ 即函数上的点与直线上的点的距离的最小值为，‎ 故最小值为．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】∵，可得，‎ ‎∴，，可得，‎ 即，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，可得，‎ 又∵，∴或，可得或，‎ 即或，‎ ‎∴或，‎ 故或．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】∵点是棱的中点，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面，则直线上的任意一点到平面的距离相等，且为定值，‎ ‎∵点是线段上的动点，∴点到平面的距离为定值，‎ 又∵的面积为定值，‎ ‎∴（定值），故C正确．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】由题意知，．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】∵，则，‎ ‎∴，即函数在处的切线斜率为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】由题意知，，‎ ‎∵，，，，‎ ‎∴．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】当时，，可得，解得，‎ ‎∵数列是递增数列，∴，‎ 由，可得，‎ 两式相减可得，即，‎ ‎∴数列是以为首项，为公差的等差数列，即，‎ ‎∴，‎ 故．‎ 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴根据正弦定理有，整理可得，‎ 结合余弦定理有，可得．‎ ‎（2）∵，∴，可得，‎ 当且仅当时取等号，‎ 由三角形面积公式可得，‎ 即面积的取值范围为．‎ ‎18．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵是边长为的等边三角形，∴，，‎ ‎∵是中点，∴，即是等邀三角形，‎ ‎∴，∴，即，‎ 又平面，，∴平面，‎ ‎∵平面，∴，‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，∴．‎ ‎（2）连接，则，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎∴，，，‎ 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，‎ 则，即，令，可得；‎ ‎，即，令，可得，‎ ‎∴，即二面角的平面角为．‎ ‎19．【答案】（1）；分布列见解析，．‎ ‎【解析】（1）由题意知，每道题组得分的概率为，‎ 故答完了题时答活动结束，组获奖的概率为．‎ ‎（2）由组学生抢到答题权的概率为，可知学生抢到答题权的概率为，‎ 由题意知，每道题的答题结果有一下三种：‎ ‎①组得分，组得分，此时的概率为；‎ ‎②组得分，组得分，此时的概率为；‎ ‎③组得分，组得分，此时的概率为，‎ 根据题意知，所有的可能取值为．‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故的分布列为 ‎．‎ ‎20．【答案】（1）；（2）存在，直线．‎ ‎【解析】（1）由离心率，可知，，‎ 则过椭圆上顶点和右顶点的直线方程为，‎ 由题意知，解得，‎ ‎∴，，‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由，得，‎ 设，，，‎ 则，，‎ 由为平行四边形，得，故，‎ 又，，‎ 可得，即，‎ 若点落在椭圆上，则，代入得，无解；‎ 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时存在点在椭圆上，‎ 故存在直线，使得点落在在椭圆上．‎ ‎21．【答案】（1）在和上单调递增；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，则，‎ 令，则，‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增，‎ 可得，则恒成立，‎ 故函数在和上单调递增．‎ ‎（2）由对任意的，，可得，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 当时，则，函数在上单调递增，‎ ‎∴，函数在上单调递增，‎ ‎∴，即对任意的，；‎ 当时，由，解得，‎ 若时，，函数单调递减；‎ 若时，，函数单调递增，‎ ‎∴，‎ 令，则，‎ ‎∴在上为减函数，∴，即，‎ ‎∴，当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增，‎ ‎∵，∴当时，，‎ ‎∴当时，对任意的，不恒成立，‎ 故实数的取值范围．‎ ‎22．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）设点，‎ 则，‎ 整理可得，即，‎ 故直线的斜率为．‎ ‎（2）∵，∴直线的参数方程为（为参数），‎ 可得直线的直角坐标方程为，‎ ‎∵曲线的极坐标方程为，‎ ‎∴曲线的的普通方程为，‎ 即曲线表示圆心为，半径为的圆，‎ 圆心到直线的距离为，‎ 则曲线上的点到直线的距离的最大值为．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，‎ 当时，不成立，即；‎ 当时，，解得，即；‎ 当时，恒成立，即，‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（2）当时，，‎ 由可得，‎ ‎∴在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∴，解得，‎ 故的取值范围．‎